1、2015-2016 学年四川省绵阳市高三（上）第一次诊断数学试卷（文科）一、选择题：每小题 5 分，共 50 分在四个选项中只有一项是符合题目要求的1 （5 分）集合 S=3，4，5，T= 4，7，8，则 ST=（ ）A4 B3，5，7，8 C3，4，5，7，8 D3，4，4，5，7，82 （5 分）命题“x 0N，x 02+2x03”的否定为（ ）Ax 0N，x 02+2x03 B xN，x 2+2x3Cx 0N，x 02+2x03 Dx N，x 2+2x33 （5 分）已知幂函数过点（2， ） ，则当 x=8 时的函数值是（ ）A2 B C2 D644 （5 分）若 a，b，c R，且 a
2、bc0，已知 P：a，b，c 成等比数列；Q ：b= ，则 P 是 Q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）下列四个函数中，最小正周期为 ，且关于直线 x= 对称的函数是（ ）Ay=sin（ ） By=sin（ ） Cy=sin （ 2x ） Dy=sin（2x+ ）6 （5 分）在等差数列a n中，若 a4+a9+a14=36，则 2a10a11=（ ）A6 B12 C24 D367 （5 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是 a，b，c，若 c2= ，sinA=2 ，则cosC=（ ）A B C D8 （5 分）若实数 x，
3、y 满足不等式组 ，则 x+y 的最大值为（ ）A1 B2 C3 D49 （5 分）设函数 y=f（x） ，x R 满足 f（x+1）=f（x 1） ，且当 x（1，1时，f（x）=1x 2，函数 g（x）=，则 h（x）=f（x）g（x）在区间 6，9内的零点个数是（ ）A15 B14 C13 D1210 （5 分）直角ABC 的三个顶点都在单位圆 x2+y2=1 上，点 M（ ， ） 则| |最大值是（ ）A B C D二、填空题：每小题 5 分，共 25 分11 （5 分）函数 f（x）= 的定义域为 12 （5 分）求值：tan20+tan40+ tan20tan40= 13 （5 分
4、）已知函数 f（x） = 其中 a0，a1，若对任意的 x1，x 2R，x 1x 2，恒有f（x 1） f（x 2）（x 1x2）0，则实数 a 的取值范围 14 （5 分）已知 a，b 满足 log2alog b=1，则（1+2a） （1+b）的最小值为 15 （5 分）设集合 M 是实数集 R 的一个子集，如果点 x0R 满足：对任意 0，都存在 xM，使得0|xx 0|，称 x0 为集合 M 的一个“聚点”若由集合：有理数集；无理数集；sin |nN*； |nN*其中以 0 为“聚点” 的集合是 （写出所有符合题意的结论序号）三、解答题：共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
5、16 （12 分）已知向量 =（cos ，1sin ） ， =（cos，sin） （R） （1）若 ，求角 的值；（2）若| |= ，求 cos2 的值17 （12 分）已知数列a n的首项 a1=1，且 an+1=2an+1（nN *） （1）证明数列a n+1是等比数列，并求a n的通项公式；（2）记 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Sn18 （12 分）某民营企业家去年为西部山区 80 名贫困大学生捐奖学金共 50 万元，该企业家计划从今年起（今年为第一年）10 年内每年捐资总金额都比上一年增加 10 万元，资助的贫困大学生每年净增 a 人（1）当 a=10 时，在计划时间内，每年
6、的受捐贫困大学生人均获得的奖学金是否超过 0.8 万元？请说明理由（2）为使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过多少人？19 （12 分）已知如图，在 RtABC 中，A=60，AB=6，点 D、E 是斜边 AB 上两点（1）当点 D 是线段 AB 靠近 A 的一个三等点时，求 的值；（2）当点 D、E 在线段 AB 上运动时，且DCE=30 ，设ACD=，试用 表示DCE 的面积 S，并求S 的最小值20 （13 分）已知 f（x）=ax 3+ bx2+cx1 的导函数为 f（x） ，且不等式 f（x）0 的解集为x|2 x1（1）若函数 f（x）在 x=2 处的切线斜率是
7、3，求实数 a 的值；（2）当 x3，0时，关于 x 的方程 f（x） ma+1=0 恰有两个实数根，求实数 m 的取值范围21 （14 分）己知函数 f（x） =lnxax+l，其中 aR（1）求 f（x）的单调区间；（2）当 a=1 时，斜率为 k 的直线 l 与函数 f（x）的图象交于两点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，其中x1x 2，证明： ；（3）是否存在 kZ，使得 f（x）+ax 2k（1 一 ）对任意 xl 恒成立？若存在，请求出 k 的最大值；若不存在，请说明理由2015-2016 学年四川省绵阳市高三（上）第一次诊断数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选
8、择题：每小题 5 分，共 50 分在四个选项中只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2016 春 广元校级月考）集合 S=3，4，5，T= 4，7，8，则 ST=（ ）A4 B3，5，7，8 C3，4，5，7，8 D3，4，4，5，7，8【分析】由已知条件利用并集的定义直接求解【解答】解：集合 S=3，4，5，T= 4，7，8，ST=3，4， 5，7，8故选：C【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要注意并集定义的合理运用2 （5 分） （2015 秋 吉林校级期末）命题“x 0N，x 02+2x03” 的否定为（ ）Ax 0N，x 02+2x03 B xN，x 2+2x3Cx 0N
9、，x 02+2x03 Dx N，x 2+2x3【分析】直接利用特称命题的否定是求出命题写出结果即可【解答】解：因为特称命的否定是全称命题，所以，命题“x 0N，x 02+2x03” 的否定为：xN，x 2+2x3故选：D【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，是基础题3 （5 分） （2015 秋 抚州校级期中）已知幂函数过点（2， ） ，则当 x=8 时的函数值是（ ）A2 B C2 D64【分析】设出幂函数的解析式，用待定系数法求出函数的解析式，再计算对应的函数值【解答】解：设幂函数 y=x，其图象过点（2， ） ，2 = ，解得 = ，函数 y= = ，当 x=8 时，函数
10、 y= =2 故选：A【点评】本题考查了求函数的解析式与利用函数解析式求值的应用问题，是基础题目4 （5 分） （2015 秋 绵阳月考）若 a，b，c R，且 abc 0，已知 P：a，b，c 成等比数列；Q ：b= ，则P 是 Q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】由 P：b 2=ac，即 b= ；Q：b= ，即可判断出结论【解答】解：abc0，P ： a，b，c 成等比数列，可得： b2=ac，于是 ；Q：b= ，可得：QP，反之不成立P 是 Q 的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了等比数列的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力
11、与计算能力，属于中档题5 （5 分） （2015 秋 绵阳月考）下列四个函数中，最小正周期为 ，且关于直线 x= 对称的函数是（ ）Ay=sin（ ） By=sin（ ） Cy=sin （ 2x ） Dy=sin（2x+ ）【分析】由周期求出 ，由函数的图象的对称性求出 的值，可得函数的解析式【解答】解：对于函数 y=sin（ x+） ，由最小正周期为 =，求得 =2，再根据它的图象直线 x= 对称，可得 2（ ）+=k + ，kZ，即 =k+ ，故可取 = ，y=sin（2x+ ） ，故选：D【点评】本题主要考查由函数 y=Asin（x+）的部分图象求解析式，由周期求出 ，由函数的图象的对称
12、性求出 的值，属于基础题6 （5 分） （2015 秋 绵阳月考）在等差数列a n中，若 a4+a9+a14=36，则 2a10a11=（ ）A6 B12 C24 D36【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，a 4+a9+a14=36，3a 1+24d=36，即 a1+8d=12则 2a10a11=2（a 1+9d） （a 1+10d）=a 1+8d=12故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7 （5 分） （2015 秋 绵阳月考）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若c2= ，sinA
13、=2 ，则 cosC=（ ）A B C D【分析】由已知利用正弦定理可得 a=2 b，利用已知可求 c2=5b2，根据余弦定理可得 cosC 的值【解答】解：sinA=2 ，由正弦定理可得：a=2 b，c 2= =b2+ 2 bb=5b2，cosC= = = 故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力，属于基础题8 （5 分） （2015 秋 绵阳月考）若实数 x，y 满足不等式组 ，则 x+y 的最大值为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区
14、域如图：（阴影部分） 由 z=x+y 得 y=x+z，平移直线 y=x+z，由图象可知当直线 y=x+z 经过点 B 时，直线 y=x+z 的截距最大，此时 z 最大由 ，解得 ，即 A（2，1） ，代入目标函数 z=x+y 得 z=2+1=3即目标函数 z=x+y 的最大值为 3故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键9 （5 分） （2015 秋 绵阳月考）设函数 y=f（x） ，xR 满足 f（x+1）=f（x 1） ，且当 x（1，1时，f（x）=1x2，函数 g（x）= ，则 h（x）=f
15、（x）g（x）在区间6，9内的零点个数是（ ）A15 B14 C13 D12【分析】根据函数 y=f（x） （x R）满足 f（x+1）=f（x 1） ，可得函数 y=f（x）是以 2 为周期的周期函数，作出函数 y=f（x）与 y=g（x）的图象在区间6，9内的图象，即可得到结论【解答】解：函数 y=f（x） （x R）满足 f（x+1）=f（x 1） ，即 f（x+2）=f（x） ，函数 y=f（x）是以 2 为周期的周期函数，由 h（x）=f（x）g（x）=0 得 f（x）=g（x） ，当 x（1，1时，f（x）=1 x2，分别作出函数 y=f（x）与 y=g（x）的图象在区间6， 9内
16、的图象，可得共有 14 个交点故选：B【点评】本题考查函数的性质，考查数形结合的数学思想，正确运用函数的性质是关键根据条件求出函数的周期，作出函数的图象是解决本题的关键10 （5 分） （2016 秋 涪城区月考）直角ABC 的三个顶点都在单位圆 x2+y2=1 上，点 M（ ， ） 则|最大值是（ ）A B C D【分析】由题意，| |=| +2 | |+2| |，当且仅当 M，O，A 共线同向时，取等号，即可求出| |的最大值【解答】解：由题意，| |=| +2 | |+2| |，当且仅当 M，O，A 共线同向时，取等号，即| |取得最大值，最大值是 + +1= +1，故选：C【点评】本题
17、考查点与圆的位置关系，考查向量知识的运用，比较基础二、填空题：每小题 5 分，共 25 分11 （5 分） （2012 宁波二模）函数 f（x）= 的定义域为 10，+ 【分析】函数 f（x）= 的定义域为：x| ，由此能够求出结果【解答】解：函数 f（x）= 的定义域为：x| ，解得x|x10故答案为：10，+） 【点评】本题考查对数函数的定义域，是基础题解题时要认真审题，仔细解答12 （5 分） （2011 云南模拟）求值：tan20+tan40 + tan20tan40= 【分析】利用 60=20+40，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值【解答】解：tan60=tan（20 +
18、40）= =tan20+tan40+ tan20tan40故答案为：【点评】本题考查两角和的正切函数公式的应用，考查计算化简能力，观察能力，是基础题13 （5 分） （2015 秋 绵阳月考）已知函数 f（x）= 其中 a0，a 1，若对任意的x1，x 2R，x 1x 2，恒有f（ x1） f（x 2）（x 1x2）0，则实数 a 的取值范围 a 2 【分析】由已知可得函数 f（ x）= 在 R 上为增函数，则 ，解得答案【解答】解：若对任意的 x1，x 2R，x 1x 2，恒有f （x 1） f（x 2）（x 1x2）0，则函数 f（x）= 在 R 上为增函数，则 ，解得：a2，故答案为：a
19、2【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键14 （5 分） （2015 秋 绵阳月考）已知 a，b 满足 log2alog b=1，则（1+2a ） （1+b）的最小值为 9 【分析】由题意可得 a、b 为正数且 b= ，代入化简可得原式=5+ +2a，由基本不等式可得【解答】解：由题意可得 a、b 为正数且 1=log2alog b=log2a+log2b=log2ab，ab=2，b= ，（1+2a） （1+b）=（1+2a） （1+ ）=1+ +2a+4=5+ +2a5+2 =9当且仅当 =2a 即 a=1 且 b2 时取等号故答案为：9【点评】本题
20、考查基本不等式求最值，涉及对数的运算，属基础题15 （5 分） （2015 秋 绵阳月考）设集合 M 是实数集 R 的一个子集，如果点 x0R 满足：对任意 0，都存在 xM，使得 0|x x0| ，称 x0 为集合 M 的一个“聚点”若由集合：有理数集；无理数集；sin |nN*； |nN*其中以 0 为“聚点” 的集合是 （写出所有符合题意的结论序号）【分析】根据聚点的定义分别进行判断即可【解答】解：定义x为不大于 x 的最大整数，则对任意 0， +2，则 ，取有理数 x= 即可得，0| 0|，故 0 为有理数集的“聚点”；对任意的 0，都存在 x= ，使得 0|x|0 是无理数集的聚点；
21、sinx x，x（0，1） ，对任意 0，0|sin|，0 为集合sin |nN*的“聚点”； ，0 不是集合 |nN*的“聚点”，故答案为：【点评】本题考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解集合的聚点的含义，是解答本题的关键三、解答题：共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16 （12 分） （2015 秋 舟山校级期中）已知向量 =（cos ，1 sin） ， =（cos，sin） （ R） （1）若 ，求角 的值；（2）若| |= ，求 cos2 的值【分析】 （1）由 ，可得 =0，解得即可得出；（2）由于 （2cos，12sin） ，可得| |= = ，化简再利用倍角
22、公式即可得出【解答】解：（1） ， =cos2+（1 sin）sin =sin1=0，解得 sin=1= ， （kZ） （2） （ 2cos，12sin ） ，| |= = = ，sin cos2=1 2sin2=1 = 【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、倍角公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17 （12 分） （2015 秋 绵阳月考）已知数列a n的首项 a1=1，且 an+1=2an+1（nN *） （1）证明数列a n+1是等比数列，并求a n的通项公式；（2）记 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Sn【分析】 （1）由已知
23、得 an+1+1=2（a n+1） ，a 1+1=2，由此能证明数列a n+1是以 2 为公比，以其昏昏为首项的等比数列，并能求出a n的通项公式（2）由 ，利用错位相减法能求出数列b n的前 n 项和【解答】证明：（1）数列a n的首项 a1=1，且 an+1=2an+1（nN *） ，a n+1+1=2（a n+1） ，a 1+1=2，数列a n+1是以 2 为公比，以 2 为首项的等比数列， ， 解：（2） ，数列b n的前 n 项和：Sn= ，得： = = =1 ，S n=2 【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式及前 n 项和的求法，是中档题，注意错位相减法的合理运用18 （12 分） （2015 秋 绵阳月考）某民营企业家去年为西部山区 80 名贫困大学生捐奖学金共 50 万元，该企业家计划从今年起（今年为第一年）10 年内每年捐资总金额都比上一年增加 10 万元，资助的贫困大学生每年净增 a 人（1）当 a=10 时，在计划时间内，每年的受捐贫困大学生人均获得的奖学金是否超过 0.8 万元？请说明理由（2）为使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过多少人？
