1、2018 届贵州省凯里市第一中学高三下学期黄金卷第二套模拟考试理数试题命题学校:凯里一中(试题研究中心)第 I 卷(选择题,共 60 分)一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数 2018zi，则 z（ ）A0 B1 C D22. 已知 3x， 30Bx，则 AB（ ）A (,) B (1,) C (1,) D (1,3)3. 函数24xf的最小值为（ ）A 3 B 4 C 6 D 84. 直线 52yx和圆 2420yx的位置是（ ）A相交且过圆心 B 相交但不过圆心 C. 相离 D. 相切5. 某几
2、何体的三视图如图(1)所示,则该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为（ ）A 63 B 64 C. 2 D 36. 设 3loga， 1()2b， 8073tan4c，则（ ）A c B C. bc D cba7.2017 年 11 月 30 日至 12 月 2 日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动，在数学同课异构活动中,7 名数学教师各上一节公开课，教师甲不能上第三节课，教师乙不能上第六节课，则 7 名教师上课的不同排法有（ ）种A. 5040 B. 4800 C. 3720 D. 492
3、08. 已知抛物线 214yx的焦点 F是椭21yxab（ 0a）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于 A、 B两点，若 A是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）A 2 B 31 C. 3 D 219.过直线 yx上的点作圆 2460xy的切线，则切线长的最小值为（ ）A 19 B 5 C. 1 D 59.中国传统数学中许多著名的“术”都是典型的算法.如南宋秦九韶的“大衍总数术”就是一次剩余定理问题的算法，是闻名中外的“中国剩余定理”.若正整数 N除以正整数 m后的余数为 n，则记为 Nn（mod） ，例如 10(mod3).我国南北朝时代名著孙子算经中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三
4、三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩问物几何?”就可以用源于“中国剩余定理”思想的算法解决.执行如图（2）的程序框图，则输出的 n（ ）A 16 B 18 C. 23 D28 10.如图（3）所示，在半径为 R的 ;内有半径均为 2R的 1C;和 2与其相切， 1C;与 2外切，AB为 1C;与 2的公切线.某人向 O投掷飞镖，假设每次都能击中 O，且击中 内每个点的可能性均等，则他击中阴影部分的概率是（ ）A 4 B 4 C. 8 D 1811.在 ABC中， 23，若 ()tant()3fAA，则函数 ()f的最小值为（ ）A 3 B C. D 212.已知偶函数 4log,0()8)8x
5、ff，且 ()(fxf，则函数 1()2xFxf在区间2018,的零点个数为（ ）A 2020 B2016 C. 1010 D1008第卷 非选择题二、填空题：（本题共 4 小题每题 5 分，共 20 分）13. 已知 (1,)a， (2,1)b， (,2)c，若 abc，则 14. 已知等比数列 n的前 项和为 nS，且 108， 243a，则 2019S 15. 过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于2ba(a、 b分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长).已知双曲线2:1xCya（ 0a）的左、右焦点分别为1F、 2，若点 M是双曲线 C上位于第四
6、象限的任意一点，直线 l是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，Ql于点 ，且 1QF的最小值为 3，则双曲线 的通径为 .16.已知球 O是棱长为 2 的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球， MN为球 O的一条直径，点 P为正八面体表面上的一个动点，则 PMN的取值范围是 三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知在 ABC中，角 、 、 C的对边分别是 a、 b、 c， (2os,cos)mCaBbA，(,1)nc，且 mn.（）求角 ；（）若 3c，求 ABC周长的最大值.18.2018 年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗
7、寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随机抽取 80 名群众进行调查，将他们的年龄分成 6段： 20,3, 4,05, 6， 0,7， ,80，得到如图所示的频率分布直方图.（）求这 80 名群众年龄的中位数；（）将频率视为概率，现用随机抽样方法从该社区群众中每次抽取 1 人，共抽取 3 次，记被抽取的 3 人中年龄在 304， 的人数为 ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列，及数学期望 ()E.19.如图，在四棱锥 PABCD中，底面 AB为正方形， PDA, C. （）若 E是 的中点，求证： /平面 E；（）若 ， 2，求直线 与平面 所成角的正
8、弦值.20.已知抛物线 2:(0)Cyp的焦点 F为曲线 2:143xy的一个焦点， O为坐标原点，点M为抛物线 上任意一点，过点 M作 x轴的平行线交抛物线的准线于 P，直线 交抛物线于点 N.（）求抛物线 的方程；（）若 、 F、 N三个点满足 2FN，求直线 的方程.21. 已知函数 ()2)ln(1()fxxaR（）若 1a，求曲线 yf在点 0,f处的切线方程；（）若 ()0fx在 ,()f上恒成立，求实数 a的取值范围；（）若数列 na的前 项和 231nS， 4nb，求证：数列 nb的前 项和l(1)2nT.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
9、.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 2cos:4inxtly， (t为参数， 为倾斜角).以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的直角坐标方程为 240xy.（）将曲线 的直角坐标方程化为极坐标方程；（）设点 M的直角坐标为 (,)，直线 l与曲线 C的交点为 A、 B，求 M的取值范围.23.选修 4-5：不等式选讲已知 a、 b、 c均为正实数.（）若 3a，求证： 3abc（）若 1，求证： 21()9凯里一中 2018 届黄金卷第二套模拟考试理科数学参考答案一、选择题1-5: CBBAD 6-10: ADCCB 11、12：DA二、填空题13. -3
10、14. 2018 15. 2 16. 40,3三、解答题17. 解：（） mn cos(cos)CaBbA由正弦定理得 2sinco(sincosin)0CAB即 si)0 2C，在 ABC中， 0 sin0C 1co2， (, 3（）由余弦定理可得： 222cos()(1cos)9cabab即 2()39ab 21()93 236 6ab，当且仅当 时取等号， ABC周长的最大值为 6+3=918. 解：（）设 80 名群众年龄的中位数为 x，则0.51.0.201.350.，解得 5x， 即 80 名群众年龄的中位数 55 （）由频率分布直方图可知，任意抽取 1 名群众，年龄恰在 3,40
11、） 的概率为 1,由题意可知 1(3)0B，:， 的所有可能取值为 0，1，2，3，033972()=PC（ =)123943()()=0PC=,213()()031()() X的分布列为 0 1 2 3P72943071010所以 729431()100E=+.或者 3()=1E 19. 解：（）连接 AC交 BD于 G，连接 E.在三角形 ACP中，中位线 /GPC，且 G平面 ,P平面 ， /P平面 BD（）设 2CD，则 2ABCDP，且 3EPA.分别以 ,DCP为 ,xyz轴的正方向建立坐标系，则 4(0,)(2,0)(,)(0,)(2,0)(,2)3CB 4(2,),23BEPB
12、，设平面 E的一个法向量为 (,)nxyz，则00xynDz,令 1x，则 y， 2z (1,2)n设直线 PB与平面 E所成的角为 ，则 |sin|co, 3PBn所以 与平面 D所成角的正弦值为 2320. 解：（）解由曲线 2:14xy，可得2134xy，所以曲线2:134xy是焦点在 x轴上的双曲线，其中 23,4ab，故 22cab， 的焦点坐标分别为 12(,0)(,)F、 ，因为抛物线的焦点坐标为 (,0)pF，由题意知 1p，得 2，所抛物线的方程为 24yx（）设直线 MN的方程为 1tyx，联立直线与抛物线的方程得 214tyx，消去 得240yt，设 12(,)(,)Ny
13、，由根与系数的关系得 1212,4ty，因为 F，故 12,xx，得 12，由 2y及 12，解得 12y或 12y，代入 124yt，解得 24t或 t故 MN的方程为 4yx或 x，化简得 0xy或 240xy另解：如图，由 2FN，可设 |2,|MFtNt，则|2,|2MStEFt，因为 FSMNE;，所以 FMSE解得， 3t，所以 |3,|1t，在 Rt中，|1costan2SFFS，即 tan2Fxk（ 为直线的斜率） ，所以直线 MN的方程为 2()yx，即 0xy，由于对称性知另一条直线的方程为20x. 21. 解：（）因为 1a，所以 ()2)ln(1fxx， (0)2)ln
14、10f，切点为 (0,).由 ()ln)fx，所以 0lf ，所以曲线 yfx在 ,处的切线方程为 01(yx，即 y（）由 2)ln)1f a，令 ()(0,)gxfx，则 221() 0()()xgxx（当且仅当 取等号）.故 ()fx在 0,)上为增函数.当 2a时， ff,故 (f在 ,)上为增函数，所以 ()0fx恒成立，故 2a符合题意；当 2a时，由于 ()0f， 1()0aafe，根据零点存在定理，必存在 (0,1ate，使得 ft，由于 fx在 ,)上为增函数，故当 )x时， ()0ft,故 ()x在 (0,)t上为减函数， 所以当 (,t时， f,故 f在 ,)上不恒成立，
15、所以 2a不符合题意.综上所述，实数 a的取值范围为 (,2（III）证明：由 24,13,1331, .22,nnnSab由（）知当 0x时， (2)lx，故当 0x时， l(1)x， 故2ln(1)1n，故 112ln()nkk.下面证明： ln()2T因为 1 2l()l()l()l()ln()l(1)3nk n 456112l(3)lnl()2l2n而， 23nT122241111313nnk Tn所以， ln()2l3nT，即： l()l2nn22. 解：（）由 2,sixy及 240xy，得 4si，即 4sin所以曲线 C的极坐标方程为 4n（II）将 l的参数方程 2cosixty代入 240xy，得 24(sinco)40tt21216(sinco)6sin204(sic)tt;所以 sin20，又 ，所以 (0,)，且 120,t所以 1212|4(sinco)42sin()MABtt 由 (0,)2，得 3(,)4，所以 i()1.故 |AB的取值范围是 ,223. 证明（） 2 2,abcbac，三式相加可得 22abcabc () ()()abc c39又 c、 、 均为正整数， 3abc成立 （）： abR、 ， 1， 221ab， 22 21()()()a22()()=5+59bbabab当且仅当 ，即 12a时，“=”成立
