1、布 丰 投 针 求 圆 周 率 上 海 市 张 江 集 团 学 校 李 磊圆 周 率 的 计 算 历 程“圆 周 率 ”是 指 一 个 圆 的 周 长 与 其 直 径 的 比 值 。 古 今 中外 ， 许 多 人 致 力 于 圆 周 率 的 研 究 与 计 算 。 为 了 计 算 出圆 周 率 的 越 来 越 好 的 近 似 值 ， 一 代 代 的 数 学 家 为 这 个神 秘 的 数 贡 献 了 无 数 的 时 间 与 心 血 。回 顾 历 史 ， 人 类 对 的 认 识 过 程 ， 反 映 了 数 学 和 计 算技 术 发 展 情 形 的 一 个 侧 面 。 的 研 究 ， 在 一 定 程
2、 度 上反 映 这 个 地 区 或 时 代 的 数 学 水 平 。 德 国 数 学 家 康 托说 ： “历 史 上 一 个 国 家 所 算 得 的 圆 周 率 的 准 确 程 度 ， 可以 作 为 衡 量 这 个 国 家 当 时 数 学 发 展 水 平 的 指 标 。 ”为 求 得 圆 周 率 的 值 ， 人 类 走 过 了 漫 长 而 曲 折 的 道 路 。实 验 时 期基 于 对 一 个 圆 的 周 长 和 直 径 的 实 际 测 量 得 出 的在 古 代 世 界 ， 实 际 上 长 期 使 用 =3这 个 数 值最 早 见 于 文 字 记 载 的 有 基 督 教 圣 经 中 的 章节 ，
3、 其 上 取 圆 周 率 为 3。 这 一 段 描 述 的 事 大 约 发生 在 公 元 前 950年 前 后几 何 法 时 期真 正 使 圆 周 率 计 算 建 立 在科 学 的 基 础 上 ， 首 先 应 归功 于 阿 基 米 德 。 他 是 科 学地 研 究 这 一 常 数 的 第 一 个人 ， 是 他 首 先 提 出 了 一 种能 够 借 助 数 学 过 程 而 不 是通 过 测 量 的 、 能 够 把 的 值 精 确 到 任 意 精 度 的 方法 。 由 此 ， 开 创 了 圆 周 率计 算 的 第 二 阶 段 。 圆 周 长 大 于 内 接 正 多 边形 周 长 而 小 于 外 切
4、 正 多 边形 周 长 据 说 阿 基 米 德 用 到 了 正96边 形 才 算 出 他 的 值 域 .在 中 国刘 徽 公 元 263年 前 后 ， 刘 徽 提 出 著 名 的“割 圆 术 ”求 出 了 比 较 精 确 的 圆 周 率 。 刘 徽利 用 正 多 边 形 面 积 和 圆 面 积 之 间 的 关 系 ，从 正 六 边 形 开 始 ， 逐 步 把 边 数 加 倍 ： 正 十二 边 形 、 正 二 十 四 边 形 ， 正 四 十 八 边形 ， 一 直 到 正 三 七 二 边 形 ， 算 出 圆周 率 等 于 三 点 一 四 一 六 ， 将 圆 周 率 的 精 度提 高 到 小 数 点
5、 后 第 四 位 。祖 冲 之 在 刘 徽 研 究 的 基 础 上 ， 进 一 步 地 发 展 ，经 过 既 漫 长 又 烦 琐 的 计 算 ， 一 直 算 到 圆 内 接 正24576边 形 ， 而 得 到 一 个 结 论 ： 3.1415926 3.1415927 同 时 得 到 的 两 个 近 似 分 数 ：约 率 为 2 7 密 率 为 35 13他 算 出 的 的 8位 可 靠 数 字 ， 不 但 在 当 时 是 最 精密 的 圆 周 率 ， 而 且 保 持 世 界 记 录 九 百 多 年 。 以 致于 有 数 学 史 家 提 议 将 这 一 结 果 命 名 为 “祖 率 ”分 析
6、法 时 期1593年 ， 韦 达 给 出222这 一 公 式 是 的 最 早 分 析 表 达 式 。 它 表 明 仅 仅 借助 数 字 2， 通 过 一 系 列 的 加 、 乘 、 除 和 开 平 方 就 可算 出 值 。 24681357沃 利 斯 1650年 给 出蒲 丰 （ George-Louis LeclercdeBufon,1707.9.7-178.4.16）法 国 数 学 家 、 自 然 科 学 家1707年 9月 7日 生 于 蒙 巴 尔 ；178年 4月 16日 卒 于 巴 黎时 间 177年 的 一 天地 点 布 丰 家 里人 物 布 丰 邀 请 的 众 多 宾 客起 因
7、布 丰 请 大 家 前 来 观 看 一 次 据说 非 常 非 常 奇 特 的 实 验 。经 过 旁 白 此 时 布 丰 已 经 70岁 ！ 1、 纸 上 是 一 条 条 等 距 离 的 平 行 线2、 小 针 对 长 度 是 平 行 线 间 距 离 的 一 半记 录 ： 投 针 次 数 针 与 直 线 相 交 的 次 数数 据 统 计投 针 次 数 ： 212次针 与 直 线 相 交 次 数 ： 704次数 据 分 析 ： 212704 3.1423.142是 近 似 值历 史 上 一 些 学 者 的 计 算 结 果 (直 线 距 离 l=1)3.179585925200.54191925Re
8、ina 3.1415929180834080.831901Lazerini3.159548910300.75184Fox 3.137382601.01860De Morgan3.154121832040.6185Smith 3.159625325000.81850Wolf相 交 次 数投 掷 次 数针 长时 间试 验 者 似释 疑 rd=2rdr 找 一 根 铁 丝 弯 成一 个 圆 圈 ， 使 其直 径 恰 好 等 于 平行 线 间 的 距 离 d，对 于 这 样 的 圆 圈来 说 ， 不 管 怎 么扔 ， 圆 圈 都 将 和 平 行 线 有 两 个 交 点 ， 因 此 如 果 圆 圈 扔下
9、 的 次 数 为 n， 那 么 相 交 的 交 点 总 数 必 为 2n.现 在 将圆 圈 拉 直 变 成 一 条 长 为 d的 铁 丝 ， 根 据 机 会 均 等 的原 理 ， 当 它 们 投 掷 次 数 较 多 并 且 相 等 时 ， 两 者 与 平 行线 组 交 点 的 总 数 也 是 一 样 的 .当 投 掷 次 数 n增 大 的 时 候 ， 这 种 铁 丝 跟 平 行 线 相 交 的交 点 总 数 m应 当 与 铁 丝 的 长 度 l成 正 比 ， 因 而 有m=kl， 式 子 中 k是 比 例 系 数 .下 面 求 出 k的 值我 们 知 道 当 l=d 时 ， m 2n， 即 2
10、n=k d ， 所 以2nld2ln于 是从 而 （ 布 丰 公 式 ）当 l 是 d 的 一 半 的 时 候 ， m结 语布 丰 实 验 的 重 要 性 并 非 是 为 了 求 得 比 其 它方 法 更 精 确 的 值 . 布 丰 投 针 问 题 的 重 要 性 在 于它 是 第 一 个 用 几 何 形 式 表 达 概 率 问 题 的 例 子 .计算 的 这 一 方 法 ， 不 但 因 其 新 颖 ， 奇 妙 而 让 人 叫绝 ， 而 且 它 开 创 了 使 用 随 机 数 处 理 确 定 性 数 学问 题 的 先 河 ， 是 用 偶 然 性 方 法 去 解 决 确 定 性 计算 的 前 导 .
