1、凯里一中 2018 届高三下开学考试文科数学第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ，故 .2. 已知是虚数单位，且 ，则的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】则 ，所以对应点在第一象限故选3. 大型反贪电视剧人民的名义播出之后，引起观众强烈反响，为了解该电视剧的人物特征，小赵计划从 16 集中随机选取两集进行观看，则他恰好选择连续的
2、两集观看的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】基本事件如下 共 种，其中连续的有 共 种，故概率为 .4. 已知 的终边上有一点 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】依题意有 ，所以.5. 已知函数 ，则满足 的实数的值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】 ，即 .6. 已知某几何体是两个正四棱锥的组合体，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D可知该几何体外接球的半径为则该几何体外接球的表面积为故选7. 已知实数 满足不等式组 ，则 的最大值为（ ）A. 0 B. 3 C. 9 D. 11【答案
3、】C【解析】的最大值为故选8. 公元前 5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面 1000 米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的 10 倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000米，此时乌龟便领先他 100 米；当阿基里斯跑完下一个 100 米时，乌龟仍然前于他 10 米.当阿基里斯跑完下一个 10 米时，乌龟仍然前于他 1 米，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为 米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为当阿基里斯和乌
4、龟的速度恰好为 米时，乌龟爬行的总距离为故选9. 如图所示的程序框图，若输出的结果为 4，则输入的实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ，否，否，否， ，是，即解不等式且满足 ，综上所述，若输出的结果为 ，则输入的实数 的取值范围是故选10. 函数 的大致图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】当 或 时，排除当 时 递减则 在 内递增故选11. 过双曲线 的左焦点 作一条渐近线的垂线，垂足为 ，与另外一条渐近线交于点 ，若，则 （ ）A. 2 B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线 的左焦点渐近线方程是过左焦点 与渐近线 垂直的直线方程是由
5、 ，得点 的坐标是则，设直角 的倾斜角是 ，则整理得解得 或 （舍去）故选点睛：本题考查的是双曲线的简单性质，是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，依据题目条件，设直线方程，联立直线与曲线方程求出点坐标，再根据图形转化为倾斜角问题，本题需要一定的计算量。12. 已知 的前 项和为 ，且 成等差数列， ，数列 的前 项和为 ，则满足 的最小正整数 的值为（ ）A. 8 B. 9 C. 10 D. 11【答案】C【解析】 ，当 时， ，由 成等差数列可得 ，即，解得 ，故 ，则 ，故，由 得 ，即 ，则 ，即 ，故 的最小值为 .【点睛】本小题主要考查已知数列 表达式，求 的表达式，考查裂项求和
6、法，考查含有数列的不等式的解法.由于题目给定数列前 项和 表达式，故考虑用 来求解数列的通项公式，但由于含有参数 ，故需要用 成等差数列这一条件列方程来求出 .第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 的夹角为，且 ， ， ，则 _【答案】-3【解析】由已知可设故可得 解得 或则 或则当 时，则当 时， 的夹角为，故可得则14. 在长方体 中， 底面 是边长为 1 的正方形， 若其外接球的表面积为 ，则异面直线与 所成的角的余弦值为_【答案】【解析】设外接球的半径为 ，则 ，解得 ，设长方体的高为 ，则 ，故，在 中， 即为异
7、面直线所成角，其余弦值为 .15. 已知函数 ，则不等式 的解集为_【答案】【解析】则解得 或故不等式 的解集为点睛：本题主要考查的知识点是函数的单调性的运用。主要依据分段函数的单调性来判断括号内的大小，然后解一元二次不等式，属于中档题易错题。本题中需要注意的是函数的单调性。16. 已知离心率为 的椭圆 的下、上焦点分别为 ，直线 过椭圆 的焦点 ，与椭圆交于 两点，若点 到 轴的距离是点 到 轴距离的 2 倍，则 _【答案】【解析】直线过定点 ，即 ，由于 ，故 ，椭圆方程为 ，由 可得 ，设 ，则 ，由点 到 轴的距离是 到轴距离的 倍可得 ，代入 可解得 ，代入 解得.【点睛】本小题主要
8、考查椭圆标准方程的求法，考查直线和圆锥曲线相交利用韦达定理表示，考查化归与转化的数学思想方法.首先要注意到由于 ，所以椭圆的焦点是在 轴上的，这点一定要看清楚.联立直线方程和椭圆方程，消去 的值并写出韦达定理，代入题目所给距离的条件可解得 的值.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .（1）求角 ；（2）若点 在边 上，且 ， 的面积为 ，求边的长.【答案】 （1） ;（2） .【解析】 【试题分析】 （1）利用正弦定理，将边转化为角，利用三角形内角和定理可求得 ，故 .（2）利用三角形面积公式和
9、余弦定理可求得的值.【试题解析】（1）由 及正弦定理可得，故 ，而 ，所以 ，即（2）由 及 可得 是正三角形.由 的面积为 可得 ，即 ，故 ，在 中，由余弦定理可得 ，即 .18. 某超市在 2017 年五一正式开业，开业期间举行开业大酬宾活动，规定：一次购买总额在区间内者可以参与一次抽奖， 根据统计发现参与一次抽奖的顾客每次购买金额分布情况如下 ：（1）求参与一次抽奖的顾客购买金额的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留到整数） ；（2）若根据超市的经营规律，购买金额 与平均利润 有以下四组数据：试根据所给数据，建立 关于 的线性回归方程 ，并根据（1）中计算的
10、结果估计超市对每位顾客所得的利润.参考公式： ， .【答案】 （1）见解析.（2） .20.45（元）.【解析】 【试题分析】 （1）计算出每组的频率，用每组中点值乘以频率然后相加可得到平均数的估计值.中位数是使得左右两边频率为 的位置，先确定 在第三组，然后利用小长方形的面积计算出中位数的位置.（2）利用回归直线方程公式，代入数据计算出回归直线方程.【试题解析】（1）由所给频率分布直方图可知，这 5 组数据的频率分别为：0.1,0.2,0.3,0.25,0.15，故这组数据的平均数为：； ， .这组数据的中位数为： .（2）由所给数据可得： ， ， ，回归直线方程为： .由此可以估计，把 代
11、入可得每位顾客贡献给超市的平均利润为：（元）.19. 如图，四棱锥 的底面 是直角梯形， ， ， ，点 在线段 上，且， ， 平面 .（1）求证：平面 平面 ；（2）当四棱锥 体积最大时， 求四棱锥 的表面积.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】 【试题分析】 （1）利用 结合直角梯形，可知四边形 是矩形，故 ，由于 平面 ，所以 ，故 平面 .由此证得平面 平面 .（2）根据体积公式计算得 ，即只需 取得最大值.利用基本不等式可求得 的最大值为 ，再通过体积公式可计算得表面积.【试题解析】（1）由 可得 ，易得四边形 是矩形， ，又 平面 ， 平面 ， ，又 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ，平面 平面（2）四棱锥 的体积为 ，要使四棱锥 的体积取最大值 ，只需 取得最大值.由条件可得 ， ，即 ，当且仅当 时， 取得最大值 36.
