1、2.4 几种类型函数的求导方法,一、隐函数的求导法 二、对数求导法 三、参数方程所确定的函数的导数 四、相关变化率,定义:,隐函数的显化,问题: 隐函数不易显化或不能显化, 如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,一、隐函数的求导法,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数,称为显函数.,则称此函数为隐函数.,例1,解:,解得,例3,解,将 代入(1)得,将,二、对数求导法,观察函数,方法:,先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,适用范围:,思考如何求导？,结论：,例4,解,等式两边取对数得,例5,解,等式两边取对数
2、得,也可直接根据复合函数求导方法求导,上式两边对x求导得,一般地,三、参数方程所确定的函数的导数,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,若参数方程 确定 y与 x间的函数关系, 则称此为由参数方程所确定的函数.,由复合函数及反函数的求导法则得,例6,解：,所求切线方程为,例7,解,例8,解,四、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,仰角增加率,例9. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时, 观察
3、员,视线的仰角增加率是多少?,解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则,两边对 t 求导,已知,h = 500m 时,思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以,100 mmin 的速率向气球出发点走来,时, 仰角的增加率是多少 ?,提示:,对 t 求导,已知,求,当距离为500 m,试求当容器内水,例10. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,水的,两边对 t 求导,而,故,体积为 V , 则,小结,隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;,对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;,参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;,相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式求导法求解.,思考题,思考题解答,不对,?,2. 设,求,提示: 分别用对数微分法求,答案:,解:法一:,法二:,解:,对方程组中两方程两边分别对 t 求导,得,
