1、- 1 -22.2 降次解一元二次方程本章内容“一元二次方程” 是课程标准 “数与代数”的重要内容，解一元二次方程的算法是一元二次方程一章的重点内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础， 本节的主要内容是一元二次方程的解法。这部分知识是对一次方程（组）知识学习的延续和深化，是后续内容学习的基础和工具。主要学习下列三个内容： 1. 配方法配方法是继探索一元二次方程近似解的基础上研究的一种求精确解的方法它是一元二次方程的解法的通法因为用配方法解一元二次方程比较麻烦，一个一元二次方程需配一次方，所以在实际解一元二次方程时，一般不用配方法但是，配方法是导出求根公式的关键，且在以后的学习中，
2、会常常用到配方法因此，要理解配方法，并会用配方法解一元二次方程.根据教材的特点主要设置了直接开平方法解一元二次方程和二次项系数是1 的一元二次方程的解法.直接开平方法解一元二次方程比较简单，主要设置了【典例引路】中的例 1、例 2.【当堂检测】中的第 1、2 题， 【课时作业】中的第 1，2，11 题.配方及二次项系数是 1 的一元二次方程的解法为本节的难点，为此设置了【拓展应用】中的例 2， 【当堂检测】中的第 3，5 题， 【课时作业】中的第 4，5，6，7，8，9，10，12 题， 【选做题】中的第 1，2 题， 【备选题目】中的第 1，2 题。2. 公式法此内容是本节课的重点，是学习一
3、元二次方程的基础，为此设计【典例引路】的例3、 当堂检测的第 1、2、4 题，课时作业 的第 15 题。3. 因式分解法利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计【典例引路】的例 4， 当堂检测 的第 3 题，选做题 和 备选题目的问题。4. 整体思想和数感整体思想是数与代数中常用的数学思想，为此设计拓展应用 的例 1，课标虽不要求解含字母系数的方程,为提高数感, 为此设计 备选题目 的问题。- 2 -点击一：利用直接开平方法解一元二次方程用此法可解形如 、 或可化为这种形式的一类方程，这种cx2 )0()(2cba解法的优点是能迅速准确地求出方程的解，缺点
4、是只适用于一些特殊的方程。针 对 练 习 1: 方程（x5） 26 的解是 .A. 5+ ,5+ B. 5+ ,5+6 6C. 5+ 6,5 D. 5+ ,5【解析】方程两边开平方,得 x5 ，x5 .6【答案】5+ 6,56点击二：利用配方法解一元二次方程配方法是一种重要的数学思想方法，它的应用非常广泛，解方程只是它的一个具体应用。任何一个形如 的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成bx2一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来求解的方程。实际上我们解一元二次方程时，一般是不用此法的，主要是要掌握这种配方的思想方法。针 对 练 习 2: 解下列方程：(1)x212x
5、+5=0; (2)x2 2x8=0;答案： (1)移项，得 x212x=5,配方，得 x212x +36=5+36,(x6) 2=31，解这个方程，得 x6= .31即 x1=6+ ,x2=6 .3(2) 移项，得 x22x=8,x 2 2x+1=9, 配方，得(x1) 2=9. 解这个方程，得 x1=3, 即 x1=4,x2=2.点击三：利用公式法解一元二次方程我们可以通过配方法推导出求一元二次方程 的解的公式)0(2acbxa，称为求根公式。用公式的一般步骤：（1）把方程)04(22acbabx- 3 -化成一般式；（2）求出 的值，若 0，将 a、b、c 的值代入求根公式，acb42b4
6、2求出方程的根；若 0，则原方程没有实数根。针 对 练 习 3: 用公式法解方程 .(1)5x+2=2x2； (2) t2+4t2=0.【解析】先整理成一般式,特别要注意各系数的符号.【解答】(1)a=2,b= 5,c= 2,b 24ac=25+16=410.x= .x 1= ,x2= .454541(2)a= ,b=4,c=2,23b 24ac=16+12=280.t= .328t 1= ,t2= .37474点击四：利用因式分解法解一元二次方程当把一元二次方程的一边化为 0，而另一边可以分解成两个一次因式的积时，就可以用因式分解法来解这个方程。要清楚使乘积 ab=0 的条件是 a=0 或
7、b=0。如使方程x（x3）=0 的条件是 x=0 或 x3=0 ，x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x（x3）=0 有两个根。针 对 练 习 4: 用分解因式法解方程：（1） ； （2） ；(2)5()x2(1)tt（3） 30答案：（1） ；125x，（2） ；2t，（3） 17x，类型之一：直接开平方法- 4 -例 1方程（X2） 2=9 的解是_【解析】本题利用直接开平方法，把（x2）看成是一个整体。【解答】 125,x类型之二：配方法例 2 用配方法解下列一元二次方程：（1）x 2+12x=9 964； （2）9x 212x=1【解析】本题要求用配方法解一元二次方程，因此方程的左边
8、应先化成（ax+b） 2的形式对于第（1）小题，配方较为容易，只需两边都加上 36 即可对于第（2）小题，联想公式（a+b） 2=a2+2ab+b2，应在方程两边都加上 4，才能把左边的式子化成（ax+b） 的形式【解答】 （1）x 2+12x=9 964两边都加上 36，得 x2+12x+36=9 964+36即（x+6） 2=10 000 x+6=100，或 x+6=100解得 x1=94，x 2=106（2）9x 212x=1两边都加上 4，得 9x212x+4=1+4，即（3x2） 2=5 3x2= ，或 3x2= 55解得 x1= ，x 2= 3类型之三：公式法例 3 解下列方程：
9、（1）2 x60； （2） 4x2；x（3）5 4x120；（4）4 4x1018x【解析】把一元二次方程化成一般形式，然后计算 b24ac 的值，当 b24ac0 时，把各项系数 a， b， c 的值代入求根公式 x= (b24ac 0)就可得到方程的ac- 5 -根【解答】 （1）这里 a2，b1，c6，4ac 42（6）14849，2b所以 ，4712924acx即 3,1（2）将方程化为一般式，得 4x20x因为 4ac 24，b所以 624x即 ,6221（3） 因为 4ac 256，b所以 582106452)(x得 ,61（4） 整理，得 4 12x902x因为 4ac 0，2b
10、所以 ，81x即 231类型之四：因式分解法例 4：解方程1.x225=0 2.(x+1)2=(2x1) 2 3.x22x+1=4 4.x2=4x【解答】1.解：(x+5)(x 5)=0x+5=0 或 x5=0x1=5,x2=52.解：(x+1) 2(2x1) 2=0- 6 -(x+1+2x1)(x+1 2x+1)=03x=0 或x+2=0 ， x1=0,x2=23.解：x 22x3=0(x3)(x+1)=0x 3=0 或 x+1=0，x1=3,x2=14.解：x 24x=0x(x4)=0x=0 或 x4=0 ，x1=0,x2=4类型之五：综合应用例 5. 阅读理解例如：因为 ，226(3)x
11、x所以 ()所以方程 用分解因式法解得 250x 213x，又如： 26(3)()所以 2()xx所以方程 用分解因式法解得 50123x，一般地， 2()()xabxab所以 ，即 的解为 012xab，请依照上述方法，用分解因式法解下列方程：（1） ；（2） 2870x218x【解答】 （1） ；（2） 7， 247x，1. 解下列方程：(1)x225=O； (2)16x2 一 49=0； (3)(x 一 5)236=0； (4)4(6x 一 1)2=3- 7 -【解析】 （1）利用开平方法可解形如 x2=a(a0)的方程(2)如果把 x 一 5 看作一个字母 y,就变成解方程 y2=36
12、 了.也就是说，如果一个一元二次方程的一边是一个含有未知数的式子的平方,另一边是一个非负的常数,那么这个一元二次方程就可以用开平方法来解,即形如(xa) 2=b(b0)的一元二次方程都可以用开平方法来解.【解答】 （1）移项,得 x2=25.x 是 25 的平方根， x= ，即 x=5。5x1=5,x2=5.（2）移项，得 16x2=49,x2= . 1649x1= ,x2= .47(3)移项，得(x 一 5)2=36，即 x 一 5=6 或 x 一 5=一 6，x1=11, x2=1.(4)方程两边都除以 4，得(6x 一 1)2= ，436x1=3,6x1=3 或 6x1= 3,6x=4
13、或 6x=2,x1= ,x2=32. 用配方法解下列方程： （1） ；（2） 07620132x【解析】配方法是以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法即把一元二次方程的常数项移到方程的右边，把左边配成一个完全平方式，此时，如果右边是一个非负数，就可以通过直接开平方法求出方程的解来【解答】 （1）移项，得 762x方程左边配方，得，3223x即 16)(所以 x34- 8 -得 1,721x（2） 移项，得 3方程左边配方，得，222 )(1)(x即 453(2所以 x得 x253,2531x【点评】配方法本身是一种方法，它是公式法的基础，是一种基本的代数方法它以配方为手段，而以直接开平
14、方法为基础，适用于任何特点的一元二次方程，但过程较繁；3. 已知方程 3x2+4x=0,下列说法正确的是( )A.只有一个根 x= B.只有一个根 x=034C.有两个根,x 1=0,x2= D.有两个根,x 1=0,x2= 34【解析】C b24ac=4 2430=16,x= = ,x1=0,x2= .32644. 用分解因式法解下列一元二次方程：(1)(x1)(x+3)=12; (2)(3x 1)2=4(2x+3)2.【解析】(1)先化成一元二次方程的一般形式，再分解因式；(2) 先将方程右边的代数式移到左边，再用平方差公式分解因式.【解析】(1)x 2+3xx312=0,x 2+2x15
15、=0,(x3)(x+5)=0,x3=0 或 x+5=0.x1=3,x2=5.(2)(3x 1)22(2x+3) 2=0,3x1+2(2x+3) 3x12(2x+3)=0,(3x1+4x+6)(3x14x6)=0,(7x+5)(x7)=0,7x+5=0 或x7=0,- 9 -x1= ,x2=7.751. 一元二次方程 x29=0 的根为( )A. x=3 B. x=3C. x1=3,x2=3 D. x1=0,x2=3 【解析】C 可解形如 x2=a(a0)的方程.2. 用配方法解下列方程时，配方错误的是( )A.x2+2x99=0 化为(x+1) 2=100 B.2x27x4=0 化为(x )=
16、47168C.x2+8x+9=0 化为 (x+4)2=25 D.3x4x2=0 化为(x )2=390【解析】C 检验的办法是把配方后的结果展开对照 .3. 解方程 0342x【解答】移项，得 ，2配方，得 ， 2 2()()x2)7x解这个方程，得 ，7即 127xx，4. 用公式法解方程.(1)5x+2=2x2；(2) t2+4t2=0.3【解析】先整理成一般式,特别要注意各系数的符号.【解答】(1)a=2,b=5,c= 2,b24ac=25+16=410.x= .x1= ,x2= .454541(2)a= ,b=4,c=2,23b2 4ac=16+12=280.t= .328- 10 -
17、t1= ,t2= .3743745. 已知一元二次方程 x22x1=0 的两个根为 x1，x 2，则 x1x 2x 1x2 的值是 .A.3 B.2 C.3 D.2【解析】由根与系数的关系，得：x 1x 2=2 ，x 1x2=1 。 x1x 2x 1x2=21=3 。【答案】36. 解方程 212 2008x【解析】此题常数项绝对值较大，因数较多，采用因式分解法、公式法都不简便，应考虑配方法原方程变为： 212 362044，x即 ( 6) 22044，x两边开方，得 6 ，04 62 ， 62 x15x51【评注】当方程含未知数的项与完全平方式相近并且常数项又较大时，常采用配方法解这个方程7
18、. 方程 2x(x3)=5(x3) 的根是（ ）A.x= B.x=325C.x1= ,x2=3 D.x= 52【解析】C 2x(x3)=5(x3) ，2x(x3)5(x 3)=0，(x3)(2x 5)=0,x3=0 或2x5=0，x 1=3,x2= .58. 阅读材料：为解方程(x 2 1)25(x 21) 40，我们可以将 x21 看作一个整体，然后设 x21y，那么原方程可化为 y25y40，解得 y11，y 24当 y1时，x 211， x22， x ；当 y4 时，x 21 4， x25， x ，故原方程的解为 x1 ，x 2 ， x3 ，x 4 5解答问题：(1)上述解题过程，在由原
19、方程得到方程 的过程中，利用_法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；(2)请利用以上知识解方程 x4x 260【解析】易知上述解一元二次方程用的是换元法，换元的目的是将原方程变形为较- 11 -简单易解的方程，解出换元后的未知数还应代入所换元的关系式，求出原方程的解。本题通过换元，达到了降次的目的。【解答】(1)换元法 (2)设 x2y，那么原方程可化为 y2y60 解得 y13，y 22 当 y3 时，x 23x 当 y2 时，x 22 不符合题意，舍去.原方程的解为：x 1 ，x 2 3【评注】此题是阅读理解题，这是近几年中考题中新出现的数学考题类型.本题在考查一元二次方程解法的同时
20、，还考查了换元法.1. 已知 x2+8x+k2 是完全平方式,则 k 的值是( )A.4 B.4 C.4 D.16【解析】C 形如“a 22ab+b2”的为完全平方式,所以 k2=42,满足题意的 k 为4.2. 设 a、b、c 都是实数，且满足(2a) 2+ +|c+8|=0，ax 2+bx+c=0，求代数ba式 x2+x+1 的值.【解析】先求出 a、b、c 的值，然后即可解方程，最后求代数式的值.【解答】由题意，得解得.08,2cba.8,42cbax2+bx+c=0，2x 2+4x8=0,即 x2+2x4=0,解得 x1=1+ ,x2=1 .55当 x=1+ 时，x 2+x+1=6 ,
21、5当 x=1 时，x 2+x+1=6+ .5【评注】本题综合考查了完全平方式、算术根、绝对值的非负性，一元二次方程的解法及求代数式的值的问题，解题时应注意正确地运用各知识点之间的互动关系.- 12 -3. 某中学有一块长为 a 米，宽为 b 米的矩形场地，计划在该场地上修建宽都是 2 米的两条互相垂直的道路,余下的四块矩形小场地建成草坪。（1）如图，请分别写出每条道路的面积（用含 a 或含 b 的代数式表示）（2）已知 a:b=2:1，并且四块草坪的面积之和为 312 米 2 ，试求原来矩形场地的长和宽各为多少米？ 【解析】虽然表示出两条道路的面积为 2a 米 2 和 2b 米 2，但由于两条
22、道路有重合的部分，草坪的面积是矩形场地的面积减去两条道路的总面积(2x+4x4) 米 2.【解答】 （1）这两条道路的面积分别为 2a 米 2 和 2b 米 2 （2）设 b=x 米，则 a=2x 米，由题意可得x2x(2x+4x4)=312即 x23x154=0(x )2=3465所以 x = 或 x =235整理得：x 1=14 ,x2=11 (舍负根)所以 b=14 ,a=28 即矩形的长为 28 米，宽为 14 米。4. 解方程：x 46x 2+8=0(提示：设 x2=y).【解析】本题运用了换元法，将原方程降次，在解方程时遇到高次方程，常用换元法解，换元法是数学中常用的一种思想方法.
23、【解答】设 x2=y，则原方程化为 y26y+8=0，解得 y1=2,y2=4.当 y=2 时，x 2=2,x1= ,x2= ；当 y=4 时，x 2=4,x3=2,x4=2.课时作业：A 等级- 13 -1一元二次方程 的根是 2(1)9x2一元二次方程 的根是 03方程 的根是 23x4方程 的根为 15方程 的根为 280x6 23_(_)x7写出一个符合条件的一元二方程 ，使它的一个根为 ，另一个根在0与 之间18已知 ，则 的根为 210x32x9若 ，则 310已知三角形的两边长分别是 和 ，第三边的长是方程 的根，则122530x三角形的周长为 B 等级11方程 的根的个数是（
24、）20xA 个 B 个 C 个 D以上答案都不对1012方程 的根是（ ）(3)A B C ， D ，x2x13x213x213方程 的根是（ ）21A B C Dx52x1x52x14把方程 的配方后，得（ ）2890A B C D(4)7x2(4)5x2(4)9x2(8)7x15已知 是关于 的方程 的一个解，则 的值是（ ）3103aa- 14 -A B C D1213416如果关于 的一元二次方程 的两根分别为 ， ，那么x20xpq13x2这个一元二次方程是（ ）A B2340243C Dx0x17党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值以 2020
25、年比 2000 年翻两番在本世纪的头二十年（2001 年2020 年） ，要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是 ，那么 满足的方程x为（ ）A B2(1)x2(1)4xC D ()三、用心做一做，马到成功18用指定的方法解下列方程（1） ；（直接开平方法）2(3)8x（2） ；（配方法）60（3） （公式法）(4)1x19用适当的方法解下列方程（1） ；22()(3)0（2） ；5x（3） 8420请尽可能多地找出下列两个方程的相同点和不同点（1） ；（2） 230x230xC 等级21. 一元二次方程 用配方法化成 的形式为 则此方20x2()xab- 15
26、 -程的根为 22. 若方程 的左边是一个完全平方式，则 的值是 24()10xmm23. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则符合条件的一2xn组 的实数值可以是 ， mn，24. 三角形的两边长分别为 3cm 和 6cm，第三边是方程 的解，则这个2680x三角形的周长是 25. 已知方程 和方程 的解相同，则 ()30xa230xa26. 用配方法解下列方程：（1） ；2610x（2） 727. 用因式分解法解下列方程：（1） ；2(3)xx（2） ()028. 用公式法解下列方程：（1） ；21x（2） 68329. 观察下列方程和等式，寻找规律，完成问题：方程 ， ， ，而
27、 ；270x1x26276(1)6xx方程 ， ， ，而 ；45145方程 ， ， ，而 ；2190x132x23192xx方程 ， ， ，而 ；23740x143x2124373(1)xx- 16 -（1）探究规律：当方程 时， ；20()axbca（2）解决问题：根据上述材料将下列多项式分解： ；x 23（3）拓广应用：已知，如图，现有 ， 的正方形纸片和 的矩形纸片各1a1a若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹） ，使拼出的矩形面积为 ，并标出此矩形的长和宽25a30. 观察下列方程：
28、； ； ；27910x2360x219450x； ；215825上面每一个方程的二次项系数都是 2，各个方程的解都不同，但每个方程 的2bac值均为 1（1）请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是 2，且每个方程的的值也都是 1，但每个方程的解与已知的 5 个方程的解都不相同24bac（2）对于一般形式的一元二次方程 ，能否作220(40)axbcabc， 出一个新方程 ，使 与 相等？若能，请写出所作的新的20xbc4方程（ ， 需用 表示） ，并说明理由；若不能，也请说明理由ca， ，- 17 -答案：课时作业：1 ， 2x12 ， 3 ，174x23174x4 125 ， x6 ，
29、94327答案不惟一，如 20x8 9 1034.511.B12.D13.B14.A15.C 16.B17.B18 （1） ，0x243（2） ，366- 18 -（3） ，1432x432x19 （1）因式分解法 ， ；12（2）公式法 ， ；53x53x（3）配方法 ， 142620 （答案不惟一，其它合理答案也对）相同点：均为一元二次方程，二次项及一次项相同不同点：常数项不同21. ，2(1)3x1x22. 或623. 13cm24. （1） ，（2） ， 1x14x2325. 26. （1） ；（2） ， 53x1x2327. （1） ， ；（2） ， 1228. （1） ， （2） ， 1x14x2329. （1） ，(0)bacb；222 44bacaxcxx（2） ， ；(1)1()2- 19 -（3）解：将 分解因式，得 ，因此拼出的25a25(2)1aa矩形面积的长为 ，宽为 ；或长为 ，宽为 本题是一道结论开放11题下面仅提供一种答案供参考：如右图：30. （1）答案不惟一，如 ， ；2760x2310x（2）能，所作的新方程为 ()()ababc通过观察可以发现 ， bc
