1、1高等数学考研辅导练习 6 一元微积分学应用1 设 ，下列命题正确的是 。()sincofxxA 是极大值， 是极小值；B 是极小值， 是极大值；0()2f(0)f()2fC 是极大值， 是极大值； D 是极小值， 是极小值。()f2 曲线弧 上那一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。sin(0)yx3 设 由参数方程 确定，则曲线 为凸的 的取值范围为：()31ty()yx。4 证明当 时，实系数方程 只有唯一的实根。230ab320xabc5 试着用单调性和中值定理两种方法证明当 时， 。ln(1)xx6 证明当 时，有 。()lnab7 证明 ，这里 。1()12ppx01,xp8
2、 证明 ，这里 。lnll2yy 0,yx9 设 在 上连续，且严格单调，证明 。()fx,ab()(2()bbaafdfxd10设 在 上连续，且 ，证明 。f,()0fx 21()bbaafxf11设 在 上连续，且单调减少， 。证明对任意的()fx,ab()f有 。,01)0()ftdtd12 设 在 上连续，且单调不增。证明对任意的 有(fx, (0,1)。100()()ftft13设 在 上连续， 在 内存在且可积， ，试证()fx,abx,ab()fab。()()2affdx14 设 ，证明 。()0,fx()()()22baffxdfa15 设 在 上单增，且 ，证明()f,ab
3、()0,fx2。()()()2bafabbffxd16 设 在 上非负可积，且 ，试证()fx1,0a1()0axfd。211()()aaxfdf17 设 恒正，且 ，则当 时，有（ ）：(),fxg0fgfxaxbA ； B ；()()fbfx()()fgfC ； D 。xgxa18 过坐标原点作曲线 的切线，该切线与曲线 及 轴围成平面图形 。lnyxlnyxD（1） 求 的面积；（2） 求 绕直线 旋转一周得旋转体的体积 。DeV19设 是由抛物线 和直线 围成的平面区域； 是由抛物线12,0xa2和直线 围成的平面区域，其中 。2yx,0ay2（1） 求 绕 轴旋转一周得旋转体的体积
4、； 绕 轴旋转一周得旋转体的体积 。1 1VDy2V过坐标原点作曲线 的切线，该切线与曲线 及 轴围成平面图形 。lnyxlnxD（2） 为何值时， 取得最大值，并求出最大值。a12V20 求旋轮线 一拱绕 轴旋转一周得旋转体的表面积。(si),(1cos)xtyatx21 求心形线 的全长。co0r22 在 平面上连续曲线 过点 ，其上任意一点 处的切线斜xOyL(,)(,)0)Pxy率与直线 的斜率之差为 ，这里的常数 。 （1） 求 的方程；PaxaL（2） 当 与直线 所围成的平面图形的面积为 时，确定 的值。L8/3a23 位于曲线 下方， 轴上方的无界图形的面积为 。(0)xyex
5、24 双纽线 所围成的区域面积可用定积分表示为（ ）：22yA ； B ；402cosd40cosdC ； D 。40 2401325 由曲线 围成的平面图形的面积 。1,2yxyS26 曲线 与 轴所围图形的面积可表示为（ ）：()xA ； B ；201xd1201()()xdxdC ； D 。21()x027 求曲线 在区间 内的一条切线，使其与 及 所围图形lny(,6) 2,6xlnyx的面积最小。练习 8 无穷级数1 判断下列级数的敛散性，并说明理由。（1） ；2211cos,sin,in（2） ； （3） 。()1()np2 若 收敛，0na（1） 证明下列级数皆收敛： ；21,n
6、nnnaa（2） 问：当 时， 是否一定收敛？说明理由。1kkna3 已知 单减，且 ，证明 收敛。nalim012()nna4 求下列函数项级数的收敛域：（1） ； （2） 。1xn 20()3nnx5 写出 的展开式，注明收敛域，并求 的级数表示。l()l6 求下列幂级数的和函数（1） ； （2） ； （3） 。21nnx210(1)!nnx1()nnx7 求下列函数的幂级数展开式。（1） ； （2） ； （3） 。10x319x256x8 求 在 处的泰勒展开式，并求 的值。ln1()n49 求幂级数 的收敛半径和收敛域。21!nnx10 将函数 展开成 的幂级数，并求级数 的和。()a
7、rct2fx0(1)2n11 若 收敛，则（ ） 。nA 收敛； B. 收敛； C. 收敛； D. 收敛。a(1)na1()na 12na12设 ，若 发散， 收敛，则下列正确的是 0(,2n n(n。A 收敛， 发散； B. 发散， 收敛； 21na21na21na21naC. 收敛； D. 收敛。21()n21()n13 （1）验证函数 满足微分方3693(1(,)!()!nxxy 程 。 （2）利用（1）的结果，求幂级数 的和函数。xye 31()!n14 设幂级数 的收敛半径分别为 和 ，则幂级数 的收敛11,nnabx 5321nnaxb半径为 。 。()5;();();()5ABC
8、D15 设 ，试证112,()(1,2)nnaa （1） 存在； （2） 级数 收敛。limn1()n16 设常数 ，且级数 收敛，则级数 是（ ） 。021na 21()nna（A） 发散； （B） 条件收敛； （C） 绝对收敛； （D） 收敛性与 有关。17级数 （ ） 。1()cos)(0)n（A） 发散； （B） 条件收敛； （C） 绝对收敛； （D） 收敛性与 有关。a518 已知级数 ，则级数 。121(),5nna1na19 设常数 ，则级数 （ ） 。0k21()nk（A） 发散； （B） 条件收敛； （C） 绝对收敛； （D） 收敛性与 有关。k20 设 ，则 。20cos(
9、)nxax2a21 设 ， ，其中12()2fxx01()cos()2nSx，则 。10()cos(0,1)nafnd 5()22 设 ，则以 为周期的傅立叶级数在点 处收敛于 2xfx2x。23 设函数 ，而 ，其中2()01fxx1()sin()Sxbx，则 。102sin(,nbfd 224 设幂级数 在 处收敛，则此级数在 处（ ） 。1nnax12x（A） 条件收敛； （B） 绝对收敛； （C） 发散； （D） 收敛性不能确定。25 求幂级数 的收敛域。13nn26 设 ，试将 展开成关于 的幂级数，并求级数2arct0()xxf()fxx的和。21()4nn27 已知 满足 ，且 ，求 的和。()nfx1()nxnffe()nef1()nfx
