1、2015-2016 学年黑龙江省大庆市四校高三（上）12 月联考数学试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知集合 ，集合 N=x|2x1|3，则 MN=（ ）Ax|1x2 Bx|1 x2 Cx|x2 或 x 1 Dx|1x12 （5 分）已知复数 z1=12i，则 的虚部是（ ）Ai Bi C1 D13 （5 分）设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，已知 a2=3，S 11=121，则 S7 等于（ ）A13 B35 C49 D634 （5 分）设 x，yR，a1，b1，若 ax=by=3，a+b=2 的最大值为（ ）A2 B C1 D5
2、 （5 分）由曲线 y=x2，y=x 3 围成的封闭图形面积为（ ）A B C D6 （5 分）设数列a n中，a 1=2，a n+1=2an+3，则通项 an 可能是（ ）A53n B3 2n11 C53n 2 D52 n137 （5 分）已知 为锐角，则 +2 的值是（ ）A B C D8 （5 分）在直角三角形 ABC 中，角 C 为直角，且 AC=BC=2，点 P 是斜边上的一个三等分点，则=（ ）A0 B4 C D9 （5 分）为了得到函数 y=sin（2x ）的图象，可以将函数 y=cos2x 的图象（ ）A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向左
3、平移 个单位长度10 （5 分）函数 f（x）=log a（ax3）在1，3上单调递增，则 a 的取值范围是（ ）A （1，+） B （0，1） C （0， ） D （3，+ ）11 （5 分）已知非零向量 与 满足 且 = 则ABC 为（ ）A等边三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形12 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足：f（x）+f （x）1，f（0）=4，则不等式 exf（x）e x+3（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A （0，+） B （ ，0） （3，+） C （ ，0） （0，+） D （3，+）二、填空题（共 4 小题，每小题 5
4、 分，满分 20 分）13 （5 分）若等比数列a n的首项为 ，且 a4= （1+2x）dx，则公比 q 等于 14 （5 分）已知不等式 2 对任意 xR 恒成立，则 k 的取值范围为 15 （5 分）已知函数 f（x） =x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值为 10，则 f（2）等于 16 （5 分）已知函数 y=f（x）和 y=g（x）在2，2的图象如，给出下列四个命题：（1）方程 fg（x）=0 有且仅有 6 个根（2）方程 gf（x）=0 有且仅有 3 个根（3）方程 ff（x）=0 有且仅有 5 个根 （4）方程 gg（x）=0 有且仅有 4 个根其中正确命题是 三、解
5、答题（共 6 小题，满分 70 分）17 （10 分）已知命题 a2x2+ax2=0 在1，1上有解；命题 q：只有一个实数 x 满足不等式 x2+2ax+2a0，若命题“p” 或“q”是假命题，求 a 的取值范围18 （12 分）已知点 A，B，C 的坐标分别为 A（3，0） ，B（0，3） ，C （cos ，sin） ，（ ） （1）若 = ，求角 的值；（2）若 =1，求 的值19 （12 分）数列a n满足 an+1an=2，a 1=2，等比数列b n满足 b1=a1，b 4=a8（）求数列a n，b n的通项公式；（）设 cn=anbn，求数列c n的前 n 项和 Tn20 （12
6、分）设函数 f（x）= ，其中 =（2cosx，1） ， =（cosx ， sin2x） ，xR（1）求 f（x）的最小正周期与单调减区间；（2）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 f（A）=2求 A；若 b=1， ABC 的面积为 ，求 的值21 （12 分）设函数 f（x）=ax 2+bx+k（k0）在 x=0 处取得极值，且曲线 y=f（x）在点（1，f （1） ）处的切线垂直于直线 x+2y+1=0（）求 a，b 的值；（）若函数 ，讨论 g（x）的单调性22 （12 分）已知函数 f（x） =alnx+x2（a 为实数） （）求函数 f（x）在区间 1，e上的
7、最小值及相应的 x 值；（）若存在 x1，e ，使得 f（x）（a +2）x 成立，求实数 a 的取值范围2015-2016 学年黑龙江省大庆市四校高三（上）12 月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分） （2010 东宝区校级模拟）已知集合 ，集合 N=x|2x1|3，则 MN=（ ）Ax|1x2 Bx|1 x2 Cx|x2 或 x 1 Dx|1x1【分析】解分式不等式化简集合 M，解绝对值不等式化简集合 N，借助数轴求出交集【解答】解： =x| =x|x1N=x|2x1|3=x|1x2故 MN=x|1x2故选项为 B
8、【点评】本题考查利用数轴求两个数集的交集；考查分式、绝对值不等式的解法2 （5 分） （2012 安徽模拟）已知复数 z1=12i，则 的虚部是（ ）Ai Bi C1 D1【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质化简 ，依据复数的虚部的定义求出其虚部【解答】解：复数 z1=12i，则 = = = =1+i，虚部等于 1，故选 C【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数复数的徐不得定义3 （5 分） （2015 广安模拟）设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，已知 a2=3，S 11=121，
9、则 S7 等于（ ）A13 B35 C49 D63【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组代入求和公式计算可得【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，则 ，解得 ，S 7=7a1+ d=49，故选：C【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题4 （5 分） （2009 天津）设 x，yR，a1，b1，若 ax=by=3，a+b=2 的最大值为（ ）A2 B C1 D【分析】将 x，y 用 a，b 表示，用基本不等式求最值【解答】解：a x=by=3，x=log a3= ，y=log b3= ，当且仅当 a=b 时取等号故选项为 C【点评】本试题考
10、查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力5 （5 分） （2010 山东）由曲线 y=x2，y=x 3 围成的封闭图形面积为（ ）A B C D【分析】要求曲线 y=x2，y=x 3 围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求 01（x 2x3）dx 即可【解答】解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1） ， （0，0）故积分区间是0，1所求封闭图形的面积为 01（x 2x3）dx ，故选 A【点评】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积6 （5 分） （2011 秋 红岗区校级期中）设数列a n中，a 1=2，a n+1=2an+3，则通项
11、 an 可能是（ ）A53n B3 2n11 C53n 2 D52 n13【分析】由已知可得，a n+1+3=2（a n+3） ，数列a n+3是以 5 为首项，以 2 为公比的等比数列，结合等比数列的 通项可求 an+1，进而可求 an【解答】解：a 1=2，a n+1=2an+3，a n+1+3=2（a n+3） ，数列a n+3是以 5 为首项，以 2 为公比的等比数列，故选 D【点评】本题主要考查了利用数列的通项公式，解题的关键是构造等比数列a n+37 （5 分） （2015 秋 大庆月考）已知 为锐角，则 +2 的值是（ ）A B C D【分析】根据 tan 和 tan 的值都小于
12、 1 且 ， 均为锐角，得到 和 度数都为大于 0 小于 进而求出+2 的范围，然后利用二倍角的正切函数公式由 tan 的值求出 tan2 的值，利用两角和的正切函数公式表示出 tan（+2） ，将各自的值代入即可求出值，根据求出的 +2 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出 +2 的值【解答】解：tan= 1， tan= 1，且 、 均为锐角，0 ，0 0+2 又 tan2= = ，tan（+2）= =1+2= 故选：A【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正切函数公式及两角和的正切函数公式化简求值，是一道基础题求出 +2 的范围是本题的关键8 （5 分） （2016 秋 镜湖区校级期中）在
13、直角三角形 ABC 中，角 C 为直角，且 AC=BC=2，点 P 是斜边上的一个三等分点，则 =（ ）A0 B4 C D【分析】由题意，将所求等式变形，用直角三角形的两条直角边对应的向量表示，展开计算即可【解答】解：直角三角形 ABC 中，角 C 为直角，且 AC=BC=2，点 P 是斜边上的一个三等分点，则 =（ ） （ ）=（ ） （ ）=（ ） ）= =4；故选 B【点评】本题考查了平面向量的运算；关键是将所求利用直角三角形的两条直角边向量表示，然后进行向量的运算9 （5 分） （2007 山东）为了得到函数 y=sin（2x ）的图象，可以将函数 y=cos2x 的图象（ ）A向右平
14、移 个单位长度 B向右平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度【分析】先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数 y=sin（2x ）到 y=cos2x的路线，确定选项【解答】解：y=sin（2x ）=cos （2x ）=cos （ 2x）=cos（2x ）=cos2（x ），将函数 y=cos2x 的图象向右平移 个单位长度故选 B【点评】本题主要考查三角函数的平移三角函数的平移原则为左加右减上加下减注意变换顺序10 （5 分） （2015 秋 大庆月考）函数 f（x）=log a（ax3）在1，3上单调递增，则 a 的取值范围是（ ）A （1，+）
15、B （0，1） C （0， ） D （3，+ ）【分析】由题意可得可得 a1，且 a30，由此求得 a 的范围【解答】解：函数 f（x）=log a（ax3）在1，3上单调递增，而函数 t=ax3 在1，3上单调递增，根据复合函数的单调性可得 a1，且 a30，求得 a3，故选：D【点评】本题主要考查对数函数的定义域、单调性，复合函数的单调性，属于基础题11 （5 分） （2014 黄冈模拟）已知非零向量 与 满足 且 = 则ABC 为（ ）A等边三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形【分析】通过向量的数量积为 0，判断三角形是等腰三角形，通过 = 求出等腰三角形的顶角
16、，然后判断三角形的形状【解答】解：因为 ，所以BAC 的平分线与 BC 垂直，三角形是等腰三角形又因为 ，所以BAC=60，所以三角形是正三角形故选 A【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力12 （5 分） （2016 兴安盟一模）定义在 R 上的函数 f（x）满足：f（x）+f （x）1，f （0）=4 ，则不等式exf（x） ex+3（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A （0，+） B （ ，0） （3，+） C （ ，0） （0，+） D （3，+）【分析】构造函数 g（x）=e xf（x）e x， （xR） ，研究 g（x）的单
17、调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设 g（x）=e xf（ x）e x， （xR） ，则 g（x）=e xf（x）+e xf（x）e x=exf（x）+f（x）1，f（x）+f （x ）1，f（x）+f （x ） 10，g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递增，e xf（ x）e x+3，g（x）3，又g（0）e 0f（0） e0=41=3，g（x）g（0） ，x0故选：A【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分） （2015 漳州模拟）若等
18、比数列a n的首项为 ，且 a4= （1+2x）dx，则公比 q 等于 3 【分析】先计算定积分得到 a4，因为等比数列的首项为 ，然后根据等比数列的通项公式列出关于 q 的方程，求出即可【解答】解：由已知得：a 4=14（1+2x）dx=x+x 2|14=18又因为等比数列的首项为 ，设公比为 q 根据等比数列的通项公式 an=a1qn1，令 n=4 得：a 4= q3=18，解得 q3= =27，所以 q=3故答案为 3【点评】本题考查定积分运算及等比数列基本量的求解14 （5 分） （2015 秋 大庆月考）已知不等式 2 对任意 xR 恒成立，则 k 的取值范围为 2，10） 【分析】
19、将不等式 2 转化为（k2）x 2+（k 2）x+20分 k=2 和 k2 两种情况讨论，对于后者利用一元二次不等式的性质可知 ，解不等式组即可确定 k 的取值范围【解答】解：x 2+x+20，不等式 2 可转化为：kx2+kx+62（x 2+x+2） 即（k2 ）x 2+（ k2）x+20当 k=2 时，不等式恒成立当 k2 时，不等式（k2）x 2+（k 2）x+20 恒成立，等价于 ，解得 2k10，实数 k 的取值范围是2，10） ，故答案为：2，10） 【点评】本题考查分情况讨论的数学思想以及一元二次不等式性质的应用，属于中档题15 （5 分） （2015 春 蒙城县校级期末）已知函
20、数 f（x）=x 3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值为 10，则 f（2）等于 18 【分析】对函数 f（=x）求导的导函数，利用导函数与极值的关系进行求解【解答】解：f（x）=3x 2+2ax+b， 或当 时，f（x）=3（x1） 20，在 x=1 处不存在极值；当 时，f（x）=3x 2+8x11=（3x+11） （x1）x（ ，1） ，f（x）0，x （1，+） ，f （x）0，适合f（2）=8 +1622+16=18故答案为 18【点评】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，即在该点处导函数值为 016 （5 分） （2012 浙江模拟）已知函数 y=f（x）和 y=g（x
21、）在2，2的图象如，给出下列四个命题：（1）方程 fg（x）=0 有且仅有 6 个根（2）方程 gf（x）=0 有且仅有 3 个根（3）方程 ff（x）=0 有且仅有 5 个根 （4）方程 gg（x）=0 有且仅有 4 个根其中正确命题是 （1） （3） （4） 【分析】把复合函数的定义域和值域进行对接，看满足外层函数为零时内层函数有几个自变量与之相对应【解答】解：在 y 为2， 1时，g（x）有两个自变量满足，在 y=0，y 为1，2时，g（x）同样都是两个自变量满足（1）正确f（x）值域在1，2上都是一一对应，而在值域0，1上都对应 3 个原像，（2）错误同理可知（3） （4）正确故答案为：（1） （3） （4） 【点评】本题考查了复合函数的对应问题，做题时注意外层函数的定义域和内层函数值域的对接比较三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17 （10 分） （2013 西湖区校级模拟）已知命题 a2x2+ax2=0 在1，1上有解；命题 q：只有一个实数 x 满足不等式 x2+2ax+2a0，若命题“p”或“q”是假命题，求 a 的取值范围
