第10章 多目标规划简介.doc

1、142第 10 章 多目标规划简介10.1 基本概念与术语10.1.1 模型举例例 1(物资调运优化): 假设物资调度部门计划将某种物资从若干个储存仓库，调运到若干个销售网点。考虑到物资的时效性和销售效益，调度部门希望物资在运输过程中尽可能快地到达目的地；考虑到运输的成本，调度部门还希望物资的 总运输费用最小。假设 个仓库的物资库存量为 ， （单位：t)； 个销售网点预计销售量为m1amn， （单位：t)。1bn仓库 i 与销售网点 j 之间的路程为 (单位：km)，单位物资的运费为 （元）。ijdijc用物资吨公里总数来衡量物资的运输品质，吨公里总数最小意味着有适量的物资尽可能快地到达目的地

2、。记从仓库 i 到销售网点 j 运送的物资量为 。ijx目标函数：（1）物资在运输过程中的吨公里总数为 ijijd（2）物资运输费用总和为 ijijxc约束条件为产销平衡条件：ijiajijbx优化问题模型： njmixjbiaxcdijijjiijijijij ,1 , ,0 , , s.tmn 多目标规划（MOP）问题描述:143)3( ,0)( 2s.t 1 )(,)(, min21EjxhIigxfffji Tp称为向量值目标函数。变量可行域记为)(xf 2|）（）满 足 （ RSnS 的像集 称为目标可行域，Z 中的元素 称为目标向量。)(f)(xfz如果不指明约束函数的具体形式，多

3、目标规划问题可以简记为 )(min )MOP(fVSx若每个目标函数 都是凸函数，并且可行域 S 是凸集，则（MOP）称为多目标凸规划)(xfi问题。10.1.2 向量集的有效点与弱有效解在讨论向量集的有效点之前，约定如下记号：对于任意两个向量Tnxx),(21Tnyy),(21令（1） iyxi , ,（2） jjii yxj， 使 得但 存 在 某 个（3） 0x（4） niyxi ,21 ,（5） ii 定义 1：给定一个向量集 ，对于点 ，若 ，有 ，则称nRXXx0xx0是 X 的绝对最小点（即绝对最小向量）。若不存在 ，使得 （ ），0x 0则称 是 X 的有效点（弱有效点）。集合

4、 X 的所有绝对最小点、有效点和弱有效点的集合分别记为 ， 和 。aEpw144例 2：考虑椭圆 。4)2(5.0(|),121 xxXaE0,5.|21xXxwp从几何上看， 表示椭圆的左下部（包括端点）。约定：非负锥： |xRnn正锥： 0定理 1：给定 ，考虑下面条件：nX0（1）对某 ，函数 （ ）在 处取到最小值；niiTxX0x（2）对某个 ， ，函数 （ ）在 处取到严格最小值；RT（3）对某个 ， ，函数 （ ）在 处取到最小值。n00若条件（1）或（2）成立，则 是 X 的有效点。x若条件（3）成立，则 是 X 的弱有效点。10.1.3 多目标规划的解及其性质考虑形如式（1）

5、-（3）的多目标规划问题，变量可行域，目标可行域 。32|）（）满 足 式 （ xRSn )(SfZ定义 2：给定一可行点 ，若 ，有 ，则称 为问题(MOP）Sx*x*x*的绝对最优解（绝对最小解）。若不存在 ，使得 ( ) , )ff(*xf则称 为问题（MOP）的有效解（弱有效解）。*x问题（MOP）有效解也称 Pareto 最优解。将问题（MOP）绝对最优解、有效解、弱有效解集合分别记为 ， 和 。aSpw多目标规划的（弱）有效解与其目标可行域的（弱）有效点之间有紧密的联系，概括为如下定理：145定理 2：对于问题（MOP)，令 表示目标函数在定义域 S 上的值域（目标可行)(SfZ域

6、）,Z 的有效点集和弱有效点集分别记为 和 ，则（MOP）的有效解集 和弱有效pwp解集 ，由下面式子给出：wpS（1） pZf fxS* )(|*（2） wpf *|解集合 ， 和 之间的关系，有如下定理：aS定理 3：对多目标规划问题（MOP)，必有（1） Swpa（2）当 时，a（3）若可行域 S 为凸集，f 是 S 上严格凸的向量值函数，则 。wpS如果记单目标优化问题 )(minxfS的最小点的集合为 ，那么多目标规划问题的绝对最优解的集合iSpia1此外，容易证明 成立。wpi根据定理 3，有如下结论： wppiSS1)(例 3：求解两目标优化问题 TSxx) ,2(min其中 。

7、2 ,0S记目标 , 。xfz2)(1fz)(2单目标优化问题 的最优解集 ， ,故绝对最优解集 。)(in,0f12SaS该问题的目标可行域为 0 ,|2212zzRZ根据 Z 的（弱）有效点定义以及定理 2， 该问题的有效解集与弱有效解集相等 。特别地，。2,1wpS例 4：求解两目标优化问题 TSxx) ,(min2121其中 。),(2T146记目标 , .211)(xfz212)(xfz单目标优化问题 最优解集 ， ,故绝对最优解集minfSx0,1TS)1(TS。aS根据定理 3 中结论(3)， 该问题的有效解集与弱有效解集相等 .另外，该问题的目标可行域 Z 为 10 ,120|

8、 2212 zxzxRz根据 Z 的（弱）有效点定义，可以知道 3,1 ,201zzRwp利用定理 2，有 。)(),0(pS10.2 多目标规划的解法10.2.1 多目标规划的直接解法多目标规划问题（MOP）的本质在于：各个子目标有可能是相互矛盾的，一个子目标的改善有可能引起另一个子目标的恶化，同时使所有子目标都达到最优值一般是不可能的，只能是在这多个子目标之间进行协调和权衡，使各个子目标尽可能地达到理想值。多目标规划问题的直接解法，就是寻找它的整个最优解集（Pareto 有效解集）。除了特殊的情形，计算所有的最优解是比较困难的，因为确定整个有效解集的问题是 NP-hard的。目前对直接解法

9、的研究结果还比较少，主要采用间接解法。直接解法的最新进展多目标遗传算法（MOGA） 。多目标规划 Pareto 最优解一般是一个集合。由于 GA 是对整个群体所进行的进化运算操作，它处理的是个体的集合，这种相似性使得 GA 可以作为求解多目标规划问题的147Pareto 最优解集的一个有效手段。注 1：间接解法的共同特点：将多目标规划问题转化为一个或多个单目标优化问题。通过求解单目标优化问题得到（MOP）的一个或多个最优解。一般并不要求间接解法给出问题的所有最优解。10.2.2 基于一个单目标问题的方法基本思想：首先将原来的多目标规划问题（MOP）转化成一个单目标优化问题；然后利用非线性优化算

10、法求解该单目标问题，把所求得的最优解作为问题(MOP）的最优解 线性加权和法 主要目标法 理想点法 极小化极大法这类方法的核心：保证所构造的单目标问题的最优解是（MOP）的有效解或者弱有效解线性加权和法：根据 个目标函数 的重要程度，分别赋予一定的权系数 ，然后将所有的目标函pjf j数加权求和作为新的目标函数，在（MOP）的可行域 S 上求出新目标函数的最优值。 问题转化为如下单目标优化问题：（ ） SP 0)( ,)(| s.t)(minxhgRxSffnjjT其中 。f, g, h 为向量值函数。1 ,0jj主要目标法：根据实际情况，首先确定一个目标函数为主要目标，不妨假设 为主要目标，

11、而)(1xf把其余的 个目标函数 作为次要目标。1-p)(xfj然后借助于决策者的经验，通过选定一定的界限值 （ ），把次要目标转jup,2化为约束条件，通过求解如下的单目标优化问题获得问题（MOP ）的最优解：（ ） SP , ,)(| s.t)(min1jxfSxfj 10.2.3 基于多个单目标问题的方法基本思想：根据某种规则，首先将（MOP）问题转化为有一定次序的多个单目标优化问题；然后，依次分别求解这些单目标优化问题，并且把最后一个单目标优化问题的最优解作为原问题的最优解。 分层排序法148 重点目标法 分组排序法这类方法的核心：保证最后一个单目标优化问题的最优解是（MOP）的有效解

12、或者弱有效解。分层排序法：根据目标的重要程度将它们一一排序；然后分别在前一个目标的最优解集中，寻找后一个目标的最优解集，并把最后一个目标的最优解集作为问题（MOP）的最优解。首先，通过求解单目标问题 )(min )P(11xfS得到 的 最优解集 。然后对于 ，依次求解单目标优化问题 )P(1 S1,23pj)(i )(1fjSxj得到 的 最优解集 。最后，将 中的点作为（MOP）的 最优解 。 )(j j p重点目标法：在 p 个目标函数中，首先确定最重要的目标，比如 ，并且在 S 上求出 的最)(1xf )(1xf优解集 ；然后，在 上求解其余 个目标对应的多目标规划问题1S1S1Tpx

13、xff)(,)(min )MOP(2 1把（MOP）的有效解或弱有效解作为（MOP）的最优解在求解问题（MOP）时，可以利用前面介绍的方法，将（MOP）转化为一个单目标优化问题求解。分组排序法：根据某种规则，首先将（MOP）的目标分成若干个组，使得在每个组内的目标的重要程度相差不多，此时，每组目标实际上对应着一个新的多目标规划问题；然后，依次在前一组目标对应问题的最优解集中，寻找后一组目标对应问题的最优解集，并把最后一组目标对应问题的最优解作为（MOP）的最优解注 2：分组排序法实际上是分层排序法的推广形式。分层排序法是针对单个的目标进行分层，求解相应的单目标优化问题;分组排序法则是对一些目标的集合进行分层，求解相应的小规模多目标规划问题149习题1 求解双目标优化问题 0, 627 s.t ) ,3(min12121xx2 对于双目标优化问题 0, 32 s.t )3 ,2() in11 2112xxf（1） 若取权向量 ，试利用线性加权和法求出一个有效解；4/5) (, （2） 利用线性加权和法能否求出该问题的所有有效解？（3） 你能求出该问题的有效解集吗？