1、2018 届湖南省常德市高三上学期检测考试（期末）数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,选 C.2. 已知复数 是纯虚数（其中为虚数单位， ）则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ,所以 ,的虚部为 1,选 B3. 如果随机变量 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,所以 0.5- =0.5-0.3=0.2选 C.4. 元朝著名数学家朱世杰
2、四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”其意思为：“诗人带着装有一倍分酒的壶去春游，先遇到酒店就将酒添加一倍，后遇到朋友饮酒一斗，如此三次先后遇到酒店和朋友，壶中酒恰好饮完，问壶中原有多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的 ，那么在 这个空白框中可以填入（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为将酒添加一倍，后饮酒一斗，所以 ，选 B 学科网.学科网.学科网.学科网.学科网.5. 已知等差数列 的公差和首项都不为 ，且 成等比数列，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 成等比数列
3、得 ，选 C6. 将 个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A. 种 B. 种 C. 种 D. 种【答案】A【解析】最左端排甲时，有 种排法最左端排乙时，有 种排法所以共有 种排法，选 A.7. 将函数 的图像向右平移 个单位，得到函数 的图像，则下列说法不正确的是（ ）A. 的周期为 B. C. 是 的一条对称轴 D. 为奇函数【答案】C【解析】由题意得 ，所以周期为 ， ， 不是 的对称轴， 为奇函数，选 C8. 函数 的部分图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，所以舍去 D,B;舍 A,选 C点睛：有关函数图象识别问题的常
4、见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧： （1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势； 由函数的奇偶性，判断图象的对称性； 由函数的周期性，判断图象的循环往复(2)由实际情景探究函数图象关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题9. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，所以 因此 ，选 D点睛： (1)形如 的递推关系式可以化为 的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量 x 是关键，可由待定系数法确定.(2)形如 (A， B，
5、C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.10. 已知函数 （其中 ） ，则下列选项正确的是（ ）A. ，都有 B. ，当 时，都有C. ，都有 D. ，当 时，都有【答案】B【解析】因为当 时， ，所以舍去 C,D因为 ，所以 A 错，选 B.11. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】几何体为如图，所以外接球的半径 R 满足 ,体积为 ，选 D点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几
6、何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.12. 已知 分别为双曲线 的左右顶点，两个不同动点 在双曲线上且关于 轴对称，设直线 的斜率分别为 ，则当 取最小值时，双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 所以 = 选 A点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分
7、 20 分，将答案填在答题纸上）13. 设向量 的夹角为，且 ，则 _【答案】【解析】 14. 设 满足条件 ，则目标函数 的最小值为_【答案】【解析】可行域如图，直线 过点 A 时取最小值点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15. 已知抛物线 ，直线 ，直线与抛物线 相交于 两点，且 的延长线交抛物线 的准线于 点， （其中 为坐标原点）,则 _【答案】【解析】由 得 B 为 AC 中
8、点，所以 由 得 16. 设函数 ，若函数 有四个零点，则实数 的取值范围为_【答案】【解析】由题意得方程 有两个不等正根所以 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 的内角 的对边分别为 ，已知 .（1）求 ；（2）若 ，求 面积的最大值.【答案】 （1） .（2） .【解析】试题分析:（1）先根据正弦定
9、理将边角关系化为角的关系，再根据三角形内角和以及两角和正弦公式化简得 ，解得 ；（2）根据余弦定理可得 ，再利用基本不等式求 最值，代入三角形面积公式可得 面积的最大值.试题解析：（1）由已知 及正弦定理得 .又 ，故 .由和 得 ，又 ，所以 .（2） 的面积由已知及余弦定理得又 ，故 ，当且仅当 时，等号成立.因此 面积的最大值为 .18. 年 月某城市国际马拉松赛正式举行，组委会对 名裁判人员进行业务培训，现按年龄（单位：岁）进行分组统计：第 组 ，第 组 ，第 组 ，第 组 ，第 组 ，得到的频率分布直方图如下：（1）培训前组委会用分层抽样调查方式在第 组共抽取了 名裁判人员进行座谈，
10、若将其中抽取的第组的人员记作 ，第 组的人员记作 ，第 组的人员记作，若组委会决定从上述 名裁判人员中再随机选 人参加新闻发布会，要求这 组各选人，试求裁判人员 不同时被选择的概率；（2）培训最后环节，组委会决定从这 名裁判中年龄在 的裁判人员里面随机选取 名参加业务考试，设年龄在 中选取的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】 （1） ;（2）见解析.【解析】试题分析:（1）先根据分层抽样确定来自第 组的人数，即得从这三组抽一人的总事件数，再确定裁判人员 同时被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率，根据对立事件概率关系求结果（2）先确定随机变量取法，再利用组合数求对应概率，列
11、表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望试题解析：（1）各组频率分别为： ，这 人中，来自各组的分别有 人，分层抽样后，来自第 组的分别有 人，当分别从这三组抽一人有 种情况，记事件“裁判人员 不同时被选中 ”则 “裁判人员 同时被选中” ，故 为所求.（2）随机变量的可能取值为 ，且有：故分布列为：的数学期望为： .19. 如图，四棱锥 中， 平面 .（1）求证：平面 平面 ；（2）若 ，且 ，求二面角 的平面角的大小.【答案】 （1）见解析;（2） .【解析】试题分析:（1）根据几何条件得 ，再根据 平面 得 ，由线面垂直判定定理得 平面 ，最后根据面面垂直判定定理得结论（ 2）先根据条件
12、建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，由向量数量积得向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求二面角大小试题解析：（1）证明：点 在线段 的中垂线上，即有又 平面 ，而 平面 ，又 平面 平面 平面（2）设 ，由（1）可知，可建立如图空间直角坐标系 ，不妨设 ，又 ，易知， ，而 ，在 中， ，则设平面 的法向量为 ，则 ，而，不妨设 ，则可取同理可得平面 的法向量为设二面角 的平面角为则二面角 的平面角为 .20. 已知圆 的一条直角是椭圆 的长轴，动直线 ，当过椭圆 上一点 且与圆 相交于点 时，弦 的最小值为 .（1）求圆即椭圆 的方程；（2）若直线是椭圆 的一条切线， 是切线上两个点，其横坐标分别为 ，那么以 为直径的圆是否经过 轴上的定点？如果存在，求出定点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） .（2）过定点 与 .【解析】试题分析:（1）先根据垂径定理求半径，再根据点在椭圆上解得， （2）设点的坐标，化简条件，再联立切线方程与椭圆方程，根据判别式为零得等量关系，代入并化简可得，即得结论试题解析：（1）当 时， 最小， ，由已知，可知 ，又点 在椭圆上 上，综上，圆 的方程为 ，椭圆 的方程为 .（2）联立方程 ，得到 ，由与椭圆相切，得到，
