1、2015-2016 学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高三（上）第三次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）若集合 A=x|x0，且 BA，则集合 B 可能是（ ）A1，2 Bx|x1 C 1，0，1 DR2 （5 分）已知向量 =（2，m ） ， =（1，m） ，若 2 与 垂直，则| |=（ ）A1 B2 C3 D43 （5 分）复数 的虚部是（ ）A B C D14 （5 分）如图是 2010 年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中 m为数字 09 中
2、的 一个） ，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为 a1，a 2，则一定有（ ）Aa 1a 2 Ba 2a 1Ca 1=a2 Da 1，a 2 的大小与 m 的值有关5 （5 分）若抛物线 y2=2px 的焦点与双曲线 =1 的右焦点重合，则 p 的值为（ ）A2 B2 C 4 D46 （5 分）设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为 2，2 ，4，则其外接球的表面积为（ ）A48 B32 C20 D127 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 3+a8=13，且 S7=35则 a7=（ ）A11 B10 C9 D88 （5 分）将函数 y=c
3、os2x 的图象先向左平移 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（ ）Ay= sin2x By= cos2x Cy=2sin 2x Dy= 2cos2x9 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 k 的值为（ ）A4 B5 C6 D710 （5 分）设 a 是函数 x 的零点，若 x0a，则 f（x 0）的值满足（ ）Af（x 0）=0 Bf（x 0）0Cf（x 0）0 Df（x 0）的符号不确定11 （5 分）某几何体的三视图如图所示，当 xy 最大时，该几何体的体积为（ ）A2 B3 C4 D612 （5 分）已知方程 在（0，+）有两个不同的解 ，（ ）
4、 ，则下面结论正确的是（ ）A BC D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13 （5 分）已知实数对（x，y）满足 ，则 2x+y 的最小值是 14 （5 分）等比数列a n中，a 1+a2=20，a 3+a4=40，则 a5+a6 等于 15 （5 分）函数 f（x）=x 33x1，若对于区间3，2上的任意 x1，x 2，都有|f （x 1） f（x 2）|t，则实数t 的最小值是 16 （5 分）已知 F1，F 2 是双曲线 C： （a 0，b0）的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A，B 两点
5、若|AB|：|BF 2|：|AF 2|=3：4：5，则双曲线的离心率为 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （12 分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数 X 依次为 1，2，3，4，5现从一批该日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X 1 2 3 4 5f a 0.2 0.45 b c（）若所抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，等级系数为 5 的恰有 2 件，求 a、b、c 的值；（）在（）的条件下，将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1，x 2，x 3，等级系数为 5 的 2 件日
6、用品记为 y1，y 2，现从 x1，x 2，x 3，y 1，y 2，这 5 件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同） ，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率18 （12 分）已知函数 f（x） = sinxcosx cos2x，0，xR 且函数 f（x）的最小正周期为 （1）求 的值和函数 f（x）的单调增区间；（2）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，又 f（ + ）= ，b=1，ABC 的面积等于3，求边长 a 的值19 （12 分）已知 ABCD 是矩形，AD=2AB，E，F 分别是线段 AB，BC 的中点，PA 平面 ABCD
7、（1）求证：DF平面 PAF；（2）若在棱 PA 上存在一点 G，使得 EG平面 PFD，求 的值20 （12 分）已知直线 y=x+1 与椭圆 相交于 A、B 两点（1）若椭圆的离心率为 ，焦距为 2，求线段 AB 的长；（2）若向量 与向量 互相垂直（其中 O 为坐标原点） ，当椭圆的离心率 时，求椭圆长轴长的最大值21 （12 分）已知函数 f（x） =ax3+bx2，f （x）在点（3，f（3） ）处的切线方程为 12x+2y27=0（）求函数 f（x）的解析式；（）若对任意的 x1，+） ，f （x）klnx 恒成立，求实数 k 的取值范围四.请考生在第 22、23、24 题中任选一
8、题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.选修 4-4：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知圆 C 的参数方程为 ， （ 为参数） ，直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数） （1）求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，求线段 AB 的长选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x）=log 2（|x1|+|x 5|a） （1）当 a=2 时，求函数 f（x ）的最小值；（2）当函数 f（x）的定义域为 R 时，求实数 a 的取值范围2015-2016 学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高三（上）第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、
9、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分） （2016 重庆校级模拟）若集合 A=x|x0，且 BA，则集合 B 可能是（ ）A1，2 Bx|x1 C 1，0，1 DR【分析】通过集合 A=x|x0，且 BA，说明集合 B 是集合 A 的子集，对照选项即可求出结果【解答】解：因为集合集合 A=x|x0，且 BA，所以集合 B 是集合 A 的子集，当集合 B=1，2时，满足题意，当集合 B=x|x1时，1A，不满足题意，当集合 B=1，0，1时，1 A，不满足题意，当集合 B=R 时，1A，不满足题意，故选 A【
10、点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，集合的包含关系判断及应用2 （5 分） （2012 安徽模拟）已知向量 =（2，m） ， =（ 1，m） ，若 2 与 垂直，则| |=（ ）A1 B2 C3 D4【分析】由两个向量垂直可得数量积等于 0，利用两个向量的坐标运算法则，求出这两个向量的坐标，代入数量积公式，解出 m2，从而得到| |【解答】解：向量 ， =（1，m ） ， 与 垂直，（ ） =0，（5，m）（ 1，m）= 5+m2=0，m 2=5，| |= =3，故选 C【点评】本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算3 （5 分） （2014 东莞二
11、模）复数 的虚部是（ ）A B C D1【分析】先将复数化简 ，再确定其虚部【解答】解： ，复数 的虚部是 故选 A【点评】本题主要考查复数的除法运算，考查复数的概念，属于基础题4 （5 分） （2012 房山区二模）如图是 2010 年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中 m 为数字 0 9 中的 一个） ，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为 a1，a 2，则一定有（ ）Aa 1a 2 Ba 2a 1Ca 1=a2 Da 1，a 2 的大小与 m 的值有关【分析】由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后，两组数据都有五个数据，根据样本平
12、均数的计算公式，代入数据可以求得甲和乙的平均分，把两个平均分进行比较，得到结果【解答】解：由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后，两组数据都有五个数据，代入数据可以求得甲和乙的平均分，a 2 a1故选 B【点评】本题考查茎叶图：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫茎叶图5 （5 分） （2014 武侯区校级模拟）若抛物线 y2=2px 的焦点与双曲线 =1 的右焦点重合，则 p 的值为（ ）A2 B2 C 4 D4【分析】求出双曲线的焦点坐标，可得抛
13、物线 y2=2px 的焦点坐标，即可求出 p 的值【解答】解：双曲线 =1 的右焦点为（2，0） ，即抛物线 y2=2px 的焦点为（2，0） ， =2，p=4故选 D【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题6 （5 分） （2015 秋 长沙校级月考）设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为 2，2 ，4，则其外接球的表面积为（ ）A48 B32 C20 D12【分析】先将三棱锥的外接球问题转化为长方体的外接球问题，再利用长方体的对角线计算公式，求得其外接球的直径，进而利用球的表面积计算公式计算即可【解答】解：此三棱锥的外接球即棱长分别为 2，2 ，4 的长方
14、体的外接球而长方体的体对角线即为球的直径球的直径 2R= =4 ，R=2外接球的表面积 S=4R2=48=32故选：B【点评】本题主要考查了球与锥的接切问题，利用三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球即为对应长方体的外接球，可提高效率，减少运算量7 （5 分） （2013 安徽模拟）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 3+a8=13，且 S7=35则 a7=（ ）A11 B10 C9 D8【分析】由等差数列的性质和求和公式可得 a4=5，进而可得 a4+a7=13，代入可得答案【解答】解：由等差数列的性质可得：S7= = =35，解得 a4=5，又 a3+a8=a4+a7=13，故 a7=
15、8，故选 D【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题8 （5 分） （2013 春 汕头期末）将函数 y=cos2x 的图象先向左平移 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（ ）Ay= sin2x By= cos2x Cy=2sin 2x Dy= 2cos2x【分析】利用函数 y=cos（x+ ）+k 的图象变换即可获得答案【解答】解：函数 y=f（x）=cos2x 的图象先向左平移 个单位长度，得到 f（x+ ）=cos2（x+ ）=cos2x，再向上平移 1 个单位长度，函数为 y=f（x+ ）+1=cos2x+1=2sin 2x故选 C【点评】本题
16、考查函数 y=Asin（x+）的图象变换，掌握三角平移变换的规律是关键，属于中档题9 （5 分） （2015 沈阳一模）执行如图所示的程序框图，则输出的 k 的值为（ ）A4 B5 C6 D7【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出输出不满足条件 S=0+1+2+8+100 时，k+1 的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件 S=0+1+2+8+100 时，k+1 的值第一次运行：满足条件，s=1，k=1；第二次运行：满足条件，s=3，k=2；第三次运行：满足条件，s=1110
17、0，k=3；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：s=1+2+8+2 11100，k=4，不满足判断框的条件，退出循环故最后输出 k 的值为 4故选：A【点评】本题考查根据流程图（或伪代码）输出程序的运行结果这是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码） ，从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模10 （5 分） （2015 秋 福州校级期末）设 a 是函数 x 的零点，若 x0a，则 f（x 0）的值满足（ ）Af（x 0）=
18、0 Bf（x 0）0Cf（x 0）0 Df（x 0）的符号不确定【分析】作出 y=2x 和 y=log x 的函数图象，根据函数图象判断 2 和 log x0 的大小关系【解答】解：作出 y=2x 和 y=log x 的函数图象，如图：由图象可知当 x0a 时，2 log x0，f（x 0）=2 log x00故选：C【点评】本题考查了函数的零点的定义，函数的单调性，利用函数图象可方便快速判断出答案11 （5 分） （2016 晋中模拟）某几何体的三视图如图所示，当 xy 最大时，该几何体的体积为（ ）A2 B3 C4 D6【分析】三视图复原几何体是长方体的一个角，利用勾股定理，基本不等式，确
19、定 xy 最大时 AD 的值，代入棱锥的体积公式计算可得【解答】解：由三视图得几何体为三棱锥，其直观图如图：ADBD，ADCD，x 27=25y2，x 2+y2=32，2xyx 2+y2=32，xy16，当 x=y=4 时，取“=” ，此时，AD=3 ，几何体的体积 V= 3 4 =2 故选：A【点评】本题考查三视图求体积，考查基本不等式求最值，利用基本不等式求 xy 最大时 AD 的值，是解答本题的关键12 （5 分） （2015 鹰潭一模）已知方程 在（0，+）有两个不同的解 ， （） ，则下面结论正确的是（ ）A BC D【分析】利用 x 的范围化简方程，通过方程的解转化为 函数的图象的
20、交点问题，利用相切求出 的正切值，通过两角和的正切函数求解即可【解答】解： ，要使方程 在（0，+）有两个不同的解，则 y=|sinx|的图象与直线 y=kx（k0）有且仅有两个公共点，所以直线 y=kx 与 y=|sinx|在 内相切，且切于点（， sin） ，由 ，故选 C【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，直线与曲线相切的转化，两角和的正切函数的应用，考查计算能力二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13 （5 分） （2015 春 衡阳县校级期末）已知实数对（x，y）满足 ，则 2x+y 的最小值是 3 【分析】作出不等式对应的区域，确定目标函数及其意义，即可得到结论【解答】解：不等式对应的区域如图所示令 t=2x+y，则 y=2x+t，t 表示直线的纵截距由 ，可得 x=y=1，
