1、指数函数与对数函数的关系撰稿：江用科 审稿：严春梅 责编：张杨一、目标认知学习目标理解反函数的概念、互为反函数的图象间的关系；指数函数与对数函数互为反函数的关系.重点反函数的概念及互为反函数图象间的关系.难点反函数概念.二、知识要点透析知识点一、反函数的概念及互为反函数两函数间的关系1.反函数概念：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数. 函数的反函数通常用 表示.要点诠释：(1) 对于任意一个函数 ，不一定总有反函数，只有当确定一个函数的映射是一一映射时，这个函数才存在反函数；(2) 反函数
2、也是函数，因为它符合函数的定义.2.互为反函数的图象关系：关于直线 对称；3.互为反函数的定义域和值域关系：反函数的定义域与值域是原函数的值域和定义域.4.求反函数的方法步骤：(1)由原函数 y=f(x)求出它的值域；(2)由原函数 y=f(x)反解出 x=f-1(y)；(3)交换 x, y 改写成 y=f-1(x)；(4)用 f(x)的值域确定 f-1(x)的定义域.知识点二、指数函数与对数函数的关系指数函数 与对数函数 互为反函数.定义 定义域 值域 图象 性质指 数 函 数y=ax(a0且 a1)叫指数函数(-，+) (0，+) (1)图象过点(0，1) (2)a1，当 x0，y1； 当
3、x=0，y=1； 当 x0 时 0y1。 0a1，当 x0，0y1；当 x=0，y=1； 当 x0，y1。 (3)a1，y=a x为增函数； 0a1，y=a x为减函数。对 数 函 数y=logax(a0 且 a1)叫对数函数(0，+) (-，+) (1)图象过点(1，0) (2)a1 时，当 x1，y0； 当 x=1，y=0； 当0x1，y0. 0a1 时，当 0x1，y0； 当x=1，y=0；当 x1，y0.(3)a1，y=log ax 为增函数；0a1，y=log ax 是减函数.注意：指数函数、对数函数底数变化与图象分布规律.(1)y=a x y=b x y=c x y=d x 则：0
4、ba1dc又即：x(0，+)时，b xa xd xc x(底大幂大)x(-，0)时，b xa xd xc x(2)y=log ax y=log bx y=log cx y=log dx则有：0ba1dc又即：x(1，+)时，log axlog bx0log cxlog dx(底大对数小)x(0，1)时，log axlog bx0log cxlog dx经典例题透析类型一、求函数的反函数1已知 f(x)= (0x4)， 求 f(x)的反函数 .思路点拨：这里要先求 f(x)的范围(值域).解：0x4，0x 216， 925-x 225， 3 y5， y= ， y2=25-x2， x 2=25-y
5、2. 0x4，x= (3y5)将 x， y 互换， f(x) 的反函数 f-1(x)= (3x5).2已知 f(x)= ，求 f-1(x).思路点拨：求分段函数的反函数问题，应逐段求其反函数，再合并.解：当 x0 时，y=x+11，y1，+) ， f -1(x)=x-1 (x1)；当 x0 时，y=1-x 21， y(-，1) ，反解 x2=1-y， x=- (y1)， f -1(x)=- (x1)； 综上 f-1(x)= .类型二、利用反函数概念解题3.已知 f(x)= (x3) ， 求 f-1(5).思路点拨：这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值，所求的反函数的函数值就是原
6、函数的自变量这一事实，转化成方程问题.解：设 f-1(5)=x0， 则 f(x0)=5，即 =5 (x03) x 02+1=5x0-5， x02-5x0+6=0.解得 x0=3 或 x0=2(舍) ， f -1(5)=3.举一反三：【变式 1】记函数 y=1+3-x 的反函数为 ，则 g(10)=( )A2 B-2 C3 D-1(法一) 依题意，函数 的反函数 y=-log3(x-1)，因此 g(10)=-2. (法二) 依题意，由互为反函数的两个函数的关系，得方程 1+3-x=10，解得 x=-2，即g(10)=-2.答案 B.4.设点(4，1)既在 f(x)=ax2+b (a0，x0) 的
7、图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式 .思路点拨：由前面总结的性质我们知道，点(4，1) 在反函数的图象上，则点 (1，4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定 a，b 的点，也就有了两个求解 a，b 的方程.解： 解得.a=- ， b= ， f(x)=- x+ .另：这个题告诉我们，函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线 y=x 上.5已知 f(x)= 的反函数为 f-1(x)= ，求 a，b，c 的值.思路点拨：注意二者互为反函数，也就是说已知函数 f-1(x)= 的反函数就是函数f(x).解：求 f-1(x)= 的反函数，令 f-1(x)=y 有 yx-3y
8、=2x+5. (y-2)x=3y+5 x= (y2)，f -1(x)的反函数为 y= .即 = ， a=3， b=5， c=-2.类型三、互为反函数图象间关系6.将 y=2x 的图象先_，再作关于直线 y=x 对称的图象，可得到函数y=log2(x1)的图象( )A先向上平行移动一个单位 B先向右平行移动一个单位C先向左平行移动一个单位 D先向下平行移动一个单位解析：本题是关于图象的平移变换和对称变换，可求出解析式或利用几何直观推断答案：D总结升华：本题主要考查互为反函数的两个函数的图象的对称关系与函数图象的平移变换等基本知识，以及基本计算技能和几何直观思维能力举一反三：【变式 1】函数 y=
9、f(x+1)与函数 y=f-1(x+1)的图象( )A.关于直线 y=x 对称 B. 关于直线 y=x+1 对称C.关于直线 y=x-1 对称 D.关于直线 y=-x 对称解：y=f(x+1)与 y=f-1(x+1)图象是分别将 y=f(x)， y=f-1(x)的图象向左平移一个单位所得， y=f(x)与 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称，y=x 向左平移一个单位而得 y=x+1. 故选 B.【变式 2】已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f1(x)，则函数 y= f1(1-x)的图象是( )【答案】由 y=log2x 得 f1(x)2 x，所以 y=f1(1-x)2 1-x
10、， 选择 C.类型四、指数函数和对数函数的综合问题7.已知函数 (1)求函数的单调增区间；(2)求其单调增区间内的反函数解：复合函数 y=fg(x)的单调性与 y=f(t)，t=g(x)的单调性的关系：同增异减(1)函数的定义域x|x 0 或 x2 ，又 t=x2-2x=(x-1)2-1x (-，0)，t 是 x 的减函数而 是减函数，函数 f(x)在(-，0)为增函数(2)函数 f(x)的增区间为(-，0) ，令 ，则 ， x0， 总结升华：研究函数单调性首先要确定定义域；在函数的每个单调区间内存在反函数，因此要注意反函数存在的条件学习成果测评一、选择题1函数 的反函数是( )A. B.C.
11、 D. 2函数 的反函数是（ ）A BC D 3函数 的定义域是 ，则值域是( )A.R B. C. D.4函数 ，则 的定义域是( )A.R B. C. D.5设函数 的图象过点 ，其反函数的图象过点，则 等于（ ）A3 B4 C5 D66将函数 的图象向左平移两个单位，再将所得图象关于直线 对称后所得图象的函数解析式为( )A. B. C. D.7已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是( )A. B. C. D.8函数 y=1+ax(0a 1)的反函数的图象大致是 ( )9已知函数 ，f(x)的反函数为 ，当 y0 时， 的图象是( )10方程 的实根的个数为( )A.0 B.1 C.
12、2 D.3二、填空题11求函数 的反函数 =_，反函数的定义域是_，值域是_.12若函数 ，且 ）的反函数的图像过点 ，则_13函数 ，若此函数的最大值比最小值大 1，则_.14函数 在 上的最大值比最小值大 1，则 _.15函数 的图象过 ，则函数 的反函数过点_.三、解答题16若函数 的定义域为 R，求实数 的取值范围.17求函数 的反函数.18已知函数(1)求函数的定义域和值域；(2)求出与 的图象关于 x 轴、y 轴及 y=x 对称的图象对应的函数.答案与解析一、选择题1.B 2.A 3.C 4.B 5.B 6.C 7.D( 提示： )8.A 9.A10.C(提示：数形结合，如图所示)
13、二、填空题11. 12. 13.2 或 14.15. (提示：令 x=4 则 过 )三、解答题16.17.由 知 .18.(1)值域：(2)关于 x 轴对称的为 即 ；关于 y 轴对称的为 即 ；关于 y=x 对称的为 .幂函数撰稿：江用科 审稿：严春梅 责编：张杨一、目标认知学习目标通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况.重点幂函数的图象和性质.难点1幂函数的图象；2多种图象变换复合时变换顺序的处理；3复合函数的单调性的讨论.二、知识要点梳理知识点一、幂函数概念形如 的函数，叫做幂函数，其中 为常数.要点诠释：幂函数必须是形如 的函数，幂函数底数为单一的自变量 x，
14、系数为 1，指数为常数.例如： 等都不是幂函数.知识点二、幂函数的图象及性质1.作出下列函数的图象：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) 2.幂函数随着 的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，+)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2) 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；(3) 时，幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近轴正半轴3.作幂函数图象的步骤如
15、下:(1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0 ，+)或0 ，+)，作图已完成；若在(-，0)或(-，0上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据 y 轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.经典例题透析类型一、求函数解析式1已知幂函数 ，当 时为减函数，则幂函数_解析：由于 为幂函数，所以 ，解得 ，或 当 时， ， 在 上为减函数；当 时， ， 在 上为常数函数，不合题意，舍去故所求幂函数为 总结升华：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是关键类型二、比较幂函数值大小2比较下列各组数的大小.(1) 与 ； (2
16、) 与 .解:(1)由于幂函数 (x0)单调递减且 ， .(2)由于 这个幂函数是奇函数. f(-x)=-f(x)因此， ， ，而 (x0) 单调递减，且 ， .即 .总结升华：(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用 x0 上幂函数的单调性解决问题也是可以的.举一反三【变式一】比较 ， ， 的大小.思路点拨：先利用幂函数 的增减性比较 与 的大小，再根据幂函数的图象比较 与 的大小.解： 在 上单调递增，且 ，.作出函数 与
17、 在第一象限内的图象，易知 .故 .3已知幂函数 ， ， ， 在第一象限内的图象分别是 C1，C 2， C3，C 4，(如图) ，则 n1，n 2，n 3，n 4，0，1 的大小关系?解: 应为 n1n 20n 3 1n 4.总结升华：对于幂函数 的图象，其函数性质的正确把握主要来源于对图象的正确处理，而幂函数的图象，最重要的是搞清第一象限的图象类型及分布；反过来，也能通过第一象限的图象判断指数的取值范围.类型三、求参数的范围4已知幂函数 的图象与 轴都无交点，且关于 轴对称，求 的值，并画出它的图象解： 图象与 轴都无交点， ，即 又 ， 幂函数图象关于 轴对称，或 当 时，函数为 ，图象如
18、图 1；当 时，函数为 ，图象如图 2举一反三【变式一】若 ，求实数 a 的取值范围.解法 1： ， 考察 的图象，得以下四种可能情况:(1) (2) (3) (4)分别解得:(1) . (2)无解. (3) . (4) .a 的取值范围是 .解法 2：画出 的图象，认真观察图象，可得:越接近 y 轴， y 值越大，即|x|越小，y 值越大， 要使 ， 即 ，解得: .总结升华：以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.【变式二】当 m 为何值时，幂函数 y=(m2-5m+6) 的
19、图象同时通过点(0 ，0)和(1，1).解：y=(m 2-5m+6) 是幂函数.m 2-5m+6=1.得:m= ，又函数图象过(0， 0)和(1，1) 点，m 2-2m-30，得 m3 或 m-1， m= (舍去) 即:m= .类型四、讨论函数性质5.求函数 y= 的定义域.解:原函数可化为 y= x -2，3)(3 ，+).总结升华：正确判断函数的定义域是完成函数的图象，讨论函数的性质的前提，必须加以重视.6.讨论函数 的单调性.解： 可看作是由 与 u=x2-2x-3 复合而成， 中，u (0，+). x 2-2x-30， 得到 x3 或 x-1.当 x3 时，u=(x-1) 2-4， 随
20、着 x 的增大 u 增大，又 在定义域内为减函数，y 随着 u 的增大而减小，即 时， 是减函数，而 时，原函数为增函数.总结升华：1.复合函数的讨论一定要理清 x，u，y 三个变量的关系.2.对于这样的幂函数与二次函数的复合，要先考虑幂函数的定义域对自变量 x 的限制.举一反三【变式一】讨论函数 的定义域、奇偶性和单调性解：（1） 是正偶数，是正奇数函数 的定义域为 （2） 是正奇数，且定义域关于原点对称是 上的奇函数（3） ，且 是正奇数，函数 在 上单调递增学习成果测评一、选择题1.函数 的定义域是( )A.0 ，+ B.(- ，0) C.(0，+) D.R2.函数 的图象是( )3.下
21、列函数中是偶函数的是( )A. B. C. D.4.幂函数 ，其中 mN，且在(0，+ )上是减函数，又 ，则 m=( )A.0 B.1 C.2 D.35.若幂函数 的图象在 0x1 时位于直线 y=x 的下方，则实数 的取值范围是( )A. 1 B. 1 C.0 1 D. 06.下列结论中正确的个数有( )(1)幂函数的图象一定过原点； (2) 当 0 时.,幂函数 是减函数；(3)当 0 时，幂函数 是增函数； (4)函数 既是二次函数，又是幂函数.A.0 B.1 C.2 D.37.三个数 ， ， 的大小顺序是( )A.cab B.cba C.abc D.bac8.如图所示，幂函数 在第一
22、象限的图象，比较的大小( )ABCD9.已知 ，那么 = ( )A. B.8 C.18 D.10.若幂函数 存在反函数 ，且反函数的图象经过 则 的表达式为( )A. B. C. D. 二、填空题11.函数 的定义域是_.12.设 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ，则 =_.13.若 ，则实数 a 的取值范围是_.14.方程 的解的个数是 _.15.函数 的对称中心是_，在区间_是_函数.(填“增”或“减”)三、解答题16.比较下列各组中两个值大小(1) (2)17.证明：幂函数 在 是减函数.18.已知二次函数 满足 ，且 的最大值为 5，求的表达式.19.求函数 在 的最值，并给出最值
23、时对应的 x 的值.答案与解析一、选择题1.C 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.B 8.D 9.D 10.B二、填空题11. 12.-4 13. 14.2 个 15.(-3，1)； (-，-3)，(-3，+ )；增三、解答题16.解：(1)(2)函数 上增函数且17.解：设 ，且 ，则又 ，所以 即所以幂函数 在 是减函数 .18.解：由题意知，-2，3 是二次函数的零点，故设二次函数表达式为 ，而且对称轴为即当 时该函数的最大值为 5.5，解得所求的函数表达式为 .19.已知函数化简成令 ，则原函数变成所以当 ，即 时，函数有最小值为 ；当 ，即 时，函数有最大值为 12.综合练
24、习基础达标一、选择题1下列函数与 有相同图象的一个函数是( )A BC D2下列函数中是奇函数的有几个( ) A1 B2 C 3 D43函数 与 的图象关于下列那种图形对称( )A 轴 B 轴 C直线 D原点中心对称4已知 ，则 值为( )A. B. C. D. 5函数 的定义域是( )A B C D6三个数 的大小关系为( )A. B. C D. 7若 ，则 的表达式为( )A B C D二、填空题8 从小到大的排列顺序是_.9化简 的值等于_.10计算： =_.11已知 ，则 的值是_.12方程 的解是_.13函数 的定义域是_；值域是_.14判断函数 的奇偶性_.三、解答题15已知 求
25、的值.16计算 的值.17已知函数 ,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性、单调性.18.(1)求函数 的定义域；(2)求函数 的值域.综合训练一、选择题1若函数 在区间 上的最大值是最小值的 倍，则的值为( )A B C D2若函数 的图象过两点 和 ，则( )A BC D3已知 ，那么 等于( )A B8 C18 D4函数 ( )A.是偶函数，在区间 上单调递增B.是偶函数，在区间 上单调递减C.是奇函数，在区间 上单调递增D.是奇函数，在区间 上单调递减5已知函数 ( )A B C D6函数 在 上递减，那么 在 上( )A递增且无最大值 B递减且无最小值C递增且有最大值 D递减且有最小值二
26、、填空题7若 是奇函数，则实数 =_.8函数 的值域是_.9已知 则用 表示 _.10设 , ,且 ，则_； _.11计算： _.12函数 的值域是_.三、解答题13比较下列各组数值的大小：(1) 和 ；(2) 和 ；(3) .14解方程：(1) ； (2) .15已知 当其值域为 时，求 的取值范围.16已知函数 ，求 的定义域和值域.能力提升一、选择题1函数 上的最大值和最小值之和为 ，则 的值为( )A B C2 D42已知 在 上是 的减函数，则 的取值范围是( )A. B. C. D. 3对于 ，给出下列四个不等式 其中成立的是( )A与 B与 C与 D与4设函数 ，则 的值为( )
27、A1 B-1 C10 D5定义在 上的任意函数 都可以表示成一个奇函数 与一个偶函数 之和，如果，那么( )A ， B ，C ，D ， 6若 ,则( )A BC D二、填空题7若函数 的定义域为 ，则 的范围为_.8若函数 的值域为 ，则 的范围为_.9函数 的定义域是_；值域是_.10若函数 是奇函数，则 为_.11求值： _.三、解答题12解方程：(1)(2)13求函数 在 上的值域.14已知 ， ,试比较 与 的大小.15已知 ，判断 的奇偶性； 证明 答案与解析基础达标一、选择题1.D ，对应法则不同； .2.D 对于 ，为奇函数；对于 ，显然为奇函数； 显然也为奇函数；对于 ， ，为
28、奇函数.3.D 由 得 ，即关于原点对称.4.B .5.D .6.D 当 范围一致时， ；当 范围不一致时，注意比较的方法，先和 比较，再和 比较.7.D 由 得 .二、填空题8 ，而 .916 .10-2 原式 .110 ， .12-1 .13 ； .14奇函数 三、解答题15解：.16解：原式17解： 且 ， 且 ，即定义域为 ；为奇函数；在 上为减函数.18解：(1) ，即定义域为 ；(2)令 ，则 ，即值域为 .综合训练一、选择题1.A .2.A 且 .3.D 令 .4.B 令 ，即为偶函数；令 时， 是 的减函数，即 在区间 上单调递减.5.B 6.A 令 ， 是 的递减区间，即 ，
29、 是 的递增区间，即 递增且无最大值.二、填空题7 .(另法) ： ，由 得 ，即 .8 而.9 .10-1，-1 又 ， .11 .12 ， .三、解答题13解：(1) ， ；(2) ， ；(3)14解：(1)；(2)15解：由已知得即 得即 ，或 ，或 .16解： ，即定义域为 ；，即值域为 .能力提升一、选择题1.B 当 时 与 矛盾； 当 时 .2.B 令 是的递减区间， 而 须恒成立， ，即 ， .3.D 由 得 和都是对的.4.A .5.C .6.C .二、填空题7 恒成立，则 ，得 .8 须取遍所有的正实数，当 时， 符合条件；当 时，则 ，得 ，即 .9 ；102 .1119 .三、解答题12解：(1)，得 或 ，经检验 为所求；(2)，经检验 为所求 .13解：
