1、 y O x B A P F1 F2 例 1、 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为 24xy52（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若， ，求 的值AM1B221例 2、已知椭圆 4yx两焦点分别为 F1、F 2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足121PF，过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点. （1）求 P 点坐标； （2）求证直线 AB 的斜率为定值； （3）求PAB 面积的最大值。例 3、已知椭圆2:1(0)x
2、yCab的左焦点为 F1 (,0)c，C上存在一点 P 到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的距离相等(1)求椭圆的离心率 e的取值范围；(2)若已知椭圆的左焦点为（-1 ，0）,右准线为4x， A、 B 为椭圆上的两个动点，且满足OAOB( O 为坐标原点) ，试证明直线 AB 总与一个定圆相切,并求该圆的面积.例 4、在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(-1, 0)、B(1, 0), 动点 C 满足条件：ABC 的周长为 22 .记动点 C 的轨迹为曲线 W.2() 求 W 的方程；() 经过点（0, ）且斜率为 k 的直线 l 与曲线 W 有两个不同的交点 P 和 Q，求 k2的取值范
3、围；() 已知点 M（ ，0） ，N （0, 1） ，在( )的条件下，是否存在常数 k，使得向量2OPQ与 共线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由1、 【解】 （1）设椭圆 C 的方程为 ，)0(12bayx抛物线方程化为 ，其焦点为 ，yx42),0椭圆 C 的一个顶点为 ，即 ， 3 分)1,0(b由 ，得 ，522abce2aOF1 xyABy O x B A P F1 F2 椭圆 C 的方程为 6 分152yx（2）由（1）得 ， 7 分)0,(F设 ， ，显然直线 的斜率存在，),(1yxA2B),(0yMl设直线 的方程为 ，代入 ，并整理得lxk152x， 9
4、分020)51(2xk 10 分22121 5,kx又 ，),(,),( 0201 yMByxA，2xFF由 ， ，得12， ，),(),( 10yxyx ),2(),( 202yxyx ， 12 分2211, 14 分10)(42112121 xxx2、解：（1）由题可得 ),0(1F， )(2，设 ),(),00yyP则 )2,(0yxPF， ,00yxP，2 分 (201 ，点 ),(在曲线上，则 1420x， 2400yx，从而 1)2420y，得 0y.则点 P 的坐标为 ),1(. 5 分（2）由题意知，两直线 PA、 PB 的斜率必存在，设 PB 的斜率为 )(k，6 分则 BP
5、 的直线方程为： )(xk.由 142)(yxk得xkxk)2()2(202，设 ),(B，则21(,1 kBB，同理可得 22)kxA，则 24kxBA， 28)1()(kxkyBABA . 9 分所以： AB 的斜率 BABxy为定值. 10 分（3）设 AB 的直线方程： m2.由 142yxm，得 042，由 0)4(6)(22，得 22P 到 AB 的距离为 3|d，12 分来源:学科网则 3|)21(|21mABS 88)(8m。当且仅当 ,取等号三角形 PAB 面积的最大值为 2。14 分3、解（1）设点 P 的坐标为 (,)xy，则|PF 1|= aex， =2axc，2 分整
6、理得：2()acx，而 ，2()c，解得 1e5 分（2）易求得椭圆的方程为2:143xyC，6 分设 AB 不垂直于 轴时，AB 的方程为 kxm， 12(,)(,)AyBx，联立方程 2143ykxm可得 22(4)840由 0,得 2k且12234kx8 分而 0OAB则 ，即2221211271()()()03mkxykxx27mk。而原点到直线 AB 的距离为 2|，所以原点到直线 AB 的距离为 127。即直线 AB 都与圆 217xy相切。11 分设 AB 垂直于 x轴时，AB 的方程为 xn，代入椭圆方程得 234n即 2233(,4),(4)AnB，222107OBn，此时，
7、直线 AB 与圆 217xy相切.综上: 直线 AB 一定与圆 xy相切,且该圆的面积为 17.13 分4、 【解】 来源 :Z+xx+k.Com交点。 由定义知，动点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点，长轴长为 2的椭圆除去与 x 轴的两个交点。 2,1ac。 221bacW： (0)xy.5 分() 设直线 l的方程为 2kx，代入椭圆的方程，得22()1xk来源:Zxxk.Com整理，得 7 分因为直线 l与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于22184()0kkA，解得 2k或 k。 满足条件的 k 的取值范围为 或 。（）设 P（x 1,y1）,Q(x 2,y2),则 OP（x 1+x2，y 1+y2),由得 4k. 又 1212()yx 因为 (2, 0)M， (, 1)N， 所以 (2, 1)M. 12 分所以 OPQ与 共线等价于 1xy=-.将代入上式，解得 2k.所以不存在常数 k，使得向量 OPQ与 N共线. 15 分
