1、离散数学课程考核说明与综合练习第一部分 考核说明本课程的计划学时数为 54 学时，对教学大纲中注有“*”的内容不做要求。各章的重点习题请参考教学大纲中的附件（离散数学平时作业要求） 。考试题型为填空题、单选题、计算题、问答题和证明题。各章的复习重点和具体要求如下：第一章 集 合熟练掌握集合、子集、包含、相等、空集、全集、幂集等基本概念和并、交、差、补的基本运算。在理解集合运算的基本定律的基础上，能熟练地运用这些基本定律证明集合的恒等式。掌握序偶与笛卡尔积的概念。了解文氏图和包含排斥原理。第二章 关系与映射熟练掌握二元关系、空关系、全关系、恒等关系、关系矩阵、关系图、n 元关系等基本概念。能够对
2、给出的关系图写出相应的关系矩阵，反之亦然。掌握复合关系和逆关系的概念，对给定的集合和其上的二元关系，能够求出复合关系、逆关系和 n 不超过 3 次的 n 次幂。熟练掌握自反性、对称性、反对称性、传递性四个性质及其判定的方法。对给定的集合及其上的关系能够判定是否具有上述性质。熟练掌握关系闭包的概念及其求解的方法，对给定的集合及其上的关系，能够求出自反闭包、对称闭包、传递闭包等。熟练掌握半序关系、半序集的概念及哈斯图的表示，并能区分出半序集中的最大元、最小元、极大元、极小元、最大下界和最小上界。掌握映射、单射、满射、双射的概念及其判定方法。了解等价关系的判定及等价类的求法。了解复合映射和逆映射。第
3、三章 命题逻辑熟练掌握命题及命题的否定、析取、合取、蕴涵和等值五种联结词的概念和公式的解释、公式的恒真性、恒假性、可满足性以及公式的等价等概念。能用基本等价公式证明一般的等价式。掌握范式、析取范式、合取范式的概念，能够用基本等价式或真值表将公式化为（主）析取范式或（主）合取范式。熟练掌握公式的蕴涵与演绎的概念，能用真值表或推导法证明公式间的蕴涵关系。熟练掌握形式演绎的概念，在掌握了规则 P、规则 Q 和规则 D 的基础上能用形式演绎法证明蕴涵式。了解公式恒真性的判定。第四章 一阶逻辑熟练掌握谓词、量词、原子、公式和解释的概念，对给出的公式和解释能够确定其真值。了解等价与蕴涵、谓词逻辑的例和前束
4、范式。第五章 群与环熟练掌握置换、轮换、对换、奇置换、偶置换的概念以及乘法运算。对给定的置换能够判断奇偶性或写成对换的乘积并能够计算轮换的乘积等。熟练掌握群、置换群、交换群的基本概念及其判定。熟练掌握子群、生成子群、循环群的概念，对给出的集合及其上的置换，能够写出生成的循环群和循环群的子群以及子群的生成元素。掌握陪集和正规子群的概念，了解正规子群的判定。了解拉格朗日定理、群的同态、商群、同构定理、环与子环。第六章 格与布尔代数熟练掌握半序格、代数格、子格的概念及其性质。对给出的半序集能够判定是否为格，对给出的格能够求出所有的子格，并能够用格的性质证明一些等式等。熟练掌握有界格、有余格和分配格的
5、概念及其有关证明问题。熟练掌握布尔代数的概念及其运算。能够熟练地运用布尔代数性质对给定的布尔表达式进行化简或证明。第七章 图 论掌握图、子图、支撑子图和同构图的概念以及图的关联矩阵和相邻矩阵的表示。对给出的图能够判断是否是支撑子图等。对给出的图能够用关联矩阵和相邻矩阵表示出来，反之亦然。掌握路的基本概念，能够用迪克斯特拉算法求出权图中的最短路。掌握树、支撑树、二叉树的概念，对给出的二叉树能够按先根次序、中根次序、后根次序进行遍历。掌握最优支撑树的概念及用克鲁斯卡尔算法求出最优支撑树的方法。掌握欧拉图与欧拉路的概念，对给出的图判定是否是欧拉图或一笔划图。了解最优支撑树定理、树与有向树的转化定理、
6、哈密顿图和平面图。第二部分 综合练习一、填空题1.已知集合 A =，1，2，则 A 得幂集合 p（A）=_。2.设集合 E =a, b, c, d, e, A= a, b, c, B = a, d, e, 则 AB =_，AB =_，A B =_，AB =_。3.设 A，B 是两个集合，其中 A= 1, 2, 3, B= 1, 2，则 AB =_， （A）（ B）=_。4.设 A= x | -1x 55. A ；A6.等幂律 ；零一律 ；同一律 ；互补律7.（AB ）A B，（AB ）AB 8. |A|B |A B|9. a = x，b = y10. （1，a） ， （1，b） ， （1， c
7、） ， （2，a） ， （2，b） ， （2，c ）；（a，1） ， （a，2） ， （b，1） ， （b，2） ， （c，1） ， （c，2）11. （a，a） ， （a，c）12. MR = 10R 的关系图如图 15。图 1513. （a，d） ， （a，c）； （a，a） ， （a，b） ， （a，d）14. （1，2） ， （2，3） ， （3， 2） ； （1,1）,（2,2）,（3,3）15.1 (a，1)，( b，1)， 2 (a，2)，( b，2)， 3 (a，1) ，(b，2)， 4 ( a，2) ，( b，1)； 3 ， 416.01R1 的关系图如图 16。图 1617
8、.自反性、反对称性、传递性图 1718. M1 0 ， M2 1，2，3 ，M 3 4，519. A ； c，d 20. 1，0，0，1，0，1，1，1，021.（PQR）（P QR）（P QR）22. x（P （x ）Q（x ） ）23.（F（a，a）F（a，b） ）（F（b，a）F（b，b） ）24. 6 ； a ，a 3，a 5，a 7， a1125. I， (1 3)，(1 2)，(1 3 2)，(2 3)，(1 2 3)26. I，I ，a 3，I，a 2，a 4，G 共四个27.交换； 结合； 吸收 28.（ab）（cd）29. ab1，ab0 30. a31. 14；28；7；6
9、32.平衡的，强连通的33. 5 ； 834. ABDEHKLCFIGJMN；DBKHLEAFICGMJN二、单项选择题1. D 2. B 3. C 4. D 5. B 6. C 7. B 8. A 9. B 10.A 11.C 12.B 13.D 14.C 15.C 16.B 17.A 18.B 19.C 20.B 21.C 22.D 23.C 24.B 25.B 26.C 27.D 28.C 29.A 30.C 31.D 32.B三、计算题1.（1）A；（2）1；（3）B；（4）2，4，8，9，16，322. R1 R2 =（a，a） ， （a，b） ， （b，a） ， （b，b） ， （
10、c，a） ， （c，b）；=( a，a)，(a，b) ；R1R2 R3 = ( a，a)，(b，a)，( c，a)；(R1R2 R3)1 = ( a，a)，(a，b)，( a，c )；3.（1）M R1 = 0，M R2 10（2）R 1 ，R 2 的关系图如图 18 所示。图 18（3）R 1 和 R2 都具有自反性、传递性、反对称性。4.r（R）=（a，a） ， （b，b） ， （c，c） ， （a，b） ， （b，a） ， （b，c） ；s（R）（a，b） ， （b， a） ， （b，c） ， （c，b）；t（R）（a，a） ， （a，b） ， （b，a） ， （a，c） ， （b，b）
11、 ， （b，c） ；它们的关系图如图 19 所示。图 195.r（R）（a，a） ， （a，b ） ， （b，a） ， （b，b） ， （b，c） ， （c ，c） ， （c，d） ， （d，d）；s（R）（a，b） ， （b，a） ， （b，c） ， （c，b） ， （c，d） ， （d，c）；t（R） （a，a） ， （a，b） ， （a，c） ， （a，d） ， （b，a） ， （b，b） ， （b，c） ， （b，d） ，（c，d）；它们的关系图如图 20 所示。图 206.（1）因为 R 具有自反性、对称性和传递性，所以 R 是等价关系。（2）R 的关系图如图 21 所示。图 21（
12、3）A 的关于 R 的等价类是 M1 1 ，3，6，M 2 2 ， 5，M 3 4。7.（1）半序集（A，R）的哈斯图如图 22 所示。图 22（2）A 无最大元，最小元是 1，极大元是 8，12，9，10，7，11，极小元是 1。（3）B 无上界，下界是 1，3，无最（x）小上界，最大下界是 3。8.（x）（2 x3）/5； （x）2 x /53； （x）4 x 9； （x ）2 x 25； （x ）（4 x 212 x10）/5其中 ， ， 是双射。9.G 的析取范式为：（R P）（ RQ）（RS）（SP）（ SQ）S合取范式为：（R S）（P QS）10.（PQR）（P Q R）（ PQ
13、R） （P QR）11.（1）A（A（B B ） ）A（ A0）AA1（2） （AB C）（A BC）（A（BC） ）（A（BC） ）（A A）（B C ）1（BC）BC12.（1）P( PQ)P(PQ) （合取范式）（P P）（P Q） （析取范式）（2）( PQ) (PQ)（( PQ ) (PQ)） （( PQ) (PQ )）（(P Q) (PQ)）（ ( PQ)(P Q)）(PQ) (PQ) （合取范式）(PP) (PQ) (Q P )(QQ )(析取范式)（3）(PQ) R) P( (PQ) R) P ( (PQ) R) P（( PQ) R）P（(PQ) R）P（PQP ） （ R P
14、） （合取范式）（P R）（Q R）P（析取范式）（4）(P Q)( QP)（(PQ)( QP)）（( PQ) (QP)）（(PQ) (QP)）（( PQ)( QP) ）（(PQ)(QP) ）（( PQ)( QP)）（(PQ)(QP) ）（( PQ )( QP)）（(PQ)(QP)）（(PQ )( PQ)）（PQ P）（ QQP）（Q PQ）（PPQ） （合取范式）（P Q） （QQP）（PQ P ）（P Q ） （析取范式）13.主析取范式：（PQ R）（PQ R）（PQR）（P QR ）主合取范式：（PQR）（PQ R）（ P QR）（ PQ R）14.（1）令 F（x ，y ）：x 对
15、y 过敏M（x）：x 是人，G（y）：y 是食物；则有x y（M（x ） G（y）F（x，y ） ）（2）令 P（x）： x 是正整数Q（x，y）：x 大于 y则（i）xyQ （y，x）（ii）x （P（x ） y（P（y ）Q （y，x ） ）15.z（P（z）F（x ，z ）M（z，y） ）16.G（xP (x) yR （y） ） xF (x)（xP (x) yR （y ） ） xF (x)（x（ P (x)）y（ R（y ） ） ）x F (x)（x（ P (x)）y（ R（y ） ） ）zF ( z)xyz（P (x )）（R（y） ）F (z)）17.G 的所有元素共 12 个，以轮
16、换的形式写出是： I（单位置换） ， （1 2 3） ， （1 3 2） ，（1 2 4） ， （1 4 2） ， （1 3 4） ， （1 4 3） ， （2 3 4） ， （2 4 3） ， （1 2） （3 4） ， （1 3） （2 4） ， （1 4）（2 3） ；G 的元素4 的子群共有 9 个，它们是：I，I ， （1 2） （3 4），I， （1 3） （2 4），I ， （1 4） （2 3） ，I， （1 2 3） ， （1 3 2） ， I， （1 2 4） ， （1 4 2） ，I ， （1 3 4） ， （1 4 3）， I， （2 3 4） ， （2 4 3），I
17、， （1 2）（3 4） ， （1 3） （2 4） ， （1 4） （2 3）18.M 的置换群共有 6 个元素，以轮换的形式写出是：I， （1 2） ， （1 3） ， （2 3） ， （1 2 3） ， （1 3 2） ；其子群是：I ， I， （1 2）， I， （1 3）， I， （2 3） ，I ， （1 2 3） ， （1 3 2）及I， （ 1 2） ， （1 3） ， （2 3） ， （1 2 3） ， （1 3 2）；其中I，I ， （1 2 3） ， （1 3 2）及 I， （1 2） ， （1 3） ， （2 3） ， （1 2 3） ， （1 3 2）是正规子群。19
18、. = 4再把 写成不相杂轮换的乘积 =（1 4 3 2）最后计算（ ） 9=（1 4 3 2） 9=（1 4 3 2）20. b21. acbc22.M（G） 10100A（G） 01023. 图 2324. u v1 v5 v6 v 是其中的一条最短路，路长为 12；25.先根次序：A B D F I J G K M C E H L；中根次序：I F J D G K M B A C E H L；后根次序：I J F M K G D B L H E C A。26.对应的二叉树如图 24 所示，它是惟一的。图 2427.图 2528.（a）不是欧拉图，因为（a）不是平衡的。（b）是欧拉图。四、
19、证明题1.（1）左边（AB）CA BC右边（AC）（B C）（AC）（BC）（ACB）（ACC）（AB C）0AB C左边（2）左边（AB）（A C ）右边A（BA）（AC ） ）A（BAA）（BA C） ）A（BAC ）（AB）（AA）（AC ）（AB）（AC ）左边（3）左边（A（BA ） ）C（AB）（AA） ）C（AB）C（AC） （B C）(AC) （ BC）右边（4）左边（AB）A（AB）A（AA）（BA）BA右边2.（1） （ P （ QR ） ）（Q R）（PR ）（ P（ QR ） ）（Q P）R）（ P Q） R）（Q P）R）（ P Q） （Q P） ）R（PQ）（QP）
20、 ）R1RR（2） （P（QS） ）（ P（QS） ）（QS）P） （Q S）P）（QS）（PP）（QS）1QS（3）P ( Q R) P （ QR ）（ P Q）R（P Q）R（PQ） R（4）( P Q)（P Q）（Q P） ）（ PQ）（ QP） ）（ PQ）（ Q P）（ P） Q）（ Q）P）（P Q）（QP）（P Q）（P Q ）3.设（P Q） （ R Q） R 为 1，则有 R 为 1；且 RQ 为 1，故 Q 为 1；又 P Q 为 1，故 R 为 1。4.G（P Q）（Q R）P） R（ P Q ）（ QR）P） R（P Q） （Q R ） PR（Q P）（QR）QQ PR
21、15. （1） A B 规则 P（2）A B 规则 Q，根据（1）（3）A 规则 D（4）B 规则 Q1，根据（2） （3）（5） B C 规则 P（6）B C 规则 Q，根据（5）（7）C 规则 Q，根据（4） （6）（8）C D 规则 P（9）D 规则 Q，根据（1） （8）（10）A D 规则 D，根据（3） （9）6. （P Q） （ P （ PQ） ）（PQ）（ P（ PQ ） ）（PQ）（ PQ ）（ P Q） （PQ ）P （Q（ PQ ） ）P Q7. G（A B ） （AB ）（A B）（AB）A（ BB）AH（ A B）（B A）（AB ）（B A）A（B B）A所以 GH8. xy（F （x） G（y ） ）x（F （x ）y G（y ） ）xF （ x）yG（y ）9.由分配律（ab）c（ac ）（bc） ，再由 aca 知道（ac ）（bc ）a（bc）10.x = x（xa）=（xx） （x a）=x（ay ）=（xa）（x y）=（ay）（x y）=（ax）y=（ay）y = y
