1、线性代数A(54 学时)教学大纲（2004 年 9 月）上海杉达大学嘉善光彪学院适用专业：计算机及应用，计算机及信息管理，经济等本、专科专业一、课程性质与设置的目的要求（一）课程性质：线性代数不仅是应用数学，计算机专业学生的必读课程，而且也是工科学生的必需课程。它的内容能应用于数学的传统领域，应用数学，工程数学及多种学科。通过对线性代数的学习，使学生初步地掌握基本的代数知识和抽象，严格的代数方法，同时能培养学生的抽象思维能力和逻辑推理方法，一些计算方法对工科学生尤为重要。线性代数的主要内容：行列式的计算，矩阵的理论，线性方程组理论，特征值及二次型等。（二）课程设置的目的要求：通过行列式、矩阵的
2、理论学习，使学生对此的计算能够熟练地掌握，为以下内容起工具作用。通过对线性方程组理论的学习，使学生对方程组的解，解法有较系统的了解。通过向量空间，使学生能对向量空间的结构及一些抽象的代数知识得到了解，从而培养学生的抽象思维能力，逻辑推理能力。4通过相似矩阵与二次型的学习，使学生学会求矩阵的特征值与特征向量的方法，能化二次型为标准型，能判别各种二次型。二、教材与参考书目教材：赵树嫄主编（第三版） ，中国人民大学出版社，2000 年 1 月。参考书目:1 同济大学数学教研室编（第三版） ，高等教育出版社， 1999 年 6 月。2 线性代数（工程数学）/魏战线主编，辽宁大学出版社，2000 年 1
3、0 月。3 线性代数全程学习指导与解题能力训练：同济线性代数第四版 /刘学生主编.-大连：大连理工大学出版社，2001.三、教学时数课堂教学时数为 54 学时。四、教学内容及要求第一章： 行列式 （0）学时（一）要求：掌握阶行列式的定义及性质。运用行列式的一些性质来计算阶行列式。利用行列式用克莱姆(Gramer)法则解线性方程组。拉普拉斯（Laplace)定理。 （二）内容要点：二阶、三阶行列式阶行列式阶行列式的性质行列式的计算行列式按一行（列）展开克莱姆(Gramer)法则第二章 矩阵 （12）学时（一）要求：掌握矩阵的定义，矩阵的运算及算律；熟悉逆矩阵的性质及求矩阵的方法，初等矩阵与矩阵的
4、初等变换；掌握矩阵分块的运算，学会用分块矩阵处理问题。（二）内容要点：1. 矩阵的概念2. 矩阵的运算3. 几种特殊的矩阵4. 分块矩阵5. 逆矩阵6. 矩阵的初等变换7. 矩阵的秩第三章 线性方程组 （2）学时（一）要求：掌握向量空间的概念，向量的线性相关性；向量组的秩的概念及求向量组的秩；学习线性方程组解的理论，线性方程组解的结构。（二）内容要点：1. 线性方程组的消元解法。 2. 阶向量空间。3. 向量间的线性关系。4. 线性方程组解的结构。5. 投入产出的数学模型*（非经济类专业可省略）第四章 矩阵的特征值 （10）学时（一）要求：1掌握矩阵的特征值与特征向量的计算；2掌握向量的内积与
5、相似矩阵；3掌握矩阵的特征值与特征向量的计算方法；4掌握矩阵相似对角化的具体算法；5掌握实对称矩阵正交对角化的具体算法。（二）内容要点：1. 矩阵的特征值与特征向量。2. 相似矩阵。3. 实对称矩阵的特征值与特征向量。第五章 二次型 （10）学时（一）要求：1 掌握二次型与对称矩阵的理论；2 掌握用配方法初等变换法将二次型化为标准形的具体方法；3 掌握用正交变换方法将二次型化为标准形的具体过程；4 掌握二次型与实对称矩阵是正定的几个充要条件；5 掌握正定矩阵判别的几种方法。（二）内容要点：1. 二次型与对称矩阵。2. 二次型与对称矩阵的标准形。3. 二次型与对称矩阵的有定性。4. 正定和负定性
6、的一个应用。线性代数A(54 学时)考 试纲要第一章： 行列式 （10）学时考核要求：1. 二阶、三阶行列式计算的对角线法则2. 排列与排列的逆序数的计算3. 奇排列与偶排列4. n 阶行列式的定义5. n 阶行列式的一般项的符号的确定6. 行列式的 5 条性质7. 简单的 n 阶行列式的计算8. 行列式的子式，余子式与代数余子式9. 行列式依行依列展开10. 掌握公式 Asj= , Ait=nj=1aij D i=s0 is) ni=1aij D i=t0 it)11. 利用行列式性质计算行列式12. 理解拉菩拉斯定理 n 阶行列式计算依 k 行 k 列展开13. 掌握克莱姆法则14. 利用
7、克莱姆法则解线性方程组15. 掌握 n 元 n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件16. 带有参数的齐次线性方程组的解的讨论第二章 矩阵（12）学时考核要求：1. 矩阵的定义2. 理解矩阵相等的定义与零矩阵3. 矩阵的线性运算（加法与数乘） ，负矩阵及其算律4. 矩阵与矩阵的乘法与算律5. 注意矩阵的乘法不满足交换律与相消律6. 方阵乘积的行列式等于方阵行列式的积7. 方阵的方幂运算8. 矩阵的转置及其算律9. 几种特殊的矩阵，行（列）矩阵，对角阵，数量矩阵，单位矩阵，上下三角阵，对称阵10. 掌握分块矩阵的方法11. 掌握分块矩阵的运算和对角分块矩阵上（下）三角形分块矩阵的运算特点12
8、. 理解逆矩阵的定义与性质13. 方阵的伴随矩阵与性质14. 方矩阵可逆的充要条件15. 逆矩阵的伴随矩阵求法16. 逆矩阵的 3 条性质17. 应用逆矩阵解矩阵方程18. 掌握逆矩阵的基本证明方法19. 分块矩阵求逆矩阵的方法20. 掌握矩阵的初等行（列）变换21. 掌握三种初等矩阵与初等变换的关系22. 初等矩阵的性质23. 掌握行阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵24. 运用矩阵的行初等变换化为最简阶梯形矩阵25. 理解方阵可逆的充要条件是它可以表成一系列初等矩阵之积26. 掌握用初等变换求逆矩阵的方法27. 矩阵的 k 阶子式28. 理解矩阵的秩的概念与满秩矩阵29. 理解矩阵的初等变换不改
9、变矩阵的秩30. 掌握用初等变换求矩阵的秩的方法31. 掌握 n 阶方阵 A 的秩n 的充要条件式|A|=032. 掌握若矩阵 A 是可逆矩阵则秩 (AB)=秩 B第三章 线性方程组 （12）学时考核要求：1. 线性方程组的增广矩阵与系数矩阵2. 对增广矩阵作行的初等变换求解线性方程组3. 线性方程组的一般解与自由未知量4. 非齐次线性方程组有解的判别方法5. 带有参数的线性方程组的解的个数的讨论6. 齐次线性方程组有非零解的充要条件7. n 元 n 个方程的齐次线性方程组有非零解的判别8. 理解 n 维向量及 n 维向量空间9. 掌握 n 维向量的线性运算及算律10. 知道向量由向量组 1,
10、2,m 线性表出的含义11. 掌握判别可以由向量组 1,2,m 线性表出对具体方法12. 理解向量组线性相关与线性无关的定义13. 利用定义判断向量组的线性相关性14. 掌握向量组线性相关的充要条件是其中一个可由其余线性表示15. 掌握向量组线性相关性的矩阵判别法16. 理解用矩阵的秩来判别列向量组线性相关的定理17. 理解向量组线性相关性的一些常用性质18. 理解向量组的极大线性无关组的概念19. 理解向量组的极大线性无关组的充要条件20. 掌握用矩阵的行初等变换求最大无关组的方法21. 理解向量组的秩的概念22. 理解矩阵的列（行）秩的概念及矩阵的列秩等于矩阵的秩的定理23. 已知带有参数
11、的向量组的秩求参数24. 齐次线性方程组的解向量的性质25. 理解齐次线性方程组的基础解系26. 基础解系中所含解向量的个数27. 利用化行初等变换求最简阶梯形矩阵得到基础解系28. 求齐次线性方程组的通解（用基础解系表示）29. 非齐次线性方程组的解向量与它的导出组的解向量之间的关系30. 非齐次线性方程组的解的结构定理31. 求非齐次线性方程组的通解（写成结构解的形式）第四章 矩阵的特征值 （10）学时考核要求：1. 理解矩阵的特征值与相应的特征向量概念2. 理解矩阵的特征多项式与特征方程概念3. 掌握求矩阵特征值与特征向量的方法4. A 与 AT 有相同的特征值5. 理解不同特征值对应的
12、特征向量线性无关6. 掌握相似矩阵的定义7. 掌握相似矩阵的基本性质8. 理解 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量9. 掌握相似对角矩阵的具体算法10. 理解 n 阶矩阵 A 相似于对角阵的充要条件是对于 A 的每一个 ni 重特征值 i，有秩( iI-A)=n-ni11. 理解约当形矩阵于约当块的基本概念12. 任一个矩阵与约当矩阵相似13. 理解向量的内积14. 掌握内积运算的基本性质15. 掌握向量的范数及其基本性质16. 掌握柯西-布涅可夫斯基不等式17. 理解正交向量与正交向量组的概念18. 掌握正交向量组必是线性无关的19. 掌握向量组正交
13、单位化的方法20. 理解正交矩阵概念21. 掌握正交矩阵的基本性质22. 理解实对称矩阵的特征值都是实数23. 理解实对称矩阵的不同的特征值对应的特征向量是正交的24. 掌握实对称矩阵正交对角化的具体算法第五章 二次型（10）学时考核要求：1. 理解 x1,x2,xn 的一个 n 元二次型2. 掌握二次型的矩阵及其特点，二次型的矩阵乘积写法3. 理解变量 x1,x2,xn 到变量 x1,x2,xn 间的线性替换4. 掌握线性替换的矩阵及非退化的线性替换5. 理解二次型的标准形与二次型的秩6. 理解两个矩阵合同的定义7. 理解二次型通过非退化线性替换得到的二次型的矩阵是合同的8. 掌握用配方法将
14、二次型化为标准形的具体方法，并能写出非退化线性替换的变换式9. 理解任何一个二次型与某个对角矩阵合同10. 掌握用初等变换方法将二次型化为标准形的具体过程11. 掌握用正交变换方法将二次型化为标准形的具体过程12. 理解任一个实对称矩阵 A 必存在一个正交矩阵 Q 使得 QTAQ=D，其中 D 为对角矩阵13. 理解二次型与对称矩阵的规范形14. 理解二次型与对称矩阵的规范形是唯一的15. 掌握把二次型与对称矩阵化为规范形的方法16. 理解二次型的正、负惯性指标及惯性定理17. 理解正定、负定、半正定、半负定与不定二次型18. 理解正定、负定、半正定、半负定与不定的对称矩阵19. 理解实对称矩阵是正定的充要条件20. 掌握用顺序主子式判别对称矩阵为正定矩阵的方法21. 理解对称矩阵为正定的充要条件是它的特征值全大于零22. 带有参数的二次型的正定性的讨论方法试卷题型：选择题（10 题，每题 2 分） ，填空题（10 题，每题 2 分） ，计算题（5 题，每题 8 分） ，证明题（2 题，每题 10 分） 。合计 100 分。
