1、2微分方程方法建摸在自然界及工程、经济、军事和社会等领域中，有许多问题都可以看成是实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程，这一过程可借助微分方程来描述。通过对微分方程的分析、求解来预测问题的未来性态，控制其发展趋势。微分方程模型的建立是利用机理分析法找问题的内在规律并列出方程，其特点是利用微元法，分析建立瞬时变化率的表达式，再根据所给的特定条件，确定解曲线。因此如何根据时间问题描述“变化率”是建立微分方程模型的关键。本章介绍了微分方程建摸所需要遵循的准则、微分方程建摸的基本方法、微分方程建摸的过程以及如何通过方程解去解释实际现象并接受检验。建立微分方程模型，目的就是找到微分方程的一条解
2、曲线。微分方程所反应的思想就是如果知道曲线上每一点处的倒数以及它的起始点，那么就能够重新构造这样的解曲线。模型需要根据实际问题中表示“导数”的常用词及问题所遵循的规律“模式”来建立。下面先通过一个例子说明如何寻找“导数”及“模式” 。例 某人的食量是 10467J/d，其中 5038J/d 用于基本的新陈代谢（即自动消耗） 。在健身训练中，他所消耗的热量大约是 69J/（kg*d）乘以他的体重（kg） 。假设以脂肪形式储藏的热量 100%地有效，而 1kg 脂肪含热量41868J。试研究此人的体重随时间的变化的规律。3分析 本问题是找体重关于时间变量的函数，若将体重 看成是时间t 的连续可微函
3、数，只要能找到体重 满足的微分方程就可以求出这个函()t数。但题中并未出现“变化率” 、 “导数”这样的关键词，要想找到替代“导数”概念的陈述，利用微元法，看看问题中“每天”体重的变化是由什么因素引起的。由题意可知， “每天”体重变化应满足下面关系;体重的变化=输入-输出，输入=扣除基本的新陈代谢之后的净吸收量，输出=进行健身训练时的消耗量为考虑倒数，将上述关系表示为更好的导数意义的陈述，即连续函数的瞬时变化满足下面关系式：()t体重的变化、天=净吸收量、天-运动消耗量、天，其中净吸收量、天=10467-5038=5429（J/d）,运动消耗量/天=69 (J/kg d) (t)(kg),A体
4、重的变化/天= （kg/d）,()(tt在上述描述中，我们注意到，在等式两边的单位是不相匹配的，有些量是用重量单位形式(kg)给出，有些是用能量单位形式（J）给出，利用下面公式将两个单位换算成统一形式：1kg/d= /4186Jdkg建模 由上述分析，体重 满足下面关系式()t529/(/4186()JdJkgdt 4两边的物理单位量纲一致，令 ，整理得0t136dt若已知最初体重为 ，即 ，可解得00()16/0()16tt eA由上述表达可知。随着时间的变化，人的体重最终趋于一种平稳的值 1300/16 81.25,即 时， 平稳=81.25（ ） 。t()kgkg从上述例子叙述中，可归纳
5、出常微分方程模型建立所应遵循的几个原则：1）翻译，将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数。2)转化.在实际问题中，有许多与导数相对应的常用词，如“速率” 、 “增长” （在生物学、人口学问题研究中） 、 “衰变” （在放射性问题中）及“边际”(在经济学中)等，要注意对它们的利用。3）模式。找出问题遵循的模式，大致可按下面两种方法：利用熟悉的力学、数学、物理及化学等学科中的已有规律，对某些实际问题直接列出微分方程；模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下面的模式改变率=净变化率=输入率-输出率4）建立瞬时表达式。微分方程是一个在任何时刻都
6、必须正确的瞬时表达式。由此根据寻找到的问题所遵循的模式，建立起在自变量 时段上的函数 的增长量 的表达式，令 0，即得到t()xtxt的表达式。/dx55）单位。在建立的模型中，等式两端也采用同样的物理单位。6）确定条件。这些是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，他们独立于微分方程而成立，用于确定有关的常数，为了完整，充分地给出问题陈述，应将这些给定的条件和微风方程一起给出。增（减）肥的数学模型肥胖已经成为公众日益关心的卫生健康问题，1999 年世界卫生组织已正式宣布肥胖是一种疾病肥胖症。怎样从数量上来界定是否肥胖（给出一种标准）就变得很重要了，体重指数(BIM,BodyMass Index
7、)测算法是近年来比较流行、临床上经常使用的，也是世界卫生组织（WHO）专家委员会经常使用的，也是世界卫生组织（WHO）专家委员会推荐的国际使用的肥胖分型标准参数，其计算公式为：体重指数=实际体重（kg,即千克）以米计身高的平方（m2）.或简单表述为BMI=千克/米 2=千克/m2.按世界卫生组织 1997 年公布的标准为6BMI(WHO 专家认为) BMI(WHO 专家认为对亚洲人)正常 18.527轻度肥胖：2735BMI25也有其他的算法，例如理想体重和肥胖胖度测算法，腰围，臀围比例测量法等。肥胖是与目前严重危害人类健康的疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾患、痛风、骨关节病、
8、堵塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一，肥胖也是身体的晴雨表，反映着体内多方面的变化，很多人在心理上害怕自己变得肥胖，追求苗条，因而减肥不仅是人们经常听到的话题，更是很多人花很多时间和金钱去付诸实践的行为，从而也造就了各种减肥药、器械和治疗方法的巨大的市场。各种假药或对身体有害的药品或治疗方法、夸大治疗的虚假广告等等就应运而生了，对老百姓造成了不应有的伤害。7情况的严重使得国家广电总局、新闻出版总署等不得不发出通知，明令所有电视台自 2006 年 8 月 1 日起停止播出丰胸、减肥等产品的电视购物节目。但是实际情况却是违禁不止，丰胸减肥广告走下电视登上网站等等不一而足。之
9、所以会造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。本节就是要来建立一个简化的减（增）肥的数学模型（对于饲养牛、猪、鸡鸭或鱼的工厂或个人而言，恐怕是要这些动物增肥而不是减肥的问题了） 。由于人们变得肥胖以及减肥的过程都是极其复杂的过程，因此我们只能做出合理的简化才有可能建立数学模型，而且能过帮助我们提高意识，从而做出正确的数学模型。我们首先来说明模型的简化假设。（1） 时间 t 的单位为天,人的体重为 ;初始时刻表为 t=0,初始体)t重为 = .体重单位为千克.0（2） 我们可以把人的体重分为两个部分:可以通过”燃烧”
10、转化为热量的脂肪的重量(减(增)肥就是减少或增加这部分脂肪)以及由骨骼.脏器和水等组成的部分的重量.（3） 医生和生物学家都认为所谓的减肥就是”燃烧”掉人体内多余的脂肪.通常认为 kg 纯脂肪完全”燃烧”掉的话,相当于750010000kcal 的热量,在我们的模型中我们采用 10000kcal,而且假设我们每天的饮食量所相当的热量 R 完全转化为重8Q/1000KG 的纯脂肪(不考虑什么时间吃,吃什么东西,它们相当的热量,只考虑每天吸入的总热量,而且是不会变的。)（4） 为了通过新陈代谢来维持我们的生命以及各种功能,我们每天都必须消耗掉一定的热量(脂肪).可以有两种考虑,一是认为没小时没千克
11、的体量最低限度消耗 1.008kcal 的热量(可以参考www.cityu.edu.hk/sds/pes/odcourse/notes.doc 上的文章).因为一个体重为 70KG 的人,每天至少要提供大约70*24=1680KCAL 的热量.另外一种考虑是认为对于一个特定的人,为维持他的新陈代谢所需要的热量是一定的,对体重的增减没有关系.下面我们将在这两种假设下建立两个不同的模型.（5） 运动需要消耗热量,而且有许多计算的方法(例如,做什么样的运动,多长时间,就要消耗多少热量,等等).在我们的模型中,我们只考虑一天里由于与体重成正比的运动而消耗掉的总热量.模型 1假设某人每天吸入热量为 a
12、kcal,a0,单位时间内由于锻炼消耗的热量成 正比，记 b ,b0,b=0 表示没有任何运动， b 的量()t()t纲为b= 。单位时间新陈代谢需要消耗的热量也与 成正比，kcalg ()t记 c ,c0.于是，在时间区间t,t+t上利用热量守恒定律，有t,t+t上热量的变化（减少或增加）=在该t 时间内吸入的热量在该t 时间内支出的热量， (t-t )- ()t10000=a- b - c t, ()t()t9()(),0.10wttabcwt令t，得数学模型 0.()(),;1dtabctw记 则有,0chf0()(),;dtftw为求解（3.4 -2） ，在方程两边乘 ，得到fte()
13、,ftftdteh.ftftew从 0 到 t 积分，并利用初始条件，就得到（3.4 -2）和(3.4 -1)的解:,. 00()()()tftfoffthewed即 0)ft fthtee0()ftf（3.43）100()bctaaebc我们从（3.）来分析一些极端情形，并看看它们告诉我们什么结论。10.当 t + 时， 由于我们可以调节，a，b，c 使得)t等于任何数，即理论上讲，你要减（增）肥到多重都是可能的，abc只要你能适当调整饮食、锻炼和新陈代谢，即调整 a,b,c 就可以了。但是，不吃东西、任意改变新陈代谢和锻炼过度都不可取。 称abc为（3.41）的平衡点，也可以直观地认为是平
14、衡重量，即按照这个模型，不论初始体重为多少，最终会单调增加或单调减少达到这个平衡体重。我们应该对减肥有信心，不必太过忧虑。2.不进食是危险的，因为这时 a=0， （3.41）的解为=)t01bctet + ， 0.)t体重都没有了，命也就没了！当然不会发生这种情形，而是产生厌食症，并发其他疾病而导致死亡。报刊上不时有这样的报道，就说明了这种情形。3.如果只吃而根本不锻炼，又假设按照 BMI 的公式计算，你已经属于肥胖，而且你每天还吃得很多，那会怎么样呢？我们用一组数据来分析。设 a=5000,b=26,c=24,则平衡体重为 100kg；如果 b=0，则平衡体重将为 5000/24 208.3
15、4kg,最终重要翻一番，相当可怕！如果此人现在体重为 80kg，那么不到 14 个月他的体重就会翻一番达到 160kg！真正重要的是，要选择健康、合理的饮食方式，加强体育锻炼，同时应该要求食品工业企业在加工食品的过程中减少盐、油脂和糖的添加量，多生产健康食品。11【例】 某男子身高 1.7m，现在的体重为 80kg，他的饮食量相当于5000kcal/d，新陈代谢需要消耗热量约为 24kcal/（kgd） ，运动消耗的热量约为 26 kcal/（kgd） 。问他的体重随时间的变化规律；他需要减肥吗？如果需要应该怎样减肥？需要多少天才能减到他想要的体重？解 已知 a=5000,b=25,c=24,
16、w0=80,于是由（3.4-3）知= +(80 - ) =100-2 .()t50501te0.1te按照 BMI 的计算公式，1.7m 高的人的正常体重应该小于251.71.7=72.25kg，也就是说，他已经超重了，应该减肥。但是必须作出一些改变，因为按照现在这样下去，体重最终会增加到100kg。怎样减肥？如果认为新陈代谢和运动都是合适的话，那么只有减少饮食量了。如果每天的饮食量减少到 3500kcal，则平衡体重为70kg，体重有可能减下来。由=70+10 ，()t0.1te那么，要多少天才能减少到 72.25kg 呢？即从 =72. 25 求()tt。t=-100ln 149d.2.5
17、10大约需要 149d 就能减到 72.25kg。如果饮食量减少到 3000kcal/d，12则有 t=-100ln 49d，既只需要 49d 就能减到 72.25kg。12.50试用 Mathematica 画这两种情形的图形，以获得直接的印象。我们体重的变化过程是这样的吗？模型 2假设某人每天吸入热量为 a kcal，a0,单位时间内由于锻炼消耗的热量与 w（t）成正比，记bw(t)，b=0，b=0 表示没有任何运动，b 的量纲为。单位时间新陈代谢需要消耗的热量 c0，c=kcal，是固定不变的。这时的数学模型为（请自己推导）（3.4-5）0()(),0;1dwtabtc思考题 类似于模型
18、 1 的三种极端情形的分析的结论是什么？实际上，我们不太可能天天吃一样的食物，做一样的运动，也就是说 a，b 一般都随时间变化，即是 t 的函数，因而数学模型应该是（3.4-6）0(),0dwatbcwt数学上，我们会解（3.4-6） 。习题1. 某男子身高 1.7 米，现在的体重为 80kg，它每天的饮食量相5000 kcal，每天新陈代谢需要消耗热量约为 24kcal 是固定13不变的，运动消耗的热量约为 26 kcal/kg。问他的体重随时间的变化规律；他需要减肥吗？如果需要应该怎样减肥？需要多少天才能减到他想要的体重？2.运动消耗的热量与体重相关，但不一定与体重成正比。提出你的合理假设
19、，并建立相应的数学模型。为了从这个模型得到有关的结论，你将会碰到什么困难？3、由于上班紧张，没有时间运动，很多人把运动（体育锻炼）放在周末两天，试建立这种情形的数学模型并求解该模型，把得到的结果与模型 1 和模型 2 的结果进行对比。4、模型 1 和模型 2 真能用来做体重变化的定量模型吗？说明你的理由。5、任意找几则减肥药和减肥仪的广告，根据它们的具体说明，用模型 1 和模型 2 试述它们是怎样改变模型中的 a,b,c 来达到减肥的，会不会产生对身体有害的副作用？6、建立减肥的数学模型，并和减肥的数学模型作比较。 阅读材料下面的材料是 Martin Braum，Courtney S，Cole
20、man，Donald A.Drew 编，Differential Equation Models （ 微分方程模型 ） ，pp.911 例 5 的中译文。也可以参阅中译本：微分方程模型朱煜民、周宇虹译，沙基昌校，国防科技大学出版社，1988，1013，1996 年重印出版。1996 年出版的另14外三卷中译本：政治及有关模型 ， 离散与系统模型 ， 生命与科学模型 。该书是由 William F.Lucas 主编的四卷 Modules in Applied Mathematics （应用数学教学单元（模块） ）丛书的第 1 卷，1978 年由 the Mathematical Associat
21、ion of America(MAA,美国数学协会)出版；1983 年由 Springer-Verleg 出版社出版。该丛书的目的是，为大学教师和学生提供可以包括本科生教学计划内的数学的重要而且实际应用的各种例子，以说明现代数学实际上是怎样来解决有关的当代的问题的。该丛书是由美国数学协会资助和美国科学基金会（NSF，National Science Foundation）部分资助的两个教育课题的最终结果。第一个课题是由美国数学协会的本科数学教学计划委员会（Committee on the Undergradute Program in Mathematics, CUPM）负责执行的，于 197
22、6 年下半年产生了由Maynard Thompson 主编的题为“ 应用数学案例研究（case studies in Applied mathematics） ”报告，包括由 11 位作者编写的 9 章，加上一章引论和这些材料在课堂试验的报告。第一个课题是由美国数学协会的短训班和研讨会委员会（committee on institutes and workshops, CIW）创议的。这是一个于 1976 年夏天在康奈尔（Cornell）大学举办的题为“应用数学教学单元”为期4 周的研讨会，产生由 37 位作者编写的 60 个教学单元。该丛书就是从中选编而成的。15该书例 5 的中译文如下：例
23、 5某男子每天的饮食量相当于 2500 kcal 的热量（译注：原文用的是 cal，即卡，千卡应写作 Cal，或 kcal，但是在非正式或口语的表示中也写作 cal） ；其中，1200kacl 用于基础代谢（即自动消耗掉了） 。他每天做与体重成正比（weight-propor-tional exercise，WPE）的运动所消耗的热量约为 16kcal/kg 乘以他的用千克表示的体重，假设以脂肪形式储存的热量是 100%有效的，而且1kg 脂肪含 10000kcal 的热量。求这个男子的体重怎样水随时间变化。与前面几个例子相比，你大概不太熟悉这个特殊例子的应用。所以，这是一个要你动手来做的极好
24、例子。请你们先拿一张纸把下面的求解部分盖住不看，而把本例作为前面讲过的步骤来求解的习题。当你感到做不下去时，再挪开盖住的纸看年，直到你弄明白了，再盖上纸，然后试试能否从这里继续做下去。解 在本问题的叙述中并没有出现十分关键的词“导数” ，不过我们可以把注意力集中在最后要求你回答的问题上。她告诉我们要求作为时间的函数的体重（记为 w） ，如果我们把 w 看作 t 的连续可微函数，那么我们就能求得一个关于 dw/dt 的微分方程。时间是以“每天”的表述出现在本题中，所以你可以把注意力集中于一天，并试者做出下面那样的概念性的陈述。每天体重的变化=输入（input）一支出(outgo)。输入是指超过基
25、础代谢所需要的热量吸入的净热量（net weight in take） ，而16支出是由于做与体重成正比的运动所消耗掉的热量。因为我们的目标是导数，所以我们可以把生命的陈述结合行成更好的表述体重的变化/天=净吸入/天WPE/天。这就有了一个好的框架表述：我们可以把具体的数值带进去每天的净吸入=2500kcal(每天吸入)1200kcal（每天基础代谢消耗）=1300 kcal。每天的体重变化= kgt= ，当 时取极限。d0t（这就是我们需要的关于函数 的瞬时表达）你可能已经注意到，()在这个表述中有些量是用能量（kcal）表示的，而另一些量是用体重（kg）表示的。在这个框架表述左端的单位（k
26、g/d）右端的单位（kcal/d）不匹配，你应该怎么办呢？这就要用到问题中最后一句话给出的 kcal/ kg 的信息。我们可以利用kg/d=（净 kcal/d）/（10000kcal/ kg） 。所以，代入每一项得到：= 。 （1）dt(2501)6检验其物理单位如下：kg/d= kcal/d-（kcal/ kg）/d） （kg）/( kcal/ kg).在你求解中有几个常熟？一个，即积分常熟。所以，为得到该男人给定义天的体重的数值解答，你需要几个给定的条件？一个，即给出一天开始的体重 t=0, .017现在例 5 的问题完全确定为常规的计算，但是，为了寻求一些问题的解释及其推论，我们继续进行
27、求解过程。容易用分离变量法求得微分议程（1）的解： ,30160dwtln|.1C（物理上，我们一定有吸入 支出，所以可以丢掉绝对值号）160160(3).ttQew（t=0 时给定的初始条件特别容易确定该常数。 ）解出 ,(2)16/0130().6twekg因此，我们已经回答了例 5 提出押问题，但是考虑一个很可能提出的补充问题：该男人会达到一个平衡的体重吗？注意到当 时的结果，由（2）就可以回答这个问题。这人表t示式右端含 的项当 t时趋于零，所以 。不过，我们也1306wkg可以直接从微分议程（1）得到同样的结论。在平衡点处， 不变，所以 。这就直接给出了/0dwt所以，如果我们需要的
28、只是平衡点（平衡体重）的话，我们无需求解该微分议程！我们只要在（1）后面，再写一行就得到解答了。 ”().1306tC36kg18读者也可以换一种法，保留绝对值号并证明，由此呆以得出结论|1306|1306|exp(1/0)wt和 正负号相同，因为该式中的指数因子总是正0的。.本章总结性习题从各种资料（图书，杂志甚至网上的有关文章）中寻找有一定的简化层次上以为数学模型的实际问题，其中 a,b 为实数，可正、可负、可谓零。（*）0,0(0)dxaxbttxx1. 分析其简化假设，模型的合理性，是否可以改进。2. （*）可以有多少种解法？3. 如果 a,b 是 t 的函数怎样求解？证明其解为0 0
29、() ()0() ()t tad adtxtebe 19香烟过滤嘴的作用尽管科学家们对于吸烟的危害提出了许多的无可辩驳的证据，不少国家的政府和有关部门也一直致力于减少或禁止吸烟，但是仍有不少人不愿抛弃对香烟的嗜好。香烟制造既要满足瘾君子的需要，又要顺应减少吸烟危害的潮流，还要获取丰厚的利润，于是普遍地在香烟上安装了过滤嘴。过滤嘴的作用到底有多大，与使用的材料和过滤嘴的长度有什么关系，要从定量的角度回答这些问题就要建立一个描述吸烟过程的数学模型，分析人体吸入的毒物数量与哪些因素有关，以及他们之间的数量表达式。吸烟时毒物吸入人体的大致过程时这样的：毒物基本上均匀的分布在烟草中，吸烟时点燃处的烟草大
30、部分化为烟雾，毒物由烟雾携带着，一部分直接进入空气，另一部分沿香烟穿行。在穿行过程中又部分的被未点燃的烟草和过滤嘴吸收而沉积下来，剩下的进入人体。被烟草吸收而沉积下来的那一部分毒物，当香烟燃烧到哪里20的时候又通过烟草部分进入空气，部分沿香烟穿行，这个过程一直继续到香烟燃烧到过滤嘴处为止。于是我们看到，原来分布在烟草中的毒物除去了进入空气和被过滤嘴吸收的一部分外，剩下的全部被人体吸入。实际的及烟过程非常复杂并且因人而异，点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比例，与吸烟的方式、环境等多种因素有关；烟雾穿过香烟的速度随着吸烟动作的变化而不断地改变；过滤嘴和烟草对毒物的吸收作用也会随烟雾穿行速
31、度的影响而有所变化。如果要考虑类似于上面这些复杂情况，将使我们寸步难行。为了能建立一个初步的模型，可以设想一个机器人在典型的环境下吸烟， “他”吸烟的动作、方式及外部环境在整个过程中不变，于是可以认为毒物随烟进入空气和沿香烟穿行的数量比例、烟雾穿行的速度、过滤嘴和烟草对毒物的吸收率等在吸烟过程中都是常数。模型假设 基于上述分析，这个模型的假设如下。1 烟草和过滤嘴的长度分别是 和 ，香烟总长度 = + ，毒1l2l12l物 M（毫克）均匀分布在烟草中，密度为 0/M2 点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比例是 a:a, a+a=1.3 未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的吸收率（单
32、位时间内毒物被吸收的比例）分别是常数 b 和 4 烟雾沿香烟穿行的速度是常数 v，香烟燃烧速度是常数 u，且v u21将一支烟吸完后毒物进入人体的总量（不考虑从空气的烟雾中吸入的）记作 Q，在建立模型以得到 Q 的数量表达式之前，让我们先根据常识分析一下 Q 应与那些因素有关，采取什么方法可以降低 Q。 首先，提高过滤嘴吸收率 、增加过滤嘴长度 、减少烟草2l中毒物的初始含量 M，显然可以降低吸入毒物量 Q。其次，当毒物随烟雾沿香烟穿行的比例 a 和烟雾速度 v 减小时，预料 Q 也会降低。至于在假设条件中涉及的其他因素，如烟草对毒物的吸收率b、烟草长度 、香烟燃烧速度 u，对 Q 的影响就不
33、容易估计了。1l下面通过建摸对这些定性分析和提出的问题作出定量的验证和回答。模型建立 设 t=0 时在 x=0 处点燃香烟，坐标系如下图所示。吸入毒物量 Q 由毒物穿过香烟的流量确定，后者又与毒物在烟草中的密度有关，为研究这些关系，定义两个基本函数：毒物流量 q(x,t)表示时刻 t 单位时间内通过香烟截面 x 处（0x ）的毒物量。l毒物密度 表示时刻 t 截面 x 处单位长度烟草中的毒物(,)wxt含量（0x ） 。由假设 1, ,， 1l 0(,)w22图 x=0 处点燃的香烟如果知道了流量函数 q(x,t),吸入毒物量 Q 就是 x= 处的流量在吸一l支烟时间内的总和。注意到关于烟草长
34、度和香烟燃烧速度的假设，我们得到（1）0(,)TQqltd1/Tlu下面分四步计算 Q。*1求 t=0 瞬间由烟雾携带的毒物单位时间内通过 x 处的数量q(x,0)。由假设 4 中关于 vu 的假定，可以认为香烟点燃处 x=0 静止不动。为简单起见，记 q(x,0) =q(x) ，考察 (x,x+x) 一段香烟（如图） ，毒物通过 x 和 x+x 处的流量分别是 q(x)和 q(x+x)，根据守恒定律这两个流量之差应该等于这一段未点燃的烟草或过滤嘴对毒物的吸收量，于是由假设 2、4 有1(),()bqxoxlqx xv其中 是香烟穿过 所需时间，令 0 得到微分方程（2）1(),0,bqxld
35、vx23在 x=0 处点燃的烟草单位时间内放出的毒物量记作 ，根据假0H设 1、3、4 可以写出方程（2）的初始条件为（3）00(),qaHuw求解（2） 、 （3）式时先解出 q(x)(0x )，再利用 q(x)在 x= 处1l 1l的连续确定 q(x)( x )，其结果为1ll10xl（4）l*2、在香烟燃烧过程的任意时刻 t，求毒物单位时间内通过的数量xl(,)qlt因为在 t 时刻香烟燃至 x=ut 处，记此时点燃的烟草单位时间放出的毒物量为 H（t）,则H（t）= （5）(,)uwt根据与第 1 步完全相同的分析和计算可得（6） 11() 1()()1,(,),bxutvltxlva
36、teutxlqxtHl实际上在（4）式中将坐标原点平移至 x=ut 处即可得到（6）式。由（5） 、 （6）式能够直接写出（7）12()(,),blutlvqltauwte110()(),bxvllaHeqx24*3、确定 w(ut,t)因为在吸烟过程中未点燃的烟草不断地吸收烟雾中的毒物，所以毒物在烟草中的密度 w(ut,t)由初始值 逐渐增加。考察烟草截0w面 x 处t 时间内毒物密度的增量 w(x,t+t)-w(x,t)，根据守恒定律它应该等于单位长度烟雾中的毒物被吸收的部分，按照假设 2、4有w(x,t+t)-w(x,t)= (,)qxtbv令 并将（5） 、 （6）式代入得0t（8）(
37、)0,(,)bxutvwautetvx方程（8）的解为：(9)( )0 0(,)1(,)(1)butbxabutveev vabutvawxtweut ea 其中 a=1-a（假设 2）*4.计算 Q将（9）代入（7）式得(10)120(,)()blbutabutvvvautwqlee最后将（10）代入（1）式作积分得到(11)211/ 00(,)()lablluvvawQqtdeb为便于下面的分析将上式化作25（12）12abllvveQaM记（13）11,()rablerv则（12）式可写作（14）2()lvQaMer（13） ， （14）式是我们得到的最终结果，表示了吸入毒物量 Q 与等
38、诸因素之间的数量关系。21,aMlvb结果分析1. Q 与烟草的含毒物量 M，毒物随烟雾沿香烟穿行比例 a 成正比*，设想将毒物 M 集中在 x= 处，则吸入量为 aM。l2. 因子 体现了过滤嘴减少毒物进入人体的作用，提高过滤嘴2lve吸收率 和增加长度 能够对 Q 起到负质数衰减的效果，并且2l和 在数量上增加一定比例时起作用相同。降低烟雾穿行速度2lv 也可减少 Q。设想将毒物 M 集中在 X= 处，利用上述建模方法1l不难证明，吸入毒物量为 。2lvae3. 因子 表示的是由于未点燃烟草对毒物的吸收而起到的减少()rQ 的作用。虽然被吸收的毒物还要被点燃，随烟雾沿香烟穿行的部分的进入人
39、体，但是因为烟草中毒物的密度 越来越高，(,)wxt所以按照固定的比例跑到空气中的毒物增多，相应的减少了进入26人体的毒物量。根据实际资料 1，在（13）式 中的 取 Taylor 1ablrv()rre展开的前 3 项可得 ， ，于是（14）式为()r/2(15)21(lvablQMe可知，提高烟草吸收率 b 和增加长度 （毒物量 M 不变）对减少1lQ 的作用是线性的，与 和 是负指数衰减作用相比，效果要小2l得多。4.为了更清楚地了解过滤嘴的作用，不妨比较两支香烟，一只是上述模型讨论的，另一支长度为 ，不带过滤嘴，参数 ，b,a,v 与l 0w第一支香烟相同，并且吸到 x= 处就扔掉。吸
40、第一支香烟和第二1支香烟进入人体的毒物量分别记作 和 ， 当然可由（11）式,Q21,给出，Q 2也不必重新计算，只需把第二支烟设想成吸收率为b（与烟草相同）的假过滤嘴香烟就行了，这样由（11）式可以直接写出 2102 ()blablvvawQee与（11）式给出的 Q1相比，我们得到2()12blve所以只要 就有 Q1 Q2，过滤嘴是起作用的，并且，提高吸收率之差 与加长过滤嘴长度 l2，对于降低比例 Q1/Q2的效果b相同，不过提高需要研制新材料，将更困难一些。27评注 这个模型在基本合理的简化假设下，运用精确的数学工具解决了一个粗看起来不易下手的实际问题，从提出假设，引入两个基本函数 q(x,t)和 w(x,t)，到运用物理学上常用的守恒定律建立微分方程，从而构造出动态模型，最后到对结果的分析，整个过程可以说是用数学建模方法解决实际问题的一个范例.
