1、线性代数学习辅导资 料郑绿洲2004 年 10 月1目 录1、第一章：行列式.(1)2、第二章：矩阵及其运算（9）3、第三章、矩阵的初等变换与线性方程组.（17）4、第四章、向量的线性相关性 （33）5、相似矩阵及二次型.（44）2第一章 n 阶行列式（一）基本要求：理解行列式的定义和性质、运用行列式的性质和行列式的展开定理进行计算、应用克莱姆(Cramer)法则解方程组。（二）内容分析和教材处理指导:本章的重点是计算行列式，熟练掌握行列式计算的各种方法和技巧。在历年的考试中本章的考题不超过 6分，且多以填空的形式出现，主要是行列式的计算。但行列式是线性代数的基础，在矩阵求逆、求解方程组和求特
2、征值中均要用到行列式的计算。本章主要考查行列式的计算，而行列式的计算主要是利用行列式的性质，因此本章的重点在于掌握行列式的性质及其运用。（1）排列及其逆序数主要是在行列式定义和计算中用到，重点讲清楚排列逆序的定义和计算方法。（2）计算行列式概念的引入要自然，引入行列式是解线性方程组的需要，使方程组解的表示简单规范。从求解二元方程组求解引入行列式表示，这样使学生对行列式的引入有一个清楚的了解。从二阶行列式和三阶行列式的对角线法则分析，分析行列式定义中各项的特点，位于不同行不同列的元素乘积，进而引入行列式的一般定义。行列式的定义是一种符号约定，关键讲清行列式是如何计算的，取项，冠符，求和是行列式定
3、义的概括定义，容易记忆，但要阐述每一步的含义。为了理解行列式的定义，对一些典型的行列式应用定义计算，关键是在计算过程中反复回味行列式定义的每一环节。除书中的例子外可考虑其他典型例子，如变形的对角行列式，至至少有 n2个零的行列式。（3）行列式的等价定义，可从行列式的本质来理解，每项是位于不同行不同列的n个元素乘积，等价定义实际上是说项可按行排列，也可以按列排列，相应的冠服规则是对应的。（4）行列式的性质重在理解和应用，重点是性质 6可用于行列式样的化简。（5）行列式的按行（列）展开，其意义开始不易理解，可通过例子说明其意义，特别指出实际应用时通常是将某行（列）化简为只有一个非零元，则展开只有一
4、项。这种展开法（降阶法）可简化行列式的计算。（6）Gramer 法则重点强调消元的基本思路，复习代数余子式的基本性质。指出Gramer法则只使用于未知数的个数等于方程的个数，一般情况将在第四章系统讨论。对于齐次方程组的非零解问题要作为重点，特别是含参数的方程。对齐次方程有非零解和系数行列式为零之间的等价关系可做一些解释，便于作为一个整体来考虑。（三）重点难点分析与处理：1排列的逆序数的计算：逆序的定义是基础，由定义推出“向前比较”和“向后比较”两种方法，注意逆序和顺序的关系。2按定义计算行列式：取项、冠符、求和三个步骤，重点注意冠符方法。2,3 阶行列式可用对角线法则，4 阶以上的行列式不能用
5、对角线法则来求。33降阶方法和含参数的齐次方程组有非零解问题（四）学习指导与常见问题释疑1、 写出四阶行列式含有因子 231a的项。解：根据行列式的定义，含有因子 的项有两项， 4321a和 4231a，其列指标的逆序数为 )34(，故包含 231的项 和 2。2、 计算下列 2，3 阶行列式：（1）2ba， （2） cossini， （3） 987654，（4） 12，其中 2i1解：（1）022baba（2）1sincossinico2201260398754101)1( 1122 22 22 43计算下列数字元素行列式：（1） 12340， （2 ） 15034（3） 15， （4） 2
6、6053解：（1） 4)32(4)(tD（2）160105.4（3）7135076132451032140 （4）02652605342605 4证明：（1） 332211333222111 )(cbaxcbxa证：根据行列式的拆项性质有 332211332211321333222111 )(cbaxcxabcacbxa 5（2）2yx11yx证： 22 2)( 101101 1011yxyxxy yxxyx yxyxyx 2)(101100)(11 yxxyxyxyxy yx （3）)()(3 bcabcacba 证： )()(1)()()(01112233 acbacbacbcba )()
7、()()()(a6（4） n11n122n ax.xa.0 0.1x证明：按最后一行展开得到 n11n122n ax.xa.0 0.1x5计算下列行列式（ kD为 k 阶行列式）（1） x.an解：所有行都加到第一行，则知1)()nnaxxD（2） 11na.a. )(.)(1D1nn1n （提示：利用范德蒙行列式的结果）解：经过行列对称的互换可转化为范德蒙行列式 ninnnnn aaaD122221 !.)()1()( . 7或1)(jin（3） nn21nd0cba0 解：按降阶法得到 niii nnnncbda DcbdacbaDD1 )2()1(22(. )(（4） |ijn，其中 |
8、jiaj（5） n21n a1D，其中 0a.n21解： nnjjnnn aaaaD .0.101.1. 21112121 nnjja.)(216用克兰姆法则求解下列方程组：（1） 4x3x256214321，8（2） 8x23x46313217设水因密度 h与温度 t的关系为3210tatah，由实验测定得以下数据t 0 10 20 30h 13.60 13.57 13.55 13.52求 4,15t时水银密度（准确到小数两位） 。8问 ， 取何值时，齐次方程组0x231有非零解？解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故 )1(000112 即 或 齐次方程组有非零解。9问 取
9、何值时，齐次方程组0x)1(x324)(312有非零解？解： 21)()3()1(1204)(1)3(24) )(=0即 ,20或 3。9第二章 矩阵及其计算（一）基本要求：1理解矩阵的概念，2了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质3掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式4理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆5掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法6了解分块矩阵及其运算二、内
10、容分析与教学指导矩阵的概念应强调线性方程组的系数矩阵和表示，线性变换的矩阵表示，单位矩阵、对角矩阵所对应的线性变换。典型矩阵的运算性质，如三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质。矩阵的乘法是矩阵运算的重点，要强调矩阵的乘法不满足交换律和消去律，分析各种不同形式的表现形式。矩阵的伴随矩阵及其性质在矩阵逆阵计算中具有重要意义，可结合习题进行扩充补充。解矩阵方程是逆阵的重要应用，应作为矩阵计算的重点，分析解矩阵方程的一般分析方法。分块矩阵及其运算对后续课程非常重要，可结合相关题目作一些讨论，特别是分块对角阵的一些运算性质。三、学习辅导与常见问题释疑：1 已知线性变换,y32x5,132求从变量
11、 21,到变量 ,的线性变换。解：矩阵形式为yx351，故x1325，即321324769xxy102已知两个线性变换,y54x23,1332,z3,21求从 21z,到 32,的线性变换。解：321326094zzx3设,10B,A求 BA及 T4计算下列矩阵乘积（1312（2）321x4， （3）12（4）n21m21mn12a.a（5）32321321 xax5设 0B,A，问（1） AB=BA 吗？（2） 22BA)(吗？（3） B吗？（4） 由此关于矩阵的乘法得到何结论？6举反例说明下列命题是错误的：（1） 若 0A2，则 ;11（2） 若 A2，则 A=0 或 A=E;（3） 若
12、AX=AY，且 0，则 X=Y。（4） 以上反例说明了什么？7设 10，求 k32A,.。 （先计算观察出计算结果，然后用数学归纳法证明）注：记 0J，可验证 0J2，A 可表示为 JE，由此可计算 kA。该题结果可推广到高阶矩阵。8求与 1A可交换的全体二阶矩阵。解：设与 可交换的二阶矩阵为21xX，则有0102121xx对比两端元素，得到 4 个方程。求解得到： 212,0xx，其中 12任意，故abX0，其中 ,为任意实数。9证明：（1）设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称阵，则 BT也是对称阵;(2)若A 和 B 都是 n 阶对称阵，则 A+B，A-2B 也是对称阵;证明：（1）
13、 BTTT)()(3)（若 A 满足 ，则 A 称为反对称阵）对于任意的 n 阶矩阵 A， T是对称阵， T是反对称阵 ;(4)A 可表示为对称矩阵和反对称矩阵之和。证：显然矩阵 A可表示为)(21)(TTA10设 A，B 都是 n 阶对称阵，证明 AB 是对称阵的充分必要条件是 AB=BA。12证明：充分性、 ABABTT)( ，即 是对称矩阵必要性：一方面 ，由对称性可知 ABT)(，因此 A。11求下列矩阵的逆阵：（1） 3548， （2） cosin（3）12（4） 10（5） 250381， （6） )0a.(an21n2112解矩阵方程：（1） 124X3（2）2340（3） 02
14、10X10解：（3） 0121034010211X1313利用逆阵求下列方程组（1）3x5322121（2）0x5312321解：方程组可表示为 bA，因此 bA，即 ,14。设 0k（k 为正整数） ，证明1k21.E)( 证明：因为 AAEkk).)(12根据定义知 121.)( k15设方阵 A满足 0E，证明 A及 E2都可逆，并求 1A及1)E2(。解：由 2可知)(21，故 可逆，且)(21E由 0EA得到 EA463，即 A43(，故)2(可逆，且)(1)(16设3104， B2A，求 。解： AB2，即 E)(，所以 AE1)2(，计算得到91268317设 PA，证明 1kP
15、（特别当 为对角阵时可方便地计算 A 的幂，这14在第五章相似矩阵中详细讨论，该结论可推广到 A 的多项式的计算）证明： 12112)(PPA，假设 kn时成立，即 1PAkK，则kn时有 1)( PAkkk18设 n 阶方阵 A 的伴随矩阵为 *，证明（1）（1） 若 0|，则 |（2）（2） 1n*|证明：（1）若 A，则 *，结论显然。若 0，则若 0|*，则 可逆。又 0|*EA，则有)(1*，这与 矛盾，故 0|*（2）由伴随矩阵的性质可知 EA|*，两端取行列式得到nnEA|*由（1）知当 0|时， |*结论成立。当 |时，由上式得到 1|nA19取 0DCBA，验证|B解: 1|
16、)(|,1| 2ACDBA,所以01|DCB而4201021015因此 |D|CBA20设2034，求 |A8及 4。解: 881)5(| A 232222 00503403446224 005)(A21设 n阶方阵 及 s阶方阵 B 都可逆，求1A。解:根据矩阵的形式猜测逆阵的形式 ,考虑矩阵 01B因为EBA001,因此有 1A22. 将 n阶矩阵分块为naC1其中 1nA是 阶可逆矩阵,如果 A可逆且已知1n,试求 1A(这种利用1n求 A的方法称为加边法,它是求逆阵的一种重要方法.解: 设bX321,则有16101321 nnEaCBAbX即 0313212 nnnbX,得到1,031
17、3 212 nnnaBbCAXE求解得到13n, 1)( BCAbbAn因此, 131)( nnXa1112 )(, nEBaBX因此 )(,)(211CAnn17第三章 向量组的线性相关性和矩阵的秩（一）基本要求：（二）内容分析和教学指导（1）从解方程的过程引出所要解决的问题，每个方程对应于一个行向量，某个方程可由其它方程表示，则该方程可去掉，为无效方程。这对应于讨论向量组中是否有某个向量可由其它向量线性表示，即向量的线性相关性问题。去掉无效方程后的方程求解，需要确定自由未知量和保留未知量，涉及最后的方程系数行列式不等于零的问题（2）向量的线性运算及其性质，和矩阵的运算相对应。（3）向量线性
18、相关性的定义和判断：线性相关性定义使用于理论证明，把相关性问题转化为向量方程（即方程组）有无非零解的问题，而等价定义使相关性的含义更加明确。为了加深相关性的定义，对与一个向量，两个向量和三个向量线性相关的几何意义加以强调：单个零向量是线性相关的，两个向量相关是指两个向量共线，三个向量相关是共面。通过利用相关性定义来判断向量组线性相关，重点培养学生的利用概念分析判断，进行逻辑推理的能力。定义理解中的误区：（1）定义中的系数是独立的， （2）非零组合系数是相对向量组的，不同向量组对应的系数可能不同， （3）向量组线性相关则至少有一个向量可以由其它向量线性表示，至于是那一个向量是依赖于具体的向量组，
19、并不是每个向量都可由其它向量变来表示。列向量组的线性相关性和线性表示的矩阵表示，行向量组线性相关性和线性表示的矩阵表示。重点是列向量组表示的矩阵形式。（4）相关表示式的分量形式是理解相关性定理的基础和本质，一个分量对应一个方程，一个向量对应一个未知数。用子式判断向量的线性相关性的方法，子式不等于对应于只有零解，对应于线性无关，子式等于零对应于有非零解，对应线性相关。（5）最大无关组和矩阵的秩：重点理解矩阵秩的定义和含义，牢固建立矩阵和向量组的对应关系。矩阵的秩等于行向量组的秩，等于列向量组的秩，就是非零子式的最高阶数。掌握最高阶非零子式和向量组的最大无关组之间的对应关系，子式为零对应于线性相关
20、，子式非零对应于线性无关。定理的证明重要的是说明思路，关键是理解并利用结论进行推理证明。重点是利用子式确定矩阵的秩和最大无关组。（6）初等变换对向量组的影响，初等行变换和化简方程的对应关系。标准形所保留的信息， （变换不变量是矩阵的秩） 。可逆矩阵 EA（7）通过简单的例子说明左乘相当于行变换，右乘相当于列变换，关键是理解其意义。通过求逆阵的初等变换方法可得到一种解矩阵方程 BX1的方法18（8）介绍向量空间，子空间的基本概念，对比基和最大无关组的定义，加深对基和最大无关组，向量组和向量空间的理解（除零空间外，向量空间是无限的，而向量组可以是有限的） 。生成子空间的概念及其生成子空间的表示。（
21、三）习题指导（习题 3）1 设 )0,4(v),10(),1(v2，求 21v及 321v3。2 设 )(5)()(3，其中,(),5,(),35( 321 ，求 。3 设 m.是 m 个 n 维向量，试问：（1）若有 m 个数 21k,.存在，使得0.m那么 m21,.是否线性无关？解：主要考察定义中的“不全为零的一组数”的理解，若这组数至少有一个非零，则可判定线性相关。没有这一限制是没有意义的，因为全部取零系数，不管向量组是什么，上式总是成立的。因此，不能判断向量组的线性相关性。（2）若有 m 个不全为零的数 m21k,.使得0k21那么 m21,.是否线性相关？解：定义中的组合式是“=”
22、 ，改为“不等于”则不能说明向量的线性相关性。（3）若 21,.线性相关，则 1一定可由 m2,.线性表示吗？解：相关性等价定义中是说：向量组中至少有一个向量可由其它向量线性表示，至于是那一个向量可由其它向量线性表示，则要以来于具体的向量组。不能断定 1一定可由m,.32线性表示。4 设 21,.与 m21,.都是 n 维向量，下面的证明是否正确？19（1）若向量组 m21,.线性相关，向量组 m21,.线性相关，则有不全为零的数 21k,.，使得0k.k,0m21m由此推出)(.)()(k2211 于是向量组 m,.,也线性相关。解：向量组线性相关，则存在一组的非零组合系数，这组组合系数是依
23、赖于向量组的，不同的向量组其组合系数可能不一样。以上证明中就是忽略了这一点，故是错误的。（2）若 0k.k.k m21m21 只有当 0时才成立，那么 21,.m21,.一定线性无关。解：定义中的组合系数是独立的，上式中的系数不独立，只能推知 m,.,21是线性无关的。5 将向量 表示成 31,的线性组合：（1） )2,01(),(),(),(2 解：设 31kk，按分量展开得到201321k求解得到 ,2k，即 321（2） )1,(),(),40()(321 20解：设 321kk，按分量展开得到1432331k用 Gramer 法则或用如下方法简化 1302210514302可知 ,3/
24、82,/ 13 kk，即 3286 判断下列向量组的线性相关性：（1） )4,(),240(),1(32解：法一，应用定义，设 031kk，即 ),()42,4,2( )(),(), 3132131k得到方程组0321k，系数行列式为4240，不能用 Gramer 法则，由定理可知存在非零解。事实上，由第一式知 312k，代入其它方程得到0432取 13k，得到 ,12k，故 0231，因此 321,线性相关。或者由定理知，系数行列式等于零，则齐次方程组有非零解，故向量组线性相关。法二、这是三个三维向量，由定理知，向量组线性相关的充要条件是所组成的行列21式等于零，因此只需求行列式即可。事实上
25、，以向量为列所构成的行列式为0214240故向量组线性相关。（2） ),3(),(),01(2法一、用定义，设 0kk，展开方程所构成的齐次方程组的系数行列式不等于零，故只有零解，由定义知 321,线性无关。法二，以向量为列构成的行列式为071040，故向量组321,线性相关。（3） )6,42(),10,(34321法一、定义法法二、行列式法，由定理可知 n个 维向量线性相关的充要条件是向量所构成的行列式为零。以向量为行构成的行列式为 246821640164527 12357012357103412 因此向量组是线性无关的。（4） )27,931(),64,1(83222法一、定义法法二、
26、行列式法，向量所构成的行列式 116427938是 Vandemon 行列式，显然不等于零，故向量组是线性无关的。7 设向量 )c,32(),10(),421( ，试问：（1）（1）c 取何值时， 32线性相关？（2）（2）c 取何值时， 1,线性无关？解：解法一、根据定义，设 032xx，按分量展开得到 04321cx系数行列式为)1(680824310 ccc根据 Gramer 法则知， 时，方程组有非零解， 321,a线性相关， 10c时，方程组只有零解，故 321,线性无关。解法二、考虑由 ,构成的行列式)10(6821083243120 ccc因此， 0c时， 321,线性相关， 时
27、， 321,线性无关。8 设 144332,，证明向量组4321,线性相关。23证明：直接观察法，由表示式易看出 04231，故 4321,线性相关。（这种方法没有一般性）根据线性相关性的定义证明。设 04321xx将 )4,.1(i代入，得到 0)()()()( 43322141 1432 xxxx上式成立的充分条件为 ,0, 432141方程组对应的行列式为010101因此有非零解，故向量组 4321,线性相关。9 设 r21r2121 .,., ，且 r21,.线性无关，证明向量组 r.线性无关。 （注：本题可推广到一般的形式，只要表示的系数矩阵可逆即可）证明：设0.21rxx将 ),.
28、2(ri的表示式代入，即 0.).().(. 232121 1rrrr xxxx 24因为 r,.21线性无关，故有0.21rrxx显然， .21rx或考虑系数行列式01.0根据 Gramer 法则有.21rx故 r,线性无关。10 在秩是 r 的矩阵中，有没有等于 0 的 r 阶子式？有没有等于 0 的 r-1 阶子式？解：本题主要考察矩阵秩的概念，在秩是 的矩阵中，有一个 r阶的子式不等于零，有可能有 阶的子式等于零，也可能有等于零的 1阶子式，但不可能所有的 1r阶子式等于零。11 从矩阵 A 中划去一行得到的矩阵 B，问 A，B 的秩的关系如何？解：考虑 A的行向量组， ra121.，
29、则121.r显然关于秩有如下关系： )()(BRA12 求作一个秩是 4 的方阵，它的两个行向量是 )0,1(， )0,(。25解：只需增加三个行向量，使方阵的秩等于 4 ,即使某个 4 阶子式不等于零。考虑00101010A)(R13 求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：（1） )8,24(),410,9(),412,( 32 ;(2) 03;(3) )7,(),5,(),3(21解：应用子式方法，考虑由 31为行向量构造矩阵824019A1092D，021984109038242因此 )(AR，最高阶非零子式所对应的 21,为最大无关组。注：最大无关组不是唯一的。14. 设 n21,.一
30、组 n 维向量，已知 n 维单位坐标向量 n21,.能由它们线性表示，证明 线性无关。证明：记 ,.,.2121 nneEA，已知单位坐标向量组 n,.1是线性无26关的，故向量组 E的秩 nR)(。又由条件知向量组 n,.1可由 ,.1线性表示，由定理知， AR)(由于向量组中仅有 个向量，故 nAR)(，即向量组 na,.1线性无关。15. 设 n21,.是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一 n 维向量都可由它们线性表示。证明：必要性。设 n,.21是线性无关的，设 为任一 n维向量，则,.,21r为(n+1)个 维向量，故 ,.,21r线性相关，由结论知 可由n线性
31、表示。充分性。分别取 n,.21，由条件可知， n,.21可由 n,.1线性表示，由上题的结论知， ,.线性无关。16设向量组 A 与向量组 B 的秩相等，且 A 组能由 B 组线性表示，证明 A 组与 B 组等价。证明：设 rR)(，设向量组 的最大无关组为 r,.21，向量组 的最大无关组为 r,.21，由条件知，向量组 A可由向量组 B线性表示，向量组 A 的最大无关组刻有向量组 B 的最大无关组线性表示，即有 rrrr kk. 21211221下证 K为可逆矩阵，用反证法，设 0K，则设0,),.(2121rx，即便 270.),.(211rrKx只需 0),.(1Kxr，或0.21r
32、Tx，假设 0|K，则方程组有非零解，这与2线性无关矛盾，故知 可逆因此rraK2121即 ,.21可由 ,.21线性表示，因此向量组 B可由向量组 A线性表示，即向量组 A与向量组 B等价。17设向量组 A： s1,.的秩为 1r,向量组 B： t21,.的秩为 2r，向量组 C：t1s1,.,.的秩为 3，证明21321rr,max并利用该结果证明： )B(RA)(R18设向量组 B： r21,.能由向量 A： s1,.线性表示为sr1K其中 K 为 sr矩阵，且 A 组线性无关。证明 B 组线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 )(R28证明:充分性. 设0),.(. 212121 r
33、rxxx ,将 ),.21(ri的表示式代入有 021rtKx因为 r,.21线性无关,故有 T,即 T.由条件知 rKRT)(,由 Gramer 法则知 0xK只有零解.必要性.记rrAB2121,由条件可知, AB.因此 rBR)(.又矩阵K为 sr矩阵,故 KR)(.19求下列矩阵的秩：（1）43120， （2）81507323解：子式法。2D，考虑三阶子式，共有 4 个048238140310210242，类似地有290431243210，故 2)(AR初等变换方法： 005641215640213030故 2)(AR（2） 初等变换法： 00591743127310594 8211857313故 )(AR20利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组：（1） 4813240579， （2）131450121解： 53021481324579813240579
