1、1欧氏空间 11在欧氏空间 中，已知 ，则 ， 与 的4R(2,3),(,2)|夹角为 （内积按通常的定义） 。2设 是 n 维欧氏空间 V 中的一个单位向量，定义 V 上的变换 如下： ，其中 表示 与 的内积，证明：,()2(,)V(,)（1） 是 V 上的正交变换；（2） V 中存在一组标准正交基 使得12,n 1(),()1,2.iin3已知矩阵 ，126034A（1）求 A 的逆；（2）求 A 的初等因子；（3）求 A 的若当标准形。4设 A 是可逆的 n 阶方阵，求证：存在正交阵 T 和对角线元素全是正实数的下三角阵 U，使得 A=UT；并且这个表达式是唯一的。5证明：奇数维欧式空
2、间中的旋转变换（第一类正交变换）一定有特征值 1。6设 是欧氏空间 的一个变换.试证：如果 保持内积不变，即对于 中任意nRAnR两个向量 都有 ，那么，它一定是线性的，而且是正交的。 ,(,)(,7设 与 是 维欧氏空间 中两个向量组，满足1m 1m nV这里 表示内积，试证存在正交变换,ijij ，使A.ii8设 是 维欧氏空间 的对称变换（即 是 的线性变换，且对任意fnVf都有 ） ，证明： 的像子空间 是 的核子,(),(,)fIf空间 的正交补子空间。Kerf9设 为欧氏空间,则有柯西-施瓦茨不等式: .nR10在欧氏空间 中,向量 ,则 与 的长度分别为 ,它们n651,02的夹
3、角为 .11。已知 是欧氏空间 的一组标准正交2132121 ,03R2基,则 向量在这组基下的坐标为 .2,112对给定的 n 阶实满秩矩阵 A,设计一种方法,实现矩阵的正交三角分解 QR 分解,即找出一个正交矩阵 Q 与一个三角矩阵 R,使得 A=QR 并对矩阵 A= ,求其 QR 分解.312013正交矩阵的实特征值为 1，-1.14 如果 是 n 维欧氏空间 V 的线性无关的向量组，那么，存在一个向12,量 使得(,).ii15已知实对称矩阵 ，求正交矩阵 P 使得 成为对角矩阵。42ATA16设 V 是 n 维欧氏空间，内积记为 ，又设 T 是 V 的一个正交变换，记(,)试证明：（
4、 1） 都是 V 的子空间；12|,|TTV2,（2） 。117设 是 n 维欧氏空间 V 的子空间，且 的维数小于 的维数。证明： 中必2,V122有一非零向量正交于 中的一切向量。118设 ，则向量 y 的长度01,2,231AxyAx _.19设 是 5 维的 Euclid 空间 的一组标准正交基， ，12,e 5R123(,)VL其中 ，求 的一组标准正交基。31243125,ee120设 是具有通常内积的欧氏空间，W 是 的子空间.4R4（1） 如 W 是下列方程组1234039xx的解空间，求 W？W 在 的正交补4R?3（2）求 W 和 的标准正交基21设 V 是实数域 R 上的 n 维线性空间， 是 V 的子空间且12,W120W（1） 如 分别是 与 上的内积，证明：存在 V 上的内积 满足(,)iWi12 (,)(,),2iWi（2） 满足（1）中的内积 是否唯一，为什么？(,)22证明题 在欧氏空间 V 中两个向量 的距离定义为 的长度 ，记,为 ，证明：(,)d（1） 当 时，(,)0d（2） (,)（3） 对任意向量 ,()(,)(,rVdr23设 V 是 n 维欧氏空间， n 3, 给定非零向量 ，令 V:2证明：（1） 是正交变换（2）如果 是正交基，则存在不全为零实数 使得123,n 12,nk是 V 上的恒等变换。12nkk
