1、高等数学复习教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续 函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法 （1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与 Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，
2、数列与级数的性质）1. （ 等价小量与洛必达 ）612arctnlim)21ln(arcti 3030 xxx2.已知 2030 )(li(6si xffxx ， 求解： 2030 3cosli)il yfxfx 72)0(6)(32163cos1lim2sinlim0 yy xyxxx（ 洛必达 ）3li2lili 0020xxf3. （ 重要极限 ）11)(limx4.已知 a、b 为正常数， xxba30)2(lim求解：令 2ln)ln(l,)2(3xxxtt（ 变量替换 ）2/300)( )l(3)ll(linlimabt abbaxxxx5. )1ln(02coslixx解：令 )
3、ln(cos)1l(,)(2)1ln(2 xttx（ 变量替换 ）/00alimli ettxx6.设 连续， ，求 )(f 0)(,)(ff 1)(lim022xxdtf（ 洛必达与微积分性质 ）7.已知 在 x=0 连续，求 a0,)ln(cos)2xaf解：令 （ 连续性的概念 ）/1/)l(im2x三、补充习题（作业） 1. （ 洛必达 ）3cos1lim0xexx2. （ 洛必达或 Taylor）)in(li0tgx3. （ 洛必达与微积分性质 ）1li20xtxed第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合
4、、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解 Roll、 Lagrange、 Cauchy、 Taylor 定理会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1. 决定，求52arctn)(eyxy由 dxy2. 决定，求si)l3由 1|0x解：两边微分得 x=0 时 ，将 x=0 代入等yxyco式得 y=13. 决定，则 yxyy2)(由 dxdyx)12(ln|0B.曲线切法线问题4.求对数螺线 处切线的直角/,/ee
5、（），在 （坐标方程。解： 1|),0(|),(sinco2/2/2/ yeyxeyx2/5.f(x)为周期为 5 的连续函数，它在 x=1 可导，在 x=0的某邻域内满足 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在（ 6， f(6)）处的切线方程。解：需求 ，等式取 x-0 的极限有：)1(,)6(,ff或f(1)=0 )6(2)1(8)(413limsin)i()1(0sin xyff tfftxfftxC.导数应用问题6.已知 ，xeffxy 1( 2满 足对 一 切，求 点的性质。)0()0xf若 ),(0y解：令 ，故为极小0,01xexfx代 入 ，值
6、点。7. ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、23)1(xy渐进线。解：定义域 ),1()(x： 斜： 铅 垂 ；拐 点 及驻 点 200 3xyy8.求函数 的单调性与极值、渐进线。xexarctn2/)1(解： ，10arctn2/2 xyx与驻 点)(yxe与渐 ： D.幂级数展开问题9. xdtd022sinsin x nnx nnnnxxxdtdt txtxtxdt txtttx0 2)12(62 4732 1417)12(622 si!)!1)sin(i )!()()!1)()sin( !i或： 20202 sinsi)(sinxduxdudxutx 10.求 )()1l()(2
7、ff 阶 导 数处 的在解： )213ln 222 nnxoxx= )(2)1(3543 nnxo2!)1(0)( nfnE.不等式的证明11.设 ，,x 21)ln(12l)1(l)2 xx，求 证 （证： 1）令 0,2gg； 得 证 。单 调 下 降 ， 单 调 下 降单 调 下 降 ，时 0)()(,0)( )(, 01)l()(,),( 2xgxgxg2）令 单 调 下 降 ， 得 证 。,0)(,1,)1ln()xhxxhF.中值定理问题12.设函数 具有三阶连续导数，且，在f，)(,0)(f，求证：在（ -1， 1）上存在一点 3)(f， 使证： 32)(!)0(!)()( xf
8、xfxfxf 其中 ,0将 x=1， x=-1 代入有 )(61)0(2)(1021fff两式相减： 21ff 3)()()( 2121 f，13. ，求证： eba4ln2abeb证： )()(:fafLgrn令 ln2ln,l)(2abxf令 222 ln)(0l1)(,l)( eett （关键：构造函数）4ln22abeb三、补充习题（作业）1. 23)0(,1ln)(2yxxf求2.曲线 01),(cosi xyteyt 处 切 线 为在3. ex0)1ln(的 渐 进 线 方 程 为4.证明 x0 时 22)1(lnx证：令 3222 )1(),(,l)() xgxxg 01(01g
9、，0),1(02,),( gxx第三讲 不定积分与定积分一、理论要求1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2.定积分 理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法A.积分计算 1.Cxxdxd2arcsin)2(4)(2. xedeee xtant1tan 2223.设 ，求xf)l()(df)(解： edfx1ln Cexde xxxxx )1ln()()()l(4. 1 1212
10、 2l4lim|arctnarctnbdd B.积分性质 5. 连续， ,且 ，求 并讨)(xf0)()(dtxfAxf)(0)(x论 在 的连续性。解： xdyfxtyf 0)()(,0)()0(2/)0(lim2)0()()( 20 Axdyffx x6. xx xtdfdttfd02202 )()()()(2yC.积分的应用 7.设 在 0， 1连续，在（ 0， 1）上 ，且)(xf 0)(xf，又 与 x=1,y=0 所围面积23 xa)(fS=2。求 ，且 a=?时 S 绕 x 轴旋转体积最小。)(f解： 102 42)(3)(23)( acdxfcxaxfaxfd25(14yVf
11、8.曲线 ，过原点作曲线的切线，求曲线、切线y与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转的表面积。解：切线 绕 x 轴旋转的表面积为2/y 520yds曲线 绕 x 轴旋转的表面积为1)5(621yds总表面积为三、补充习题（作业）1. Cxxdxcot2sinlcotsinl22. 13653.dxarcsi第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论要求1.向量代数 理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）了解两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义与坐标表示2.多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复合函数与隐函数
12、求导法3.多元微分应用理解多元函数极值的求法，会用 Lagrange 乘数法求极值4.空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离二、题型与解法A.求偏导、全微分1. 有二阶连续偏导， 满足)(xf )sin(yefzx，求zezxy2)(f解： uuecf 2102. yxzxyfxz)()(1， 求3. ，求决 定由 0),(, Ffzydxz/B.空间几何问题4.求 上任意点的切平面与三个坐标轴azy的截距之和。解： adzyx000/5.曲面 在点 处的法线方程。2132)2,(C.极值问题 6.设 是由 确定的),(yxz 018
13、6zyxy函数，求 的极值点与极值。,三、补充习题（作业）1. yxzgyxfz2),(,(求2. f求),(,(3. dzxyyxuz 求,arctn,ln,2第五讲 多元函数的积分一、理论要求1.重积分 熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）Drbaxyrdfdyxyf21)(,),(V rzzzbaxyyxdrfdrzfxyzf)(21),(212,)(21),(sin),),),(会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量） DyxdzAyxfz 21),(2.曲线积分 理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法L ttbaxdrrfr
14、ytxtyxLyfdlyxf 22)sin,co()(: (1),)(:),(熟悉 Green 公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件3.曲面积分 理解两类曲面积分的概念（质量、通量） 、关系熟悉 Gauss 与 Stokes 公式，会计算两类曲面积分 LSSVDxy yxyxzS dFrdtokesEGau dzyzfzf 旋 度 ）通 量 ， 散 度 ）()(: 1),(),( 2),(: 二、题型与解法A.重积分计算1. 为平面曲线 绕 z 轴旋转一周与 z=8,)(2dVyxI 02xy的围域。解： 31024)( 20802280 zzyx rddzxydI2. 为 与DDa,422
15、 )(2axa围域。 （xy)16(I3. ，其 他,00,2),(2xyxyf求 (49/20)Dxydxyf 2:,),(2B.曲线、曲面积分 4. L dyaebeI )cos()(sin0,2)0,(OxayA至沿从解：令 AO至沿从132201 )()()( abdxbdxyabI aDL 5. , 。yxdI24为 半 径 的 圆 周 正 向为 中 心 ，为 以 )1(),(R解：取包含(0,0)的正向 ，sinco:1ryxL 1110LLL6.对空间 x0 内任意光滑有向闭曲面 S，且 在 x0 有连续0)()(2S xzdyexyfdzxf )(xf一阶导数， ,求 。1li
16、m0x)(f解： s xdVefxffdVFSd )()(0 211)( 2xxeyeyx第六讲 常微分方程一、理论要求1.一阶方程 熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法2.高阶方程 会求 )(),(),(),(),()( ypyfxpyxfyfyn 3.二阶线性常系数(齐次 )sinco()00 211221122xeyixqqp (非齐次 ) xnxnxn eQyadorePxf 2212)()(非齐),max(si)cos)(ics2 jixrxqeyippf nnjix 次 )二、题型与解法A.微分方程求解 1.求 通解。 （0)2()23( dyxdyx3cy2.利用代
17、换 化简 并求通解。xuos xeyxycos3sin（ ）ecce5i2,4 13.设 是上凸连续曲线， 处曲率为 ，且过 处)(xy),(yx21y)1,0(切线方程为 y=x+1，求 及其极值。y解： 2ln1,2ln1|)4cos(|ln01 max2 yxy三、补充习题（作业）1.已知函数 在任意点处的增量 。( ）)(xy )1,)0(,12yxoy求4e2.求 的通解。 （ ）e24xxecey2143.求 的通解。 （ ）0)(,(0)( ydxy )1(2xy4.求 的特解。 （)(,2 ye e31第七讲 无穷级数一、理论要求1.收敛性判别 级数敛散性质与必要条件常数项级数
18、、几何级数、p 级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式判别法交错级数判别法2.幂级数 幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）Taylor 与 Maclaulin 展开3.Fourier 级数 了解 Fourier 级数概念与 Dirichlet 收敛定理会求 的 Fourier 级数与 正余弦级数,l,0l第八讲 线性代数一、理论要求1.行列式 会用按行（列）展开计算行列式2.矩阵 几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵初等变换、
19、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩与逆理解并会计算矩阵的特征值与特征向量理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质3.向量 理解 n 维向量、向量的线性组合与线性表示掌握线性相关、线性无关的判别理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质4.线性方程组 理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解掌握用初等行变换求解线性方程组的方法5.二次型 二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换二次型的标
20、准形、规范形及惯性定理掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法第九讲 概率统计初步一、理论要求1.随机事件与概率 了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算会计算古典型概率与几何型概率掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式2.随机变量与分布 理解随机变量与分布的概念理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度掌握 0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数3.二维随机变量 理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布理解随机变量的独立性及不相关概念掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度会求
21、两个随机变量简单函数的分布4.数字特征 理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望5.大数定理 了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理了解隶莫弗-Laplace 定理与列维- 林德伯格定理6.数理统计概念 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩了解 分布、 t 分布、F 分布的概念和性质，了解分位数的概念2了解正态分布的常用抽样分布7.参数估计 掌握矩估计与极大似然估计法了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性会求单个正态总体的均值和方差的置信区间8.假设检验 掌握假设检验的基本步骤了解
22、单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验第十讲 总结1.极限求解 变量替换（ 作对数替换） ，洛必达法则，其他（重要极限，微积分1性质，级数，等价小量替换）1. (几何级数)2)1(.)2()(limaxnxnaxn 2. (对数替换)2/10)arcos2(liexx3. 2tn1lix4. 21)63(limxx5. 21)()(liaxnnax6. ，求)0(cos,4,2s1)(0xtdxxfx )(lim0xf2.导数与微分 复合函数、隐函数、参数方程求导1. )()(bax2. ，求 dy/dx0)sinrctyxy3. 决定函数 ，求 dytextio(4.已知 ，验证1ln2y
23、0)124yxy5. ,求bxvueysin,3,3x3.一元函数积分 1.求函数 在区间 上的最小值。 （ 0）xdttI021)( 2.2|1|dx3. 02/3)（4.dx)1(5. 2t6.dx2414.多元函数微分1. ，求),(xyefzyxz,2. 由 给出，求证：),(0),(Fxyzxzy3.求 在 O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。xyyxu2,24. ，求)ln(siyxuxu26.证明 满足2fznzyz7.求 内的最值。18:4),( 22xDxyxf 在5.多元函数积分 1.求证： brotatbadiv2. DyxyxI 2:,)(23. 4.改变积分次序 201),(xdyfd5. 围域。 DxyI 1,:,)(26.常微分方程 1.求 通解。01ln122dyxd2.求 通解。ey353.求 通解。x264.求 通解。0)()(2 dydyx5.求 特解。)(,2cos14x6.求 特解。1)(,yeyx高等数学考研题型分析 填空题：极限（指数变换，罗必达） 、求导（隐函数，切法线） 、不定积分、二重积分、变上限定积分选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用
