1、2017 届福建省厦门双十中学高三上学期期中考试数学理试题 第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）|12,|03AxBxABA B C D(1,3)(,) (0,2)(2,3)2.已知 ，其中 是实数， 是虚数单位，则 （ ）abii,ai|abiA3 B 2 C5 D 53. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）nanS4518a8SA18 B36 C54 D724.设 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是 （ ）,abA存在唯一直线 ，使得
2、，且 B存在唯一直线 ，使得 ，且 llalbl/lalbC存在唯一平面 ，使得 ，且 D存在唯一平面 ，使得 ，且/5. 已知命题 ；命题 ，则下列命题中为真命题的是（ ）:,23xpR32q:,1xRxA B C Dqppqpq6. 已知函数 的图像与直线 的两个相邻公共点之间的距离等于 ，()sincos(0)fxx2y 则 的单调减区间是（ ）()fA B C2,()63kkZ,()36kkZD42, 52,127. 如图，两块全等的直角边长为 1 的等腰直角三角形拼在一起，若 ，则 （ ADBkk）A B C2 D122 28. 已知定义在 上的函数 为实数）为偶函数，记 ，R|()
3、21(xmf 0.52(log3),(log5),c()afbffm则 的大小关系为（ ）,abcA B C Dacbcabcba9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D(4)3(4)32(4)3610. 已知函数 与 的图像上存在关于 轴对称的点，则 的取21()(0)xfe2(ln()gxxaya值范围是（ ）A B C D1(,)e(,)e1(,)e1(,)e11. 已知函数 ，以下说法中不正确的是（ ）(sin2icosfxxA 周期为 B 最小值为 ()f()fx54C 为单调函数 D 关于点 对称x (,0)12. 如图，在棱长为 1 的正方体
4、的对角线 上取一点 ，以 为球心， 为半径作1AC1ACPAP一个球，设 ，记该球面与正方体表面的交线的长度和为 ，则函数 的图像最有可能的是（ APx ()fx()fx）第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 夹角为 ，且 ，则,ab60|1,|2|7ab|b_.14. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， 则 的值为()fxR0x()2,xf4(log9)f_.15. 已知正项等比数列 的前 项积为 ，已知 ，则nan121,08mma m.16. 如右图所示，在一个坡度一定的山坡 的顶上有一高度为 的建筑物 ，为了测量该山
5、坡相对AC5CD于水平地面的坡角 ，在山坡的 处测得 ，沿山坡前进 到达 处，又测得 ，5D B45BC根据以上数据计算可得 cos_.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. （本小题满分 10 分）在直角坐标系中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 的极坐标为 ，点 的Ox A(3,)2B极坐标为 ，曲线(6,)2:(1)Cy(1)求曲线 和直线 的极坐标方程；AB(2)过点 的射线 交曲线 于 点，交直线 于 点，若 ，求射线 所在直线的直角坐OlMABN|2OMNl标方程.18. （本小题满分 12 分）在数列
6、 中，前 项和为 ，且 ，数列 的前 项和为 ，且nanS(1)2nbnnT2nab(1)求数列 的通项公式；(2)是否存在 ，使得 ，若存在，求出所有满足题意的 ，若不存在，请说明理由.*,mnNnmTa,mn19. （本小题满分 12 分）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，已知ABC, ,bc3cosiabCB(1)若 ，求 ；2,7abc(2)设函数 ，求 的取值范围.23sin(0)sin(15)yCy20. （本小题满分 12 分）如图，斜三棱柱 的底面是直角三角形， ,点 在底面内的射影恰好是 的中点，1ABC90ACB1 BC且 2(1)求证：平面 平面 ；11B(2)若二面角
7、的余弦值为 ，求斜三棱柱 的高.BAC571ABC21. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，短轴长为 2， 为原点，直线 与椭圆2:1(0)xyCabFAOAF的另一个交点为 ，且 的面积是 的面积的 3 倍BAOB(1)求椭圆 的方程；(2)直线 与椭圆 相交于 两点，若在椭圆 上存在点 ，使 为平行四边形，求:lykxmC,PQCRPQ取值范围.22. （本小题满分 12 分）已知函数 1()(0)axfxe(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；2ayf12(2)讨论方程 根的个数.()10fx数学考试答案一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共
8、60 分.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A D D C B A A C C B C B二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）.13. 314. 115. 616. 31三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 依题意得 .8 分32costan3in所以射线 所在直线的直角坐标方程为 10 分l yx18. (1)当 时1n1aS当 时2()(1)2nn经验证， 满足上式，故数列 的通项公式 ；6 分1anana(2)由题意，易得 ，则 ，23nT 234+112nT两式相减得 ，所以 10
9、 分4+1+122nn T由于 ，又 ，解得 .12 分2nT21nm2n19. (1) ；33cosisicosiCsnabCBAB4 分innta3BB6 分222cs0c(2) 3i(0)i(15)sin(230)12cos(30)yACAC 10 分sin2cos213()sin(26)1A 又 为锐角三角形， .12 分BC(,)(1,6y20. (1)取 中点 ，连接 ，则 平面 1 分M1B1MACB1又 ，且 平面ACBC1因为 平面 ,所以平面 平面 ；4 分1A1(2)以 为 轴， 为 轴，过点 与面 垂直方向为 轴，建立空间直角坐标系5 分oxoyABCoz,设 ，则 6
10、 分2CAB1Mt11(20),(),(0),(),(0,t)Mt， ， ， ， ， ， ，即 1 1(,)(,tB，设面 法向量 8 分1,)(,)nxyznt面 法向量 10 分1ABC21(,02即斜三棱柱的高为 .12 分5cos,37nt321. (1) 短轴长为 2，可得 ，即 ，设1b(0,)A(,0),)FcBxy的面积是 的面积的 3 倍，即为AOFBF13|2可得 ，由直线 经过 可得 ，即 ，代入椭圆方程可得13y :xyc4xc 1(,)3即为 ，即有 ，则椭圆 的方程为 ；4 分269ca2a2abC2xy(2)设 ，由 为平行四边形可得12(,)(,)PxyQOPR
11、Q1212,RRx在椭圆 上可得 ，即为RC2211()()xy22112()(x)m1xk化为 6 分2212()88kkmx由 ， 可得 ，由 即为xyx2(1)4kmx021k8 分1224k代入可得 ，化为 10 分22()8()811mkk 2140km又 ，解得 或 ，则 取值范围是 .12 分214km(,)22. (1)当 时， 又2a21()xfxe2()1xfe故所求切线方程为；11(),()3fef 123(),yyxe(2) 方程 即 ， 的定义域为0x(fx()f(,)当 时，易知 ，故方程 无解，故只需考虑 的情况1或 )10fx1x设 ，令 得 ，又2(),(1)axxgxfge(g20ax2a当 时， 所以 在区间 上是增函数，又 ，只有一个根 002a()0(-1,） (),()gx当 时，由 得()fx2axa或又 ，所以 在 和 递增，在 递减1()g1,)(,1)2(,)a， 在 递减()0g()x2,)a()g(0ga又 在 递增， 在 有一个根()x1,)a()0gx21,)在 递减()g2,)()g(0()g(0aa，在 有一个根 0()0x2(,)a，又 在 递增2()g(0,1()axg()gx2,1)a在 有一个根()x(,)a综上所述，当 时方程 有一个根，当 时方程 有三个根.02()10fx2a()10fx
