1、福建省厦门双十中学 2015 届高三上学期期中考试数学（理）试题【感谢高三数学（理科）备课组所有老师半学期的辛勤付出，你们辛苦了！当然，老师也在平时与同学们的交流中看到大家的不懈努力与对理想的执着与追求，在这阶段检测的时刻，让我们怀着感恩的心证明自己吧！】注意事项：1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，主要考试范围为：“选修 4-4 极坐标与参数方程，集合与常用逻辑用语，平面向量，函数、导数及其应用，平面解析几何，不等式、推理与证明，三角函数和解三角形”的所有内容，但不刻意回避与其他模块内容的交汇. 本试卷共 4 页，满分为 150 分，考试时间 120 分钟 .2. 答题前，
2、考生先将自己的班级、姓名、座号、考场、考场座位号等信息填写在答题卷指定位置.3. 考生作答时，将答案写在答题卷上. 请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 在草稿纸、试题卷上答题无效.4. 严禁携带计算器、电子存储器、手机等违反数学考试纪律的一切设备进入考场.第卷（选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.1 命题“对任意的 xR ，x 210”的否定是（ ）A不存在 xR，x 210 B存在 xR，x 210C存在 xR，x 21
3、0 D对任意的 xR ，x 2102 已知集合 ，集合 ，且 ，则 （ ）3,a0,1Bba1ABA B C D0, 23,24,143 “sinsin”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4 若 a，b ， c 为实数，且 a1a1b baabDa 2abb25 已知函数 f(x)( xa)(x b)(其中 ab)的图像如下图所示，则函数 g(x)a xb 的图象是（ ）6 设 满足约束条件 则 的最小值是（ ）,xy10,3,xy23zxyA B C D3 6127 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2ax(a 0) 的焦点 F，且和
4、y 轴交于点 A. 若OAF(O 为坐标原点)的面积为 4，则抛物线的方程为（ ）Ay 24x B y28x Cy 24xDy 28x8 下列函数存在极值的是（ ）A. B. cosyx lnxyeC. D. 32119 定义： ，其中 为向量 与 的夹角，若 ，sinabab2,56ab则 （ ）A6 B8 C8 D8 或810已知函数 是定义在 R 上的偶函数，对于任意 xR 都有()fx成立，当 且 时，都有 . 4(2)ff12,0,x1212()0fxf给出下列命题：函数 一定是周期函数； 函数 在区间 上为增()fx ()fx6,4函数；直线 是函数 图像的一条对称轴； 函数 在区
5、间 上有且4()fx()f,仅有 4 个零点.其中正确命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4第卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.请把答案填在答题卷的相应位置.11已知函数 ，则 等于 .2,01()xf20()fxd12已知双曲线 C1： 1(a0 ，b0) 与双曲线 C2： 1 有相同的渐近线，则 C1x2a2 y2b2 y216 x24的离心率 .13已知 2 ， 3 ， 4 ，若 7 ，( a、b 均为正实2 23 23 3 38 38 4 415 415 7 ab ab数)，则类比以上等式，可推测 a、b 的值，进而可得 a
6、b .14若定义在 上的函数 的值域为 ，则 的最大值是 ,ba)(23xf 1,3 .15已知 是AOB 所在的平面内的 n 个相异点，且*(1,23,)iAnN. 给出下列命题：OBi ； 的最小值不可能是 ；12nA iOAOB点 在一条直线上； 向量 及 在向量 的方向上,A i的投影必相等.其中正确命题的序号是 .（请填上所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共 6 小题，每小题分数见旁注，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.16 （本小题满分 13 分）已知全集 U=R， ，集合 .0m2|10,|3AxBxm(1)当 时，求
7、；2UB(2)命题 p： ，命题 q： ，若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围.xx17 （本小题满分 13 分）已知向量 a ，b ，记函数 f(x)ab.( 3sin x， cos x) (cos x，cos x)(1)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 c ，f(C) ，若向量 m312与(1，sin A)n 共线，求 a，b 的值.(2，sin B)18 （本小题满分 13 分）平面直角坐标系中，点 M 的坐标是 ，曲线 的参数方程为 （(3,)1C1cos,inxy为参数） ，在以坐标原点为极点、x
8、轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为 .2C4sin(1)将曲线 和 化成普通方程，并求曲线 和 公共弦所在直线的极坐标方程；12 12(2)若过点 M，倾斜角为 的直线 l 与曲线 交于 A，B 两点，求 的值.3CMAB19 （本小题满分 13 分）经过多年的运作， “双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴. 为迎接 2014 年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销. 经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量 p 万件与促销费用 x 万元满足 (其中 ，a 为正常数)已知生产该产品还需投入成本231pxx0万元(不含
9、促销费用)，产品的销售价格定为10元件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求20(4)p(1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值.20 （本小题满分 14 分）已知中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ，且经过点 M(1， )12 32(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 F 是椭圆 C 的右焦点，过 F 的直线交椭圆 C 于 M、N 两点，T 为直线 x4 上任意一点，且 T 不在 x 轴上，()求 的取值范围；FM FN ()若 OT 平分线段 MN，证明：TFMN（其中 O 为
10、坐标原点）.21 （本小题满分 14 分）已知函数 ( R)，曲线 在点 处的切线方程为 .ln()xfa()yfx1,()f 1yx(1)求实数 a 的值，并求 的单调区间；f(2)试比较 与 的大小，并说明理由；201542014(3)是否存在 k Z，使得 对任意 恒成立？若存在，求出 k 的最小值；()xf0x若不存在，请说明理由.厦门双十中学 2014-2015 学年（上）期中检测高三数学（理科）参考答案及评分标准（2014-11-13）17 （本小题满分 13 分）【解析】(1)依题意， 231cos2311()3sincosinincos2in()62xfxx xx3 分所以最小
11、正周期 ， 4 分2T令 ，解得 ，2,6kxkZ,63kxkZ所以 的单调递增区间是： .6 分()f ,63Z(2)由 ，得 ， 7 分1sin(2)2Csin()1C因为 ，所以 ，所以 ，解得 ， 8 分0263C因为向量 m 与 n 共线，所以 ，由正弦定理得 ，(1， sin A) (2， sin B) siinBA2ba 9 分在ABC 中，由余弦定理得 ，即 ，2co3cab2ab 11 分由，解得 .13 分1,2ab18 （本小题满分 13 分）【解析】(1) 依题意， 的普通方程： ， 2 分1C2(1)xy对 ， ，所以 ，即 ， 4 分24sin422()4xy可得，
12、 ， 6 分0y所以曲线 和 公共弦所在直线的极坐标方程为 ，12 cosin0.7 分tan()R（注：本次考试，直线的极坐标方程若只写“ ”，或者2i“ ”均给分！）t2(2)解法一：依题意，直线 l 的参数方程为 （ 为参数） ，点 A、B 分别对应参数 ， 9 分13,2,xtyt 12,t代入 的方程： ，整理得 ，所以 ， 12 分1C221(3)(3)1tt2560t126t所以 .13 分6MAB解法二（注：了解即可！）：设曲线 的圆心为 ，半径 ，1(,0)r则由圆幂定理得. 13 分222(31)(0)16CrMCr19 （本小题满分 13 分）【解析】(1)由题意知， ，
13、 3 分)10()24(pxpy将 代入化简得： （ ）. 6 分31pxxy46a(2) ， 8 分13)(217)(7 y当且仅当 时，上式取等号. 9 分,14xx即当 时，促销费用投入 1 万元时，厂家的利润最大； 10 分a当 时， 在 上单调递增， 11 分)(7y0,a所以 时，函数有最大值，即促销费用投入 万元时，厂家的利润最大. 12 分x综上，当 时，促销费用投入 1 万元，厂家的利润最大；当 时，促销费用投入 万元，厂家的利润最大. 13 分1a20 （本小题满分 14 分）【解析】(1)设椭圆 C 的方程为 ，则21(0)xyab解得 ，所以椭圆 . 4 分221,9,
14、4ceabc24,32:143xyC(2)()易得 ， 5 分(1,0)F若直线 l斜率不存在，则 1:xl，此时 )23,(M， ),1(N， FNM 49； 6 分若直线 斜率存在，设 )(ky， 21yx，则由 134)(2yxk消去 得： 048422 k7 分 821k， 321kx8 分 FNM ),(),(y 1)()1(212xx 249k9 分 02k 12k 432k 3FNM综上， F的取值范围为 9, 10 分()线段 MN 的中点为 Q，则由() 可得， 11 分212 243,1)34Qxkkyx所以直线 OT 的斜率 ，所以直线 OT 的方程为： ， 12 分Q3
15、4yxk从而 ，此时 TF 的斜率 ， 13 分3(4,)Tk3014TFk所以 ，所以 TFMN .14 分1FMN21 （本小题满分 14 分）【解析】(1)依题意， ， 1 分2ln()xaf所以 ，又由切线方程可得 ，即 ，解得 ，21()af(1)f1a0此时 ， ， 3 分lnx21ln()xf令 ，所以 ，解得 ；令 ，所以 ，解得()0fl0e()0fxlnx，xe所以 的增区间为： ，减区间为： .5 分(,)e(,(2)解法一：由(1)知，函数 在 上单调递减，所以 ，即()fx,)(2014)(5)ff20152014ln4lln5l49 分解法二：，因为20142014
16、5223320142014014014()()()!3!2120134()()32014CC 所以 ，所以 .9 分20153201420155(3)若 对任意 恒成立，则 ，记 ，只需()kxfx2lnxk2ln()xg.mag又 ， 10 分3231ln1l()xx记 ，则 ，所以 在 上单调递减.lh2()0h()hx0,)又 ， ，(1)0h2232()1ln1ln21ln0h e所以存在唯一 ，使得 ，即 ， 11 分0,x0()hx00lx当 时， 的变化情况如下：()g0,00(,)(x 0 ) 0 g 极大值 12 分所以 ，又因为 ，所以 ，0max2ln()()xg0012lnx002ln1x所以 ，0 00 202l ()因为 ，所以 ，所以 ， 13 分(,1)x0(1,)x312gx又 ，所以 ，ma)2g0g因为 ，即 ，且 kZ ，故 k 的最小整数值为 3.x(k()k所以存在最小整数 ，使得 对任意 恒成立. 14 分3()2fx0x
