1、第二章 随机变量及其分布第四节 常用离散型随机变量的分布律一、两点分布定义 若随机变量 的分布律为X,qPpX0,1)0(q则称 服从参数为 的两点分布,或称(01)分布.两点分布描述的随机试验的例子:一般来说,凡是只有两个可能结果的随机试验,都可用服从两点分布的随机变量来描述.例如,赌博中的输和赢;抽签的中和不中;设备质量的好和坏;舆论调查的赞成和反对等都可以看作(0-1)分布.服从(0-1)分布的试验叫做贝努利试验。二、泊松分布定义 若随机变量 的分布律为X， ,!kekXk 210其中 ,0则称 服从参数为 的泊松分布，记作 .)(用到 )0!kkxe泊松分布的实例:泊松分布也是一种很有
2、用的数学模型,在实际中有着广泛的应用.例如,在一段时间 内,某电话交0t换台接到的呼叫次数;到达某机场的飞机数;纺织厂生产的布匹上疵点的个数;一批牧草种子中杂草种子的个数;晴朗的夜晚,观察某片天空出现的流星个数等等,这些随机变量都可以认为是服从泊松分布的.三、超几何分布设一批产品中有 件正品,M件次品.从中任意取 件,则取Nn到的次品数 是一个离散型随X机变量,它的概率分布为,nNMkCP, ,lk21,0)mi(这个分布称为超几何分布.一般地, 若随机变量 的分X布律为,nNMkCXP, ,lk21,0)mi(则称随机变量 服从超几何分布. 超几何分布在产品的质量检查与控制中有它的应用.四、
3、二项分布二项分布来源于 重贝努里n(Bernoulli)试验,为此,先介绍 重n贝努里试验.(1) 次相互独立的试验:n把某种试验重复做 次.如果每n次试验结果出现的概率不依赖于其它各次试验的结果,则称这 试验是相互独立的.例如,有放回抽样 次,一枚匀n称的硬币连续投掷 次; 一颗匀称的骰子连续投掷 次等等,都可以作为 次相互独立的重复试验.n(2) 重贝努里试验:设试验 只有两个可能结果:E和 .出现 的概率记为A,出现 的概率记)10()pPA为 .q将试验 独立地重复做 次,则En称这一串独立地重复试验为 重贝努里试验.贝努里试验是一种非常重要的数学模型，不但理论上有重要意义，而且在实际
4、中有广泛应用。如产品的质量检查， “有放回”抽样是贝努里试验.对无放回抽样，当整批产品的数量相对于抽样个数很大时，也可以近似当作贝努里试验。又如一射手射击目标 次；观察某单位n的 个同型设备在同一时刻是否正n常工作等等，都可近似看作 重贝n努里试验。（3）分布律设 重贝努里试验中事件nA发生的次数为 .易知 为随机变X量,它的所有可能取值为 .n,210事件 “事件 在 重k贝努里试验中恰好发生了 次 ”.也就是 A发生了 次而 发生了 次.n令 “第 次试验时 发生”, i iA.则 相互独立.n,21n,21,nAX210;021)()(nnqpCPPnnA21,nA121;npqCXP;
5、22nn,knknqp, (2.6)k2,10显然,0knknqpCXP;k,210,1)(00 nknnknk qp即式(2.6)满足概率分布的基本性质.所以式(2.6)是随机变量 的概X率分布.随机变量 的分布律为X,knknqpCP. nk,210名称来源:由于 knknqpCXP恰是二项式 的展开式中的一)(般项,所以称概率分布,knkn,为二项分布.k2,10(4)二项分布的定义如果随机变量 的概率分布律为X, ,knknqpCXPn2,10),10(则称 服从参数为 的二项分布,记作 .,(B(5) 二项分布应用举例例 设一批产品中有 件正品,M件次品.现进行 次有放回的Nn抽样检
6、查,则取到的次品数 是X一个离散型随机变量,它的概率分布为,()()kknknNMPXC。0,12,k例 1 某射手射击一目标,设他每次命中目标的概率均为 .现对目6标射击 5 次，求：（1） 目标恰好被击中 3 次的概率；（2）目标被击中的概率.解 把射击目标一次看作一次试验,令 “击中目标” ,由题设A,6.0)(P对目标射击 5 次可以看作 5 重贝努里试验.记 为 5 次射击中击中目标的次X数,则 .于是)60,(B(1) 目标恰好被击中 3 次,;456.0.3)( 235CP(2) 目标被击中,51)(kXPCPk5514.06.98.5X例 袋中有 10 件产品,其中 6 件一级
7、品,4 件二级次品,作有放回抽取 5 次,每次取一件,求:(1)恰取到2 件一级品的概率;(2)至少取到 4件一级品的概率.解 设 取到一级品, ,A6.0)(AP记 为 5 次抽取中取到一级品的次X数,则 .于是)60,(B(1) 恰取到 2 件一级品,;2304)( 325CXP(2) 至少取到 4 件一级品,5)( XP.370.6.05145 例 2 设一次试验中事件 发生A的概率 (如果 是很小的正)AP数,则称 为小概率事件),把试验独立地重复做 次,求事件 至少发生n一次的概率.解 记 为 次试验中事件 发生XA的次数,由题设知 .),(nB令 事件 至少发生一次,BA01)()
8、(PP.nnnC)(0 易知,当 时, .1)(1n这说明,当 充分大时,事件 迟早nA要发生.从而得出一个重要结论:“小概率事件在大量重复试验中是迟早要发生的”.因此,在试验次数很大的情况下,小概率事件是不容忽视的.这个结论在实际中很有用.(概率论中的这一个结论告诉人们,不能忽视小概率事件,一个看来可能性很小的事件,在大量重复之下,可能性就会很大.例如,在山林里丢一颗烟头,引起火灾是小概率事件,但如果很多人都那么做,则“迟早会引起火灾”,这是人人都明白的常识,所以大家在旅游点看到“严禁烟火”.中国的朴素哲学有几条:“恶有恶报,善有善报,不是不报时侯没到,时侯一到一定要报”,“常在河边走，那能
9、不湿鞋” ， “多行不义必自毙”， “逃过初一，躲不过十五” ， “智者千虑，终有一失” ， “愚者百思，终有一得”等等,这些是深入人心的信念,大家还可举例说明.本题的结果从数学理论上对上述现象给了定性的证明。)五、二项分布的近似计算和泊松分布查表当二项分布 的很 大，),(pnB很小的时候，概率分布p非常接近泊松分knknqCXP布的概率分布，下面将说明这一点。将 代入二项分布的np，那么有knknqCXPknknpknk)1(!)()1nkk nkn)1()(1()2(1! 这里在保持 和 不变的情形下,令 ,则有,1)(1()21(knkn,en所以 ,( , )!keqpCkknknn
10、p特别地，当 很大, 比较小(一般 时，有近似公式：)1.0,!keqpCkknkn其中 .,n,2泊松分布查表:设 ,!keYPk ,210,)(xF)(1xF,(算的是余项).xkke!(这里 为正整数)P359,附表一的构造及查法请同学们自学一下.例 3 某保险公司有 5000 个同年龄的人参加人寿保险.规定:参加保险者在一年的第一天交付 100 元保险金.若在一年内被保险者死亡,其家属可从保险公司领取 3 万元赔偿费.设在一年里被保险者的死亡率为 1.2.试求该保险公司在这一年中至少盈利 20 万元的概率. 解 记 为 5000 个被保险者在X一年内死亡的人数,则, )(pnB, ,
11、,50012.6np保险公司一年共收入(万元),支付赔偿费1.共 (万元).X3设 保险公司至少盈利 20 万元,B102035)( XPXPBknknqpC1016106!kkk ee.9574.042.查 表可见, 该保险公司在这一年中有近百分之九十六的把握至少可以盈利 20 万元.例 将次品率为 0.016 一批集成电路进行包装,要求一盒中至少有 100 只正品的概率不小于 0.9,问一盒至少应装多少只集成电路？解 设至少应装 只集成N10电路,(也就是说装了 只)记 为次品个数,根据题意X, ,)(pB6.,.10N设 至少有 100 只正品=至多有 只次品,0)(9.0NXPBkkN
12、kqpC101,Nkke06.!16.!Nkke,16. .Nk查泊松分布表得, ,3,4故至少应装 只集成电路.03六、小概率事件和实际推断原理设一次试验中事件 发生的概率A( 是很小的正数,称为小概)AP率事件).“小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生”原理(概率论中称它为实际推断原理).它是指人们根据长期的经验坚持这样一个信念：概率很小的事件在一次实际试验中是不可能发生的。如果发生了，人们仍然坚持上述信念，而宁愿认为该事件的前提条件起了变化。例如，认为所给有关数据（资料）不够准确，或认为该事件的发生并非随机性，而是人为安排的，或认为该事件的发生属一种反常现象等等。小概率原理又称实际推断原理，它是概率论中一个基本而有实际价值的原理，就在日常生活中也有广泛应用。人们出差，旅行可以放心大胆地乘坐火车，原因是火车出事故这事件的概率很小，在一次试验（乘坐一次火车）中，这个小概率事件实际上不会发生的。我们先看几个小概率原理的例子。例 4 从一家工厂生产的一大批某种产品中,不放回地抽取 50 次,每次取一件.经检查发现其中 3 件次品.问是否可相信该批产品的次品率不超过 12 .解 见书
