1、2015-2016 学年四川省乐山市高三（上）第一次调考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 M=3，2， 1，0，1，2，N=x R|（x1） （x+2）0，则 MN=（ ）A3， 2 B 1，0，1C3，2， 1，0，1，2 D2 （5 分）sin50cos10+sin140cos80= （ ）A B C D3 （5 分）下列选项中叙述错误的是（ ）A命题“若 x=0，则 x2x=0”的逆否命题为真命题B若命题 P： nN，n 22 n，则P：nN，n 22 nC若“pq”为假
2、命题，则“pq”为真命题D命题“若 m2+n2=0，则 m=0 且 n=0”的否命题是“ 若 m2+n20，则 m0 或 n=0”4 （5 分）已知数列a n是递增的等比数例，a 1+a4=9，a 2a3=8，S n 为数列a n的前 n 项和，则 S4=（ ）A15 B16 C18 D315 （5 分）已知平面向量 与 相互垂直， =（1，1）| |=1，则| +2 |=（ ）A B C2 D6 （5 分）如图是函数 y=Asin（x+） （x R，A 0，0，0 ）在区间 上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将 y=sinx（x R）的图象上的所有的点（ ）A向左平移 个长度单位，再把所
3、得各点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变B向左平移 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变C向左平移 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变D向左平移 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变7 （5 分）某实验室至少需要某种化学药品 10kg，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3kg，价格为 12 元；另一种是每袋 2kg，价格为 10 元但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过 5 袋，则在满足需要的条件下，花费最少（ ）A56 B42 C44 D548 （5 分）已知四棱锥 SABCD 的底面是边长为 2
4、的正方形，SD平面 ABCD，且 SD=AB，则四棱锥SABCD 的外接球的表面积为（ ）A144 B64 C12 D89 （5 分）已知函数 f（x）=x 2+cosx，对于 上的任意 x1，x 2，有如下条件：x1x 2；x 1x 2；|x 1|x 2；x 12x 22其中能使 f（x 1）f （x 2）恒成立的序号是（ ）A B C D10 （5 分）已知函数 f（x） =|3x1|，a ，若函数 u（x）=f（x） a 有两个不同的零点x1、x 2（x 1x 2） ，（x）=f（x） 有两个不同的零点 x3、x 4（x 3x 4） ，则（x 4x3）+（x 2x1）的最小值为（ ）A2
5、 B1 C D二、填空题：本大题共 5 小题；每小题 5 分，共 25 分，把答案填在题中横线上11 （5 分）若复数 z=i（i3i1） （i 是虚数单位） ，则| |= 12 （5 分）函数 f（x）= sin（ x+ ） （0， ）xR 的部分图象如图所示，设 M，N 是图象上的最高点，P 是图象上的最低点，若PMN 为等腰直角三角形，则 = 13 （5 分）已知函数 f（x） = ，则 f（1 +log23）的值为 14 （5 分）若数列a n中，a 1=1，a n+an1=3（n2） ，S n 为数列a n的前 n 项和，则 S2015= 15 （5 分）在实数集 R 中，我们定义的
6、大小关系 “”为全体实数排了一个 “序”，类似的，我们在平面向量集 D= | =（ x，y） ，xR， yR上也可以定义一个称为“序” 的关系，记为“”定义如下：对于任意两个向量 =（x 1，y 1） ， =（x 2，y 2） ， 当且仅当“ x1x 2”或“x 1=x2 且 y1y 2”按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：若 =（1， 0） ， =（0，1） ， =（0，0） ，则 ；若 ， ，则 ；若 ，则对于任意 D， （ + ）（ + ） ；对于任意向量 ， =（0，0）若 ，则 其中真命题的序号为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步
7、骤.16 （12 分）ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b、c，且 bsinA= （1）求角 B 的大小；（2）若 b=3，a+c=6，求ABC 的面积17 （12 分）如图，在矩形 ABCD 中， ，沿对角线 BD 将三角形 ABD 向上折起，使点 A移至点 P，且点 P 在平面 BCD 上的射影 O 在 DC 上，（1）求证：BCPD；（2）若 M 为 PC 的中点，求二面角 BDMC 的大小18 （12 分）设函数 f（x）=a x（k1）a x（a0 且 a1）是定义域为 R 的奇函数（）求 k 的值；（）若 f（1）= ，且 g（x）=a 2x+a2x2mf（x）在1
8、，+）上的最小值为2，求 m 的值19 （12 分）某造船公司年造船量是 20 艘，已知造船 x 艘的产值函数为 R（x）=3 700x+45x 210x3（单位：万元） ，成本函数为 C（x）=460x+5 000（单位：万元） ，又在经济学中，函数 f（x）的边际函数 Mf（x）定义为 Mf（x）=f（x+1）f（x） （1）求利润函数 P（x）及边际利润函数 MP（x） ；（提示：利润=产值 成本）（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数 MP（x）的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？20 （13 分）等比数列c n满足 cn+1+
9、cn=104n1，nN，数列a n满足 cn= （1）求数列a n的通项公式；（2）数列b n满足 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Tn；（3）是否存在正整数 m，n（ 1m n） ，使得 T1，T m，T n 成等比数列？若存在，求出所有 m，n 的值；若不存在，请说明理由21 （14 分）已知函数 f（x） =x3ax2+2（aR） ，f（x）为 f（x）的导函数（）求函数 f（x）的单调递减区间；（）若对一切的实数 x，有 f（x）|x| 成立，求 a 的取值范围；（）当 a=0 时，在曲线 y=f（x）上是否存在两点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） （x 1x 2）
10、 ，使得曲线在A，B 两点处的切线均与直线 x=2 交于同一点？若存在，求出交点纵坐标的最大值；若不存在，请说明理由2015-2016 学年四川省乐山市高三（上）第一次调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2015 秋 乐山月考）已知集合 M=3， 2，1，0，1，2，N=xR |（x1） （x+2）0，则MN=（ ）A3， 2 B 1，0，1C3，2， 1，0，1，2 D【分析】求出 N 中不等式的解集确定出 N，找出 M 与 N 的交集即可【解答】解：由 N 中
11、不等式解得： x2 或 x1，即 N=x|x2 或 x1，M=3，2， 1，0，1，2，M N=3，2，故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分） （2015 秋 乐山月考）sin50 cos10+sin140cos80=（ ）A B C D【分析】利用诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算求值得解【解答】解：sin50cos10+sin140cos80=sin50cos10 +cos50sin10=sin（50 +10）=sin60= 故选：B【点评】本题主要考查了诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简
12、求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题3 （5 分） （2015 秋 乐山月考）下列选项中叙述错误的是（ ）A命题“若 x=0，则 x2x=0”的逆否命题为真命题B若命题 P： nN，n 22 n，则P：nN，n 22 nC若“pq”为假命题，则“pq”为真命题D命题“若 m2+n2=0，则 m=0 且 n=0”的否命题是“ 若 m2+n20，则 m0 或 n=0”【分析】判断原命题的真假，结合互为逆否的两个命题真假性相同，可判断 A；写出原命题的否定，可判断 B；根据复合命题真假判断的真值表，可判断 C；写出原命题的否命题，可判断 D【解答】解：命题“若 x=0，则 x2x=0”为真命题，
13、故其逆否命题为真命题，即 A 正确；若命题 P：nN，n 22 n，则 P： nN，n 22 n，即 B 正确；若“p q ”为假命题，则 “pq”真假性不能确定，即 C 错误；命题“ 若 m2+n2=0，则 m=0 且 n=0”的否命题是“若 m2+n20，则 m0 或 n=0”，即 D 正确；故选：C【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，命题的否定，复合命题等知识点，难度中档4 （5 分） （2015 秋 乐山月考）已知数列a n是递增的等比数例，a 1+a4=9，a 2a3=8，S n 为数列a n的前 n项和，则 S4=（ ）A15 B16 C18 D31【分析】由
14、已知得 a1，a 4 是方程 x29x+8=0 的两个根，且 a1a 4，解方得 a1=1，a 4=8，由此能求出 S4【解答】解：数列a n是递增的等比数例，a 1+a4=9，a 2a3=8，a 1a4=a2a3=8，a 1，a 4 是方程 x29x+8=0 的两个根，且 a1a 4，解方程 x29x+8=0，得 a1=1，a 4=8，a 4=1q3=8，解得 q=2，S 4= =15故选：A【点评】本题考查等差数列的前 n 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用5 （5 分） （2015 秋 乐山月考）已知平面向量 与 相互垂直， =（1，1）| |=1，则|
15、 +2 |=（ ）A B C2 D【分析】由已知可得 ，并求得 ，再由| +2 |= ，展开后得答案【解答】解： ， ，又 =（ 1，1） ， ，又| |=1，| +2 |= = 故选：D【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量垂直与数量积间的关系，是中档题6 （5 分） （2016 春 西安校级期末）如图是函数 y=Asin（x+） （xR ，A 0，0，0 ）在区间 上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将 y=sinx（x R）的图象上的所有的点（ ）A向左平移 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变B向左平移 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍
16、，纵坐标不变C向左平移 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变D向左平移 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变【分析】由图可知 A=1，T=，从而可求得 ，再由 +=0 可求得 ，利用函数 y=Asin（x+）的图象变换即可求得答案【解答】解：由图可知 A=1，T=，=2 ，又 +=2k（kZ） ，=2k + （kZ） ，又 0 ，= ，y=sin（2x+ ） 为了得到这个函数的图象，只需将 y=sinx（x R）的图象上的所有向左平移 个长度单位，得到y=sin（x+ ）的图象，再将 y=sin（x+ ）的图象上各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变
17、）即可故选：A【点评】本题考查由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查函数 y=Asin（x+ ）的图象变换，属于中档题7 （5 分） （2016 春 陕西校级月考）某实验室至少需要某种化学药品 10kg，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋 3kg，价格为 12 元；另一种是每袋 2kg，价格为 10 元但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过 5 袋，则在满足需要的条件下，花费最少（ ）A56 B42 C44 D54【分析】设价格为 12 元的 x 袋，价格为 10 元 y 袋，花费为 Z 百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即 x，y 满足的约束条
18、件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资，可使花费最少，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数 Z 与直线截距的关系，进而求出最优解【解答】解：设价格为 12 元的 x 袋，价格为 10 元 y 袋，花费为 Z 百万元，则约束条件为： ，目标函数为 z=12x+10y，作出可行域，使目标函数为 z=12x+10y 取最小值的点（x，y）是 A（2 ，2） ，此时 z=44，答：应价格为 12 元的 2 袋，价格为 10 元 2 袋，花费最少为 44 元故选：C【点评】本题考查线性规划的应用，在解决线性规划的应用题
19、时，其步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件由约束条件画出可行域分析目标函数 Z 与直线截距之间的关系使用平移直线法求出最优解还原到现实问题中8 （5 分） （2015 秋 乐山月考）已知四棱锥 SABCD 的底面是边长为 2 的正方形，SD 平面 ABCD，且SD=AB，则四棱锥 SABCD 的外接球的表面积为（ ）A144 B64 C12 D8【分析】由题意，将四棱锥 SABCD 扩充为正方体，体对角线长为 2 ，可得四棱锥外接球的直径、半径，即可求出四棱锥外接球的表面积【解答】解：由题意，将四棱锥 SABCD 扩充为正方体，体对角线长为 2 ，四棱锥外接球的直径为 2
20、，半径为 ，四棱锥外接球的表面积为 4（ ） 2=12故选 C【点评】本题考查四棱锥外接球的表面积，求出四棱锥外接球的直径是关键9 （5 分） （2015 秋 乐山月考）已知函数 f（x）=x 2+cosx，对于 上的任意 x1，x 2，有如下条件：x 1x 2；x 1x 2； |x1|x 2；x 12x 22其中能使 f（x 1）f （x 2）恒成立的序号是（ ）A B C D【分析】利用导数可以判定其单调性，再判断出奇偶性，即可判断出结论【解答】解：f（x）=2x sinx，f （x）=2 cosx0，f（x）在 上递增，f （ ）0，f （ ）0，当 x=0 时，f（0）=0；当 x ，
21、0）时，f（x） 0，函数 f（x）在此区间上单调递减；当 x（0， 时，f（x）0，函数 f（x）在此区间上单调递增函数 f（x）在 x=0 时取得最小值，f（0）=0+1=1，x ， ，都有 f（x）=f（x） ，f（x）是偶函数，根据以上结论可得：当 x1x 2 时，则 f（x 1）f（x 2）不成立；当 x1x 2|时，则 f（x 1）f（x 2）不成立；当|x 1|x 2 时，则 f（x 1）=f（|x 1|）f（x 2）不恒成立；当 x12x 22 时，得|x 1|x 2|，则 f（|x 1|）f（|x 2|） f（x 1）f（x 2）恒成立；综上可知：能使 f（x 1）f（x 2
22、）恒成立的有故选：D【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、判定函数的奇偶性等是解题的关键10 （5 分） （2015 秋 乐山月考）已知函数 f（x）=|3 x1|，a ，若函数 u（x）=f（x）a 有两个不同的零点 x1、x 2（x 1x 2） ，（x）=f（x） 有两个不同的零点 x3、x 4（x 3x 4） ，则（x 4x3）+（x 2x1）的最小值为（ ）A2 B1 C D【分析】分别求出 x1，x 2，x 3，x 4，结合对数的运算性质和对数函数的图象和性质，可得 x2x1+x4x3 的最小值【解答】解：u（x）=|3 x1|a=0，3 x=1a，x 1x 2，x 1=log3
23、（1a） ，x 2=log3（1+a） ，（x）=|3x1| =0，3 x=1 ，x 3x 4，x 3=log3（1 ） ，x 4=log3（1+ ） ，x 2x1+x4x3=log3 =log3 =log3（ 3） ，y=log 3（ 3）在 a ，1）上单调递增，所以当 a= 时，x 2x1+x4x3 的最小值为 1，故选：B【点评】本题考查的知识点是函数零点，指数方程和对数方程的解法，对数的运算性质和对数函数的图象和性质，难度中档二、填空题：本大题共 5 小题；每小题 5 分，共 25 分，把答案填在题中横线上11 （5 分） （2015 秋 乐山月考）若复数 z=i（i 3i1） （i
24、 是虚数单位） ，则| |= 【分析】直接由复数求模公式计算得答案【解答】解：z=i（i3i 1）=2i 2i=2i，则| |= 故答案为： 【点评】本题考查了复数求模，是基础题12 （5 分） （2015 秋 乐山月考）函数 f（x）= sin（ x+ ） （0， ）xR 的部分图象如图所示，设M，N 是图象上的最高点，P 是图象上的最低点，若PMN 为等腰直角三角形，则 = 【分析】取 MN 的中点为 Q，连 PQ，则 MQP 为等腰直角三角形，根据 MQ=QP=1= = ，求得 得知【解答】解：函数 f（x）= sin（ x+ ） （0， ）xR 的部分图象如图所示，设 M，N 是图象上
25、的最高点，P 是图象上的最低点，若PMN 为等腰直角三角形，取 MN 的中点为 Q，连 PQ，则 MQP 为等腰直角三角形MQ=QP=1= = ，=，故答案为：【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质，正弦函数的图象，属于基础题13 （5 分） （2015 秋 乐山月考）已知函数 f（x）= ，则 f（1+log 23）的值为 【分析】利用分段函数以及函数的关系式，求解函数值即可【解答】解：函数 f（x）= ，1+log 233，2+log 233则 f（1+log 23）=f（2+log 23）= = = 故答案为： 【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力14 （5 分）
26、 （2015 秋 乐山月考）若数列a n中，a 1=1，a n+an1=3（n2） ，S n 为数列a n的前 n 项和，则S2015= 3022 【分析】a 1=1，a n+an1=3（n2） ，可得 S2015=a1+（a 2+a3）+（a 4+a5）+（a 2014+a2015） ，即可得出【解答】解：a 1=1，a n+an1=3（n2） ，则 S2015=a1+（a 2+a3）+（a 4+a5）+（a 2014+a2015）=1+31007=3022，故答案为：3022【点评】本题考查了数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15 （5 分） （2015 漳州模拟）在实
27、数集 R 中，我们定义的大小关系“” 为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集 D= | =（x，y） ，x R，yR上也可以定义一个称为“序” 的关系，记为“”定义如下：对于任意两个向量 =（x 1，y 1） ， =（x 2，y 2） ， 当且仅当“ x1x 2”或“x 1=x2 且 y1y 2”按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：若 =（1， 0） ， =（0，1） ， =（0，0） ，则 ；若 ， ，则 ；若 ，则对于任意 D， （ + ）（ + ） ；对于任意向量 ， =（0，0）若 ，则 其中真命题的序号为 【分析】根据已知条件中， 当且仅当“x 1x 2”或“ x1=x2 且 y1y 2”按上述定义的关系“”，判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：对于任意两个向量 =（x 1，y 1） ， =（x 2，y 2） ， 当且仅当“ x1x 2”或“x 1=x2 且 y1y 2”，
