1、湖南师大附中 2018 届高三月考试卷(一)数 学(理科)审题：高三备课组(考试范围：高考全部内容(除选考部分)得分： 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集 U R，集合 A x|1x4，集合 B x|2 x5，则 A(UB)(B)(A)x|1x2 (B)x|1x 2(C)x|x2 (D)x|x5故选 B.(2)若 ab0，cd0，则一定有(B)(A) (B) (C) (D) ad bc ad bc ac bd ac bd【解析】c d0， 0， 0，而1d 1c 1d 1cab0， 0， ，故选 B.ad
2、 bc ad bc(3)一个几何体的三视图及其尺寸( 单位：cm) 如图所示，则该几何体的侧面积为(C)(A)48 cm2 (B)144 cm2 (C)80 cm2 (D)64 cm2【解析】三视图复原的几何体是正四棱锥，斜高是 5 cm，底面边长是 8 cm，侧面积为48580(cm 2).故选 C.12(4)命题“若ABC 有一内角为 ，则 ABC 的三内角成等差数列 ”的逆命题(D)3(A)与原命题同为假命题 (B)与原命题的否命题同为假命题(C)与原命题的逆否命题同为假命题 (D)与原命题同为真命题【解析】原命题显然为真，原命题的逆命题为“若ABC 的三内角成等差数列，则ABC 有一内
3、角为 ”，它是真命题.故选 D.3(5)函数 f(x)ln(x 22)的图象大致是 (D)【解析】由已知，函数为偶函数，所以 C 错；函数的定义域为 R，所以 B 错；令x 0，f (0)ln 20，所以 A 错；故选 D.(6)设函数 f(x) Error!则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是(C)(A)1,2 (B)0,2 (C)0， ) (D)1，)【解析】当 x1 时，2 1x 2，解得 x0，又因为 x1，所以 0x1；当 x1 时，1log 2x2，解得 x ，又因为 x1，所以 x1.故 x 的取值范围是 0，). 故选 C.12(7)m( ，2)是方程 1 表示的图形为双曲
4、线的 (A)x2m 5 y2m2 m 6(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【解析】当 m2 时，m50，m 2m6(m 3)(m2) 0，所以此方程表示焦点在 y 轴上的双曲线；反之，若此方程表示双曲线，则 m 2 不成立.如 m4 也表示双曲线.所以 m( ， 2)是方程 1 表示的图形为双曲线的充分不必要条件.x2m 5 y2m2 m 6(8) 的值为(C)122 1 132 1 142 1 1(n 1)2 1(A) (B) n 12(n 2) 34 n 12(n 2)(C) (D) 34 12( 1n 1 1n 2) 32 1n 1 1n
5、 2【解析】 ，1(n 1)2 1 1n2 2n 1n(n 2) 12(1n 1n 2) 122 1 132 1 142 1 1(n 1)2 1 12(1 13 12 14 13 15 1n 1n 2) .12(32 1n 1 1n 2) 34 12( 1n 1 1n 2)(9)在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，bc，且满足 ，若点 O 是 ABC 外一点，AOB (0 ) ，OA2OB2，则平面四sin Bsin A 1 cos Bcos A边形 OACB 面积的最大值是(A)(A)2 (B)1 (C)3 (D)2 【解析】由已知得 sin(AB)sin Asin
6、534 534 52Csin A c a，又 bc ，ABC 为等边三角形，AB254cos ，S OACB 12sin AB2sin cos 12 34 3 2sin 2 ，选 A.534 ( 3) 534 534(10)ABC 中，A90 ，AB2，AC1，设点 P、Q 满足 ， (1) ，AP AB AQ ACR.若 2，则 (A)BQCP(A) (B) (C) (D)213 23 43【解析】以点 A 为坐标原点，以 为 x 轴的正方向， 为 y 轴的正方向，建立平面直AB AC角坐标系，由题知 B(2,0)，C (0,1)，P(2，0)，Q (0,1)， (2,1)， (2 ，1)，
7、BQ CP 2 ，13 2，解得 ，故选 A.BQCP13(11)已知抛物线 y24x，圆 F：(x1) 2y 21，过点 F 作直线 l，自上而下依次与上述两曲线交于点 A，B，C，D( 如图所示) ，则有| AB|CD|(A)(A)等于 1(B)最小值是 1(C)等于 4(D)最大值是 4【解析】设直线 l：x ty 1，代入抛物线方程，得 y24ty40.设 A(x1，y 1)，D(x2，y 2)，根据线定义得|AF |x 11，| DF|x 21，故|AB| x 1，|CD| x 2，所以|AB|CD|x 1x2 ，而 y1y24，代入上式，得|AB| CD|1.故选 A.y214y2
8、4 (y1y2)216(12)已知函数 f(x)满足 f(x)1 ，当 x0,1时，f(x) x，若在区间(1,1上方程1f(x 1)f(x) mxm 0 有两个不同的实根，则实数 m 的取值范围是 (D)(A) (B) (C) (D)0，12) 12， ) 0，13) (0，12【解析】方程 f(x)mx m0 有两个不同的根f (x)m(x1) 有两个不同的根yf (x)与函数 ym(x1)的图象有两个不同的交点，当 x(1,0)时，x1(0,1)，f(x) 1 ， f(x) 1，1f(x 1) 1x 1 1x 1所以 f(x)Error!在同一坐标系内作出 yf( x)，x(1,1与 y
9、m (x1)的图象，由图象可知，当两个函数图象有两个不同公共点时，m 的取值范围为 .(0，12二、填空题，本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.(13)设a n是由正数组成的等比数列，S n为其前 n 项和.已知 a2a41，S 37，则其公比q 等于 .12【解析】 an是由正数组成的等比数列，且 a2a41，设 an的公比为 q，则 q0，且 a 1，即 a31.23S37， a1a 2a 3 17，即 6q2q10.1q2 1q故 q 或 q (舍去)， q .12 13 12(14)某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费 y
10、2 与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站 10 公里处建仓库，这两项费用 y1和 y2 分别为 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 5 公里处.【解析】设 x 为仓库与车站距离，由已知 y1 ，y 20.8 x.费用之和 yy 1y 20.8x20x2 8，当且仅当 0.8x ，即 x5 时“”成立.20x 0.8x20x 20x(15)已知函数 f(x)x 2x，x ，y 满足条件Error!若目标函数 zaxy (其中 a 为常数)仅在处取得最大值，则 a 的取值范围是 ( 1,1) .(12，12)【解析】由已知得Error!即Error!目标函数 za
11、xy (其中 a 为常数)仅在 处取得最大值，(12，12)即 yaxz 在过点 时在 y 轴的截距最大，如图，知所求 a 的取值范围是(1,1).(12，12)(16)给定集合 Aa 1，a 2，a 3，a n(nN ，n3) ，定义 aia j(1ijn，i，j N )中所有不同值的个数为集合 A 两元素和的容量，用 L(A)表示 .若 A2,4,6,8，则 L(A) 5 ；若数列a n是等差数列，设集合 Aa 1，a 2，a 3，a m(其中 mN *，m 为常数)，则 L(A)关于 m 的表达式为 2m3 .【解析】246,268,2810,4610,4812,6814， L(A)5.
12、不妨设数列a n是递增等差数列可知 a1a 2a 3 am，则a1a 2a 1a 3a 1a m a2a ma m1 a m，故 aia j(1ij m )中至少有2m3 个不同的数.又据等差数列的性质：当 i jm 时，a ia ja 1a ij1 ；当 ijm 时，a ia ja ij ma m，因此每个和 aia j(1ijm)等于 a1a k(2km )中一个，或者等于 ala m(2lm1)中的一个.故 L(A)2m 3.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第(17)(21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)，(23)题为选考题，考生根据要
13、求作答.(一)必考题：60 分.(17)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)asin x bcos x，a0，x R，f 1，f(x)的最大值是 2.(23)() 求 a、b 的值；() 先将 f(x)的图象上每点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，再将其向右平移 个12 6单位得到函数 g(x)的图象，已知 g ， ，求 cos 2的值.( 4) 1013 (6，2)【解析】() 由已知有：Error!解之得：Error! 3 分() 由() 有 f(x) sin x cos x2sin ，5 分3 (x 6)因为将 f(x)的图象上每点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，再将其向右平
14、移 个单12 6位得到函数 g(x)的图象，则 g(x)2sin ，7 分(2x 6)由 g ， 得 sin ，且 2 ，( 4) 1013 (6，2) (2 3) 513 3 (23，)则 cos ，10 分(2 3) 1213cos 2cos cos cos sin sin(2 3) 3 (2 3) 3 (2 3) 3 .12 分121312 513 32 53 1226(18)(本小题满分 12 分)如图，平行四边形 ABCD 中，DAB60 ，AB2AD 2，M 为 CD 边的中点，沿 BM将 CBM 折起使得平面 BMC平面 ABMD. ()求证：平面 AMC平面 BMC；()求四棱
15、锥 CADMB 的体积；() 求折后直线 AB 与平面 ADC 所成的角的正弦值 . 【解析】() 平面 BMC平面 ABMD，平面 BMC平面 ABMDMB，由题易知 AMMB ，且 AM 平面 ABMD， AM平面 BMC，而 AM平面 AMC，平面 AMC平面 BMC. 3 分()由已知有CMB 是正三角形，取 MB 的中点 O， 则 COMB.又平面 BMC平面 ABMD 于 MB，则 CO平面 ABMD，且 CO ，5 分32易求得 S 梯形 ABMD ，334VCABDM .7 分13334 32 38()作 MzCO，由()知可如图建系，则 A( ，0,0) ， B(0,1,0)
16、，C ， ( ，1,0).3 (0，12，32) AB 3又 得 D ，MD12BA ( 32， 12，0) ， .9 分CA (3， 12， 32) CD ( 32， 1， 32)设平面 ACD 的法向量 n(x ， y，z) ，则Error! 得 n(1， ，3).3设折后直线 AB 与平面 ADC 所成的角为 ，则 sin .12 分|nAB|n|AB| 3913(19)(本小题满分 12 分)一商家诚邀甲、乙两名围棋高手进行一场网络围棋快棋比赛.每比赛一局商家要向每名棋手支付 2 000 元对局费，同时商家每局从转让网络转播权及广告宣传中获利 14 000 元.从两名棋手以往的比赛中得
17、知： 甲每局获胜的概率为 ，乙每局获胜的概率为 ，两名棋手约35 25定：最多下五局，先连胜两局者获胜，比赛结束，比赛结束后，商家为获胜者颁发 5 000 元的奖金，若没有决出获胜者则各颁发 2 500 元.()求下完五局且甲获胜的概率是多少？()商家从这场网络棋赛中获得的收益的数学期望是多少？【解析】() 设下完五局且甲获胜为事件 A，则 5 局的胜负依次为： 乙胜、甲胜、乙胜、甲胜、甲胜.P(A) 3 2 .4 分(35) (25) 1083 125() 设 表示比赛的局数， 表示商家相应的的收益.则 (14 00022 000)5 00010 0005 000，根据题意 可取 2,3,4
18、,5.P(2) 2 2 ；(35) (25) 1325P(3) 2 2 ；25(35) 35(25) 625P(4) 3 3 ；25(35) 35(25) 78625P(5)2 2 2 或 P(5)1P( 2)P(3)P( 4) .10 分(25) (35) 72625 72625E2 3 4 5 ，1325 625 78625 72625 1 772625E 10 000E 5 00028 352 5 00023 352. 商家从这场网络棋赛中获得的收益的数学期望是 23 352 元. 12 分或单设 为收益，可取 15 000,25 000,35 000,45 000.相应的概率与上同，再
19、求 E.(20)(本小题满分 12 分)已知抛物线的方程 x22y ，F 是其焦点，O 是坐标原点，由点 P(m，3)( m 可为任何实数)向抛物线作两条切线，切点分别是 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2).()求证： 3；OAOB()证明直线 AB 过定点并求 ABO 与 AFO 面积之和的最小值.【解析】() 由 y 得 yx，设由点 P(m，3)向抛物线作切线的切点的坐标是x22，(x，x22)则切线的斜率等于点 P 与切点连线的斜率，即：x ，2 分x22 ( 3)x m得 x22mx60，设切点 A ，B ，则 x1x2 6，(x1，x212) (x2，x22)故 x 1x2
20、6 3.5 分OAOBx212x22 ( 6)24另法：设切线方程：y3k(xm) 与 x22y 联立得：x 2kxmk30，其判别式 k24(mk 3)0，得两条切线的斜率之积 k1k2 12，切点横坐标 x ，两切点的横坐标之积 x1x2 6，再后同上.k2 k12k22()设直线 AB 的方程为：y kxb，代入 x22y 整理得：x 22kx2b0，设 A ，B ，则 x1x22b6，即 b3，(x1，x212) (x2，x22)即直线 AB：ykx3 过定点 D(0,3).8 分因为 x1x260，不妨设 x10x 2，SABOS AFO |OD|(|x1| x2|) |OF|x1|
21、12 12 (x2 x1) x1 x2 2 3 ，32 14 32 212x2 32x2212x2 7当且仅当 x2 即 x2 时取等号.32 212x2 7此时面积之和取最小值 3 .12 分7(21)(本小题满分 12 分)()已知函数 f(x) ，x ，求 f(x)的最大值；x(1 x2)x2 1 12，1()已知函数 g(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x1 时取得极大值 1.ax bx2 c()求 g(x)的表达式；()若 x1 ，x n1 g( xn)，nN ，求证：12 .(x2 x1)2x1x2 (x3 x2)2x2x3 (xn 1 xn)2xnxn 1 310【解析】(
22、) f(x) .(1 3x2)(x2 1) 2x(x x3)(x2 1)2 1 4x2 x4(x2 1)2 5 (x2 2)2(x2 1)2易知当 x 时，恒有 f(x)0，f max(x)f .3 分12，1 (12) 310()()由已知有 g(0)0b 0，则 g(x) ，axx2 cg(x) ，a(x2 c) 2ax2(x2 c)2 ac ax2(x2 c)2当 x1 时 g(x)取得极大值 1，则 g(1)0a(c1)0，又 a0(否则有 g(x)0，不合题意，则 c1.而 g(1) 1a2，则 g(x) .7 分a1 1 2xx2 1()由 x1 及 xn1 g( xn) 易知 x
23、n0x n1 112 2xnx2n 1 2xnx2n 1 2xn 1xnx n1 x n 0xn(1 xoal(2,n)x2n 1x n是满足 xn1 x n且 xn ，nN ，12，1则由() 知x n1 x n ，9 分xn(1 xoal(2,n)x2n 1 310 (x n1 x n) ，(xn 1 xn)2xnxn 1 (xn 1 xn)xnxn 1 310(xn 1 xn)xnxn 1 310(1xn 1xn 1) (x2 x1)2x1x2 (x3 x2)2x2x3 (xn 1 xn)2xnxn 1310(1x1 1x2 1x2 1x3 1xn 1xn 1) ，310(1x1 1xn 1)而 x1 且 xn1 ，则 0,1 ，12 12，1 1x1 1xn 1 得证.12 分(x2 x1)2x1x2 (x3 x2)2x2x3 (xn 1 xn)2xnxn 1 310(1x1 1xn 1) 310
