1、2018 届湖南省郴州市一中高三十二月月考文科数学（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】故选2. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，则 故选3. 双曲线 的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】在双曲线的标准方程中， ，由题意得双曲线焦点在 轴上，所以渐近线方程为故选4. 已知 且 ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
2、条件【答案】C【解析】当 时，即 ，解得当 时，即 ， ，故当 且 ，则“ ”是“ ”的充要条件；故选5. 九章算术一书中，第九章“勾股”中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步.问勾中容圆径几何？”其意思是， “今有直角三角形，短的直角边长为 8 步，长的直角边长为 15 步，问该直角三角形能容纳圆的直径最大是多少？”通过上述问题我们可以知道，当圆的直径最大时，该圆为直角三角形的内切圆，则往该直角三角形中随机投掷一点，该点落在此三角形内切圆内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，直角三角形，斜边长为 ，由等面积可得内切圆半径则往该直角三角形中随机投掷一点，该点落在此三
3、角形内切圆内的概率是故选6. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则（ ）A. 若 ， ， ，则B. 若 ， ， ，则C. “直线 与平面 内的无数条直线都垂直”是“直线 与平面 垂直”的充分不必要条件D. 若 ， ， ，则【答案】D【解析】对 A，符合条件的直线可能 ，故不正确；对 B,两个垂直平面内的两条直线不一定垂直，故不正确；对 C, 直线 与平面 内的无数条直线垂直,并不能推出直线垂直平面内的任意一条直线，故不正确；对 D，根据平面垂直的定义，可证明两个平面垂直，故正确.7. 已知实数 满足 ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】综上所述，故故选8. 运行
4、如图所示的程序框图，若输出的 的值为 480，则判断框中可以填（ ）A. B. C. D. 【答案】B9. 将函数 的图像向右平移 个单位后，得到函数 的图像，则函数 图像的对称轴方程不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得：令 ，当 时， 正确；当 时， 正确；当 时， 正确；故选10. 如图所示，在 中， ， ， ， ，点 是线段 的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ，且，点 是线段 的中点，则故选点睛：本题考查了向量的综合运用，要求向量的点乘运算，先求出各边长，本题较为困难的在于向量之间的转换， ，另一种方法，可以建立平面直角坐标系，给
5、出各点坐标，即可计算出结果11. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. 16 D. 【答案】A【解析】根据三视图可知，该几何体是一个底面一边长为 4，对应高为 4 的三角形，高为 4 的三棱锥。如图所示，所以 选 A。12. 若 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ， ， ，令 ，在 上单调递增， ，在 上单调递减实数 的取值范围为故选点睛：分类参数 ，构造函数 ，利用导数，观察法等判断函数的单调性，求解函数的最值问题，来解决若 ，存在 恒成立，即可求得答案。二、填空
6、题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，且点 在椭圆 上，则椭圆 的标准方程为_【答案】【解析】由题意长轴长是短轴长的 倍，且点 在椭圆 上得解得 ，所以椭圆 的标准方程为14. 某校高三年级有男生 220 人，学籍编号为 ；女生 380 人，学籍编号为 .为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这 600 名学生中抽取 75 人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的学籍编号为 5） ，则女生被抽取的人数为_人【答案】48【解析】由题意共 600 名学生，要抽取 75 人，按照系统抽样则分为每组 ，即 8 人一组，第
7、一组抽到的学籍编号为 5，则男生抽取人数为 ，所以男生抽取人数为 27，则女生被抽取人数为75-27=48 人15. 已知实数 满足 ，则 的最大值为_【答案】【解析】如图先画出其可行域，要求 的最大值为，则需要求出 的最小值，当 时，取值最小值 ，所以 的最大值为点睛：本题主要考查的是线性规划的基本应用，利用的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决，做出平面区域，分析目标函数的几何意义，然后判断目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解。16. 设 为数列 的前 项和， ，若 ，则 _【答案】【解析】当 为奇数时， ，则 ， ， ， ，当 为偶数时， ，则 ， ， ， ，又，故
8、答案为：三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 的内角 的对边分别为 ，若 ，且 .（1）求 的值；（2）当 的面积取最大值时，求的值.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：利用正弦定理和和差公式即可得出；利用余弦定理，基本不等式的性质，三角形的面积计算公式即可得出；解析：（1）因为 ，由正弦定理可得 ，即 ，即可得 ，故（2）依题意， 的面积 ，故只需 最大即可；由余弦定理 ，即 ，结合基本不等式可得 ，当且仅当 时取“ ”，所以当 的面积取最大值时， .18. 为了调查观众对某热播电视剧的喜爱程度，某电视台在甲、乙两地各
9、随机抽取了 8 名观众作问卷调查，得分统计结果如图所示：（1）计算甲、乙两地被抽取的观众问卷的平均得分；（2）计算甲、乙两地被抽取的观众问卷得分的方差；（3）若从甲地被抽取的 8 名观众中再邀请 2 名进行深入调研，求这 2 名观众中恰有 1 人的问卷调查成绩在 90 分以上的概率.【答案】 （1）85,85 (2)35.5，41（3）【解析】试题分析：利用茎叶图数据，即可求出答案；根据茎叶图数据，利用方差公式即可求解；从 人中任取 人，利用列举法能求出参加调研的观众中恰有 人的问卷调查成绩在 分以上的概率；解析：（1）依题意， ，；(2) ，（3）依题意，所有的事件的可能性为 ，共 28 种
10、，其中满足条件的为 ，共 12 种，故所求概率 .19. 已知三棱锥 如图所示，其中 ， ，二面角 的大小为.（1）证明： ；（2）若 为线段 的中点，且 ， ，求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：由二面角 的大小为 ，故平面 平面 ，由 ，故，再运用性质定理即可求证(2) 设 ,证得解得 ， ，利用等面积法求得 ，即可求出体积解析：（1）证明：因为二面角 的大小为 ，故平面 平面 ，又平面 平面 ， ，故 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 .（2）解：设 ，则 .由（1）可知， ，又 ，所以 .因为 ， ，所以 ，所以 ，即 .解得 ，故 ， ，设 到平面 的距离为 ，所以有 ，得 .故 .20. 已知抛物线 的焦点为 .（1）若抛物线 的焦点到准线的距离为 4，直线 ，求直线截抛物线 所得的弦长；（2）过点 的直线交抛物线 于 两点，过点 作抛物线的切线，两切线相交于点 ，若 分别表示直线 与直线 的斜率，且 ，求 的值.【答案】 （1）10（2） 或 .
