1、2018 届湖南省长郡中学高三月考试题（五）文科数学第卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分每题给出的四个选项中只有一项是符合要求的 ）1已知 R为实数集，集合 2|30Ax，则 RCA（ ）A (,3) B 1,3 C (,1) D ,12若 12018,x 的平均数为 3，标准差为 4，且 3(2)iiyx， 12018,ix ，则新数据,y的平均数和标准差分别为（ ）A-9 12 B-9 36 C3 36 D-3 123已知直角梯形 AD中， /B， A， 4B， 6CD， 5A，点 E在梯形内，那么E为钝角的概率为（ ）A 25 B 425 C 12 D 4
2、 4已知复数 1aiz（ 为虚数单位）为纯虚数，则实数 a（ ）A1 B-1 C2 D-25已知圆 2()()xyr上有且只有两个点到直线 4350xy的距离等于 1，则半径 r的范围是（ ）A (4,6) B (4,6 C 4,6) D ,66某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A 25 B 25 C 45 D57变量 ,xy满足约束条件241xy，则目标函数 3|2xyz的取值范围是（ ）A 3,92 B 3,62 C 2,3 D 2,518函数 cosyx的大致图象是（ ）A B C D9已知定义在 R上的函数 (fx） ，其导函数为 ()fx，若 ()3ffx， (0)
3、4f，则不等式()e3xf的解集是（ ）A ,1 B (1,) C (0,) D (,0)10执行如图所示的程序框图，则输出 S的值为（ ）A 32 B 32 C 0 D 1211在 C中，角 ,A的对边分别为 ,abc，且 os3csBC，则角 A的最大值是（ ）A 6 B 4 C 3 D 212设点 (0,1)， (2,)，点 在双曲线 2:14xMy上，则使 的面积为 3 的点 C的个数为（ ）A4 B3 C 2 D1第卷二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 ）13已知 (1,2)a， (1,6)b，则 a与 b的夹角的余弦值为 14 P是长、宽、高分别为 12
4、，3，4 的长方体外接球表面上一动点，则 P到长方体各个面所在平面的距离的最大值是 15设函数 ()fx的定义域为 D，如果 x， yD，使 ()2fxyC（ 为常数）成立，则称函数 ()f在 上的均值为 C给出下列四个函数： 2； x； lnx； 2sin1yx则其中满足在其定义域上均值为 2 的函数是 16已知椭圆21(0)xyab的左、右焦点分别为 1F， 2，过 1且与 x轴垂直的直线交椭圆于 A、B两点，直线 2AF与椭圆的另一个交点为 C，若 7SABCA，则椭圆的离心率为 三、解答题 （共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17已知函数 ()xfa的图象过点 1
5、(,)3，且点 2(1,)(naN在函数 ()xfa的图象上（）求数列 n的通项公式；（）令 13ba，若数列 nb的前 项和为 nS，求证： 2n18如图，已知 ABCD是直角梯形， 90ABC， /DBC， 4A， 2BC， PA平面AB（） PA上是否存在点 E使 /B平面 PCD，若存在，指出 E的位置并证明，若不存在，请说明理由；（）证明： CD；（）若 10，求点 到平面 的距离19博鳌亚洲论坛 2015 年会员大会于 3 月 27 日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的 100 名服务志愿者培训后，组织一次 APE知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均
6、匀分布），组织者计划对成绩前 20 名的参赛者进行奖励（）试求受奖励的分数线；（）从受奖励的 20 人中利用分层抽样抽取 5 人，再从抽取的 5 人中随机抽取 2 人在主会场服务，试求2 人成绩都在 90 分以上（含 90 分）的概率20已知 O为坐标原点， 1(,)Mxy， 2(,)Nxy是椭圆2193xy上的点，且 12230xy，设动点P满足 3（）求动点 的轨迹 C的方程；（）若直线 :(0)lyxm与曲线 交于 ,AB两点，求三角形 OAB面积的最大值21已知函数32()ln(1)faxaR（）若 2x为 的极值点，求 的值；（）若 ()f在 3,)单调递增，求 a的取值范围（）当
7、1a时，方程3(1xbf有实数根，求 b的最大值请考生在（22）（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，圆 21:4Cxy，圆 22:()4Cxy（）在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 12,C的极坐标方程，并求出圆12,C的交点坐标（用极坐标表示） ；（）求出 1与 2的公共弦的参数方程23选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ()|3|fxx，（）若关于 的不等式 ()|1|fa恒成立，求实数 a的取值范围；（）若关于 t的一次二次方程 24()0ttfm有实根，求实数 m的取值范围试卷答案一、选择
8、题1-5:ADABA 6-10:BDBDA 11、12：AA二、填空题13 45 14 25 15 16 31三、解答题17 【解析】 （）函数 ()xfa的图象过点 (,)3， 13a， ()xf又点 2,Nn在函数 ()xfa的图象上，从而 1()3，即 2nnaA（）证明：由 21()3nnaA， 13nnba，得 1(2)3nbA，1235nS，则 3123n ，两式相减得： 2121()3n nS ， 1)29331n n， nnS， 203， 2S18 【解析】证明：当 E为 PA中点时满足题意（）取 AD的中点为 F，连结 ,B 4， 2BC， /，且 ，四边形 F是平行四边形，
9、即 /D B平面 PC， /平面 ,EF分别是 ,A的中点， /EFPD， 平面 PD， /平面 C EFB，平面 /平面 P 平面 ， /BE平面 PCD（）由已知易得 2A， 2 2A， 90，即 又 P平面 BCD， 平面 ABCD， A， C平面 P 平面 ， D（）由已知得 12BCDS，所以 121033PBCDV又 10PA，则 3，由 得 6S， BCDPBV， 到平面 的距离为 10319 【解析】 （）由频率分布直方图知，竞赛成绩在 90,1分的人数为 0.12012，竞赛成绩在 80,9)的人数为 0.2120，故受奖励分数线在 8,)之间，设受奖励分数线为 x，则(.x
10、，解得 86x，故受奖励分数线为 86（）由（）知，受奖励的 20 人中，分数在 ,90)的人数为 8，分数在 90,1的人数为 12，利用分层抽样，可知分数在 86,90)的抽取 2 人，分数在 ,1的抽取 3 人，设分数在 86,)的 2 人分别为12,A，分数在 ,1的 3 人分别为 13,B，所有的可能情况有 12(,)A，(,)B， 12(,)， 13(,)A， 2(,)， 2(,)A， 23(,)B， ,， 3,B， 23(,)，满足条件的情况有 12(,)B， 13(,)， 23(,)B，所求的概率为 310P20 【解析】 （）设点 (,)Pxy， 1(,)My， 2(,)Nx
11、y，则由 3OPN，得 ,3,，即 12x， 12y，因为点 ,在椭圆2193xy上，所以 39， 39x，故 22112(6)xy2112(6)yy12(3)93xy23)x106)，因为 12230xy，所以动点 P的轨迹 C的方程为 2390xy（）将曲线 与直线 l联立：2m，消 y得： 2246390xm，直线 l与曲线 交于 AB、 两点，设 3(,)x， 4(,)B， 22364(390)m210，又 0，得 210，34x， 34x， 212|()|ABk22293903(4)18mm，点 O到直线 :0xy的距离 |d，213|82ABCS23(60)m26031531m，当
12、 260m时等号成立，满足（*）三角形 O面积的最大值为 521 【解析】 （）32()ln(1)xfax，求导， 2()1afxx，由 2x为 f的极值点，则 ()0f，即 02a，解得： 0，当 0a时， 2()(2)fxx，从而 2为函数的极值点，成立， 的值为 0；（） ()fx在 3,)单调递增，则 2()1afxx22()()1ax，则22 (1(0axa在区间 3,)上恒成立，当 0时， )f在区间 ,上恒成立， ()fx在区间 3,上单调递增，故 0a符合题意；当 0a时，由 ()fx的定义域可知： 1x，若 ，则不满足条件 10a在区间 3,)上恒成立，则 0a，则 22(1
13、)()xx，对区间 ,)上恒成立，令 ga，其对称轴为 12xa，由 0a，则 12，从而 ()gx在区间 3,)上恒成立，只需要 0即可，由 2(3)1ga，解得： 313122a，由 0，则 3，综上所述， a的取值范围为 130,2；（）当 1时，方程 ()xbf，转化成 2ln(1)bxx，即 2()bx1ln)，令 1t，则 2lntt在 (0,)上有解，令 ()h， ，求导 1(21)tt，当 0时， )0ht，故 ht在 (0,)上单调递增；当 1t时， ()0ht，故 ()ht在 1,)上单调递减；()在 ,上的最大值为 max(0，此时 10xt， 2(ln)btt，当 a时
14、，方程3)1xbf有实数根，则 b的最大值为 022 【解析】 （）由 cosiny， 22y，得圆 21:4Cx的极坐标方程为 ，圆 22()y，即 2:4Cxy的极坐标方程为 4cos，解 4cos，得： ， 3，故圆 12,C的交点坐标为 (2,)， (,)注：极坐标系下，点的表示不唯一（）由 cosinxy，得圆 12,C的交点的直角坐标 (1,3)， (,)，故 12,C的公共弦的参数方程为 xyt， 3t23 【解析】 （）因为 ()|21|f(21)(3)|4x，所以 |13|4a，即 513a，所以实数 的取值范围为 (,)；（） 324(|1|2|0m，即 |1|8，所以不等式等价于32(1)()8m或1328或 2(1)(3)8，所以 352m，或 132，或 12m，所以实数 的取值范围是 5|
