1、1柯西不等式习题一、二维形式的柯西不等式 .),()()( 222 等 号 成 立时当 且 仅 当 bcadRdcbadccba 二、二维形式的柯西不等式的变式 bacd22)1( .),( 等 号 成 立时当 且 仅 当 ccba ., 等 号 成 立时当 且 仅 当 badRd.),0,()()()3( 2 等 号 成 立，时当 且 仅 当 ccbadcdc三、二维形式的柯西不等式的向量形式 .),(. 等 号 成 立时使或 存 在 实 数是 零 向 量当 且 仅 当 k借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对 a2 + b2 + c2，并不是不等式的形状，但
2、变成(1/3) * (12 + 12 + 12) * (a2 + b2 + c2)就可以用柯西不等式了。基本方法（1）巧拆常数：例 1：设 、 、 为正数且各不相等。求证：abc cbacba922（2）重新安排某些项的次序：例 2： 、 为非负数， + =1， 求证：ababRx21, 212121)(xx（3）改变结构：例 3、若 求证：ccaba4（4）添项：例 4： 求证：Rba, 23cb【1】 、设 ，则 之最小值为_；此时 _。6 )21( b答案：18; 解析： ,a1818a之最小值为18，此时ba )4,2(b2【2】 设 (1，0， 2) ， (x，y，z)，若 x2 y
3、2 z2 16，则 的最大值为 。ab ab【解】 (1，0， 2) ， (x，y，z) x 2zab由柯西不等式1 2 0 ( 2)2(x2 y2 z2) (x 0 2z)2 5 16 (x 2z) 2 4 x 45 4 4 ，故 的最大值为 4abab5【3】空间二向量 ， ，已知 ，则(1) 的最大值为多少？(2) 此时 ？(1,3)(,)xyz6babbAns：(1) 28：(2) (2,4,6)【4】设 a、b、c 为正数，求 的最小值。Ans：121493()()abc【5】. 设 x，y，z R，且满足 x2 y2 z2 5，则 x 2y 3z 之最大值为 解(x 2y 3z)2
4、 (x2 y2 z2)(12 22 32) 514 70 x 2y 3z 最大值为 70【6】 设 x，y，z R，若 x2 y2 z2 4，则 x 2y 2z 之最小值为 时，(x，y，z) 解(x 2y 2z)2 (x2 y2 z2)12 ( 2) 2 22 49 36 x 2y 2z 最小值为 6， 公式法求 (x，y，z) 此时 32)(2612zyx ， ，324y3z【7】设 ， ，试求 的最大值 M 与最小值 m。,xzR225x2xyzAns： 15;mM【8】 、设 ，试求 的最大值与最小值。2 , ,2zyxzy zyx答：根据柯西不等式)()()( 22即 而有592z
5、1515z故 的最大值为 15，最小值为15。yx【9】 、设 ，试求 之最小值。6 , , xR22yx答案：考虑以下两组向量= ( 2, 1, 2) =( x, y, z ) 根据柯西不等式 ，就有uv 22)(vu即)(1)2(12 222 zyxzyx 3将 代入其中，得 而有)(9)2( 22zyxzyx62zyx )(93622zyx故 之最小值为 4。42【10】设 ， ，求 的最小值 m，并求此时 x、y、z 之值。,R622Ans： )3,2(),(;zyxm【11】 设 x，y，z R，2x 2y z 8 0，则(x 1) 2 (y 2)2 (z 3)2之最小值为 解： 2
6、x 2y z 8 0 2(x 1) 2(y 2) (z 3) 9，考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) uv 22(vu2(x 1) 2(y 2) (z 3)2 (x 1)2 (y 2) 2 (z 3) 2(2 2 22 12) (x 1) 2 (y 2) 2 (z 3) 2 9)(【12】设 x, y, z R，若 ，则 之最小值为_，又此时3zyx22)1(zyx_。y解： 2x 3(y 1) z ( )，32x考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) uv解析： 最小值1436()32(1)32)1( 2222 zyxzyxzy78, ,()1)3
7、231xztxyztt t72y【13】 设 a，b，c 均为正数且 a b c 9，则 之最小值为 cba64解：考虑以下两组向量= ( , , ) ， =( , , ) uv( )(a b c)22)v 243( cba ca1694 ( )9 (2 3 4) 2 81 cba164 98【14】 、设 a, b, c 均为正数，且 ，则 之最小值为_，此时2cbacba31_。a解：考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) uv422)(vu 2222222 )31()3()1(3)() cbacba ，最小值为 18 等号发生于 故 183cba vu/ 又 2cb3
8、1a【15】. 设空间向量 的方向为，0 ， ，csc 2 9 csc2 25 csc2 的最小值为 a。解 sin 2 sin2 sin2 2 由柯西不等式 (sin2 sin2 sin2) (1 3 5)2 2(csc2 9csc2 25csc2) 8122)sin5()si3()sin1( csc2 9csc2 25csc2 故最小值为881【注】本题亦可求 tan2 9 tan2 25tan2 与 cot2 9cot2 25cot2 之最小值，请自行练习。【16】. 空间中一向量 与 x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为， （， 均非象限角） ，求a的最小值。222sini4sin1
9、解 : 由柯西不等式 )sini(sin)i3)sin2()i1( 2222isinisn1( 22222 )31()sini)(si9)i4()i sin2 sin2 sin2 2 36)sin9i4sin1(22218)sin9i4sin1(222 的最小值 18iii【17】.空间中一向量 的方向角分别为 ，求 的最小值。a,2229516sinisin答 72 利用柯西不等式解之【18】 、设 x, y, z R，若 ，则 之范围为何？又 发生4)2()1(2zyx zyx3zyx235最小值时， ？x答案： 222222 )3()(13)()1( zyxzy 若 又 4253425z
10、yx 145zy tzyx21 1)()1(ttt 7t73【19】 设ABC 之三边长 x，y，z 满足 x 2y + z = 0 及 3x + y 2z = 0，则ABC 之最大角是多少度？【解】 x：y：z = ： ： = 3：5：7023yx 21312设三边长为 x = 3k，y = 5k，z = 7k 则最大角度之 cos = = ， = 120)()(2k【20】. 设 x，y，z R 且 ，求 x y z 之最大值，最小值。145)(16)(22zyxAns 最大值 7；最小值 3【解】 由柯西不等式知14)(5)2(16)( 22zyx42 ( )2 22 22)3( 2)5
11、()41(yx 25 1 (x y z 2)2 5 |x y z 2|)3(z 5 x y z 2 5 3 x y z 7故 x y z 之最大值为 7，最小值为 3【21】. 求 2sin cos sin cos cos 的最大值与最小值。3答. 最大值为 ，最小值为 22【详解】令向量 (2sin， cos， cos )， (1，sin，cos) 由柯西不等式 | | | | |得a3bab| 2sin cos sin cos cos | ，3 222cos3sin422cossin1 )i1)(co(i2 所求最大值为 ，最小值为 6【22】ABC 的三边长为 a、b、c，其外接圆半径为
12、 R，求证：证明：由三角形中的正弦定理得22222 36)sin1isin1)( CBAba，所以 ，同理 ， 于是左边=Rsin4ia24ib224sin1cRC。222 36)()( aRcRbcba 【23】求证:点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d= .20|BAyx证明:设 Q(x,y)是直线上任意一点,则 Ax+By+C=0.因为|PQ| 2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B20,由柯西不等式得(A2+B2)(x-x 0)2+(y-y0)2A(x-x 0)+B(y-y0) 2=(Ax+By)-(Ax 0+By0) 2=(Ax0+By0+C)2,所以|P
13、Q|.20|BACyx当 时,取等号,由垂线段最短得 d= .200BACyx 20|BACyx【24】已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=xyz,且不等式 恒成立,求 的范围.zyx11解析:由二元均值不等式及柯西不等式 ,得xzyx11 )(2121 zyxzyxzyxzy 故 的取值范围是 ,+).3)(22 zzxz 23温馨提示本题主要应用了最值法,即不等式 恒成立,等价于( )max,问xzyx11 xzyx11题转化为求 f(x,y,z)= 的最大值.zyx【25】设 a,b,c,x,y,z 均为正实数,且满足 a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求 的值.zyxcba解析:根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式 .由柯西不等式等号成立的条件,知 =,再由等比定理,得 =.因此只需求 的值即可.由zcybxazyxcba7柯西不等式,得 302=(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=2536,当且仅当 =时,上式等号成立.zcybxa于是 a=x,b=y,c=z,从而有 2(x2+y2+z2)=25,= (舍负),即 .6565
