1、2017届湖南师大附中高三上学期第三次月考试题 数学（理）数学（理科）第卷一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 ，则 （ ）2|log1,|2,0xAxByABA B C D| |1x22.将直线 绕原点逆时针旋转 90，再向右平移 1个单位，所得到的直线为（ ）3yxA B C D113yx3yx13yx3. 已知命题 ；命题 ，则下列命题为真命题的是（ :,02xpx:0,sin2q）A B C Dpqqpp4. 某工厂生产某种产品的产量 （吨）与相应的生产能耗 (吨标准煤)有如下几组样本数据：xyx3 4 5 6y
2、2.5 3 4 4.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）A B C D0.72.5yx0.71yx0.7.35yx0.7.45yx5.已知 ，则 的值为（ ）3sincos2A B C D2457546.等比数列 中， ， ，则数列 的前 8项和等于（ ）na42,algnaA6 B5 C4 D37.已知 ，则 的最小值为（ ）0821aA B4 C D25728.已知 为单位向量，且 ，向量 满足 ，则 的范围为( ),ababc2abcA B C D122,3,29.已知两定点 和 ，动点 在直线
3、 上移动，椭圆 以 为焦点且经过1,0Pxy:xl C,AB点 ，则椭圆 的离心率的最大值为( )PCA B C D5251010.已知偶函数 对于任意的 满足 （其中 是函数yfx,2xcosin0fxfxfx的导函数） ，则下列不等式中成立的是( )fxA B 234ff234ffC D0ff6ff11.定义 ，已知实数 满足 ，设 ，则 的max,ab,xy2,ymax4,3zyz取值范围是( )A B C D7,106,106,87,812. 将圆的一组 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录 个点的n kn颜色，称为该圆的一个“ 阶色序”，当且仅当两个 阶色序
4、对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称kk为不同的 阶色序若某圆的任意两个“ 阶色序”均不相同，则称该圆为“ 阶魅力圆” “3阶魅力圆”k中最多可有的等分点个数为( )A4 B6 C8 D10第卷二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 .13.如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，函数 .若在矩形 内随机取一点，A1,02,42fxABCD则此点取自阴影部分的概率等于_.14.若 ，则 _.523450112xaxaxx135a15.对于数列 ，若对任意 ，都有 成立，则称数列 为“减差数列”.设n*nN2nnnx，若数列 是“减差数列” ，则实数 的取值范围是21nntb*567,5,
5、nbN t_.16. 如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 ，在它的顶点处分别受力 ，每个力与106kg123,F同它相邻的三角形的两边之间的角都是 60，且 .要提起这块钢板， 均要大于 ，23F xkg则 的最小值为_.x三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12分）在 中，角 所对的边分别为 ，且 ABC、 、 abc、 、 02,6C（1）求 的值；sinab（2）若 ，求 的面积ABC18.（本小题满分 12分）为了参加师大附中第 30届田径运动会的开幕式，高三年级某 6个班联合到集市购买了 6根竹竿，作为班旗之用，它们的长度分别为 3.8，4
6、.3，3.6，4.5，4.0.4.1（单位：米） （1）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过 0.5米的概率；（2）若长度不小于 4米的竹竿价格为每根 10元，长度小于 4米的竹竿价格为每根 元，从这 6 根竹竿中a随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为 18 元，求 的值a19.（本小题满分 12分）已知正三棱柱 中 ，点 为 的中点，点 在线段 上1ABC12,3ABDACE1A（1）当 时，求证： ；1:2AE1DEBC（2）是否存在点 ，使二面角 等于 60？若存在，求 的长；若不存在，请说明理由AAE20.（本小题满分 12分）如图，抛物线 与双曲线 有公共焦点 ，点 是曲线
7、 在第21:8Cyx2:10,xyCab2FA12,C一象限的交点，且 25AF（1）求双曲线 的方程；2C（2）以 为圆心的圆 与双曲线的一条渐近线相切，圆 已知点 ，过点1FM2:1Nxy,3P作互相垂直且分别与圆 、圆 相交的直线 和 ，设 被圆 截得的弦长为 ， 被圆 截得的弦PN1l21lMs2lN长为 试探索 是否为定值？请说明理由tst21.（本小题满分 12分）设函数 的图象在点 处的切线的斜率为 ，且函321,0fxabxcaR,xf kx数 为偶函数若函数 满足下列条件： ；对一切实数 ，不等式gkkx10k恒成立 2x（1）求函数 的表达式；kx（2）设函数 的两个极值点
8、 恰为212ln30fxhxm122,x的零点当 时，求 的最小值2lst21212y请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 的极坐标方程为1C210cosinxy 2C2cos6in（1）将曲线 的参数方程化为普通方程，将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；1 2（2）在同一坐标系下，曲线 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由12,C23. （本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲设对于任意实数 ， 不等式 恒成立 x7xm（1）
9、求实数 的取值范围；m（2）当 取最大值时，解关于 的不等式： 321x参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A C C B C D B A D A C二、填空题13. 14122 15 16105123,5三、解答题又 ，所以 ，解得 或 （舍去） 10 分ab2340ab4ab1所以 12 分1sinABCS18解析：（1）因为 6 根竹竿的长度从小到大依次为 3.6，3.8，4.0，4.1，4.3，4.5，其中长度之差超过0.5 米的两根竹竿长可能是 3.6 和 4.3，3.6 和 4.5，3.8 和 4.5 3 分设“抽取两根竹竿的长度之
10、差不超过 0.5 米”为事件 ，则A，所以 ，故所求的概率为 6 分26315PAC1415PA45（2）设任取两根竹竿的价格之和为 ，则 的可能取值为 7 分2,0,a其中 10 分1 224426 6 618,0,5515CCPaPaP 所以 11 分83E令 ，得 12 分240183a7a19 （1）证明：连接 ，1DC因为 为正三棱柱，所以 为正三角形，1ABABC又因为 为 的中点，所以 ，又平面 平面 ，平面 平面 ，C11AC所以 平面 ，所以 4 分BDABDE因为 ，所以 ，11:2,3AEBA3,1AED所以在 中， ，RtD0E在 中， ，所以 ，即 1C16019C1
11、C又 ，B所以 平面 面 ，所以 6 分E1,B1D1EB（2）假设存在点 满足条件，设 ，EAEm取 的中点 ，连接 ，则 平面 ，1AC1D11DABC所以 ， 7 分,B分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 ，1、 、 ,xyzDxyz则 ，1,0,30,AEm所以 ，,1,30,DBABAEm设平面 的一个法向量为 ，1nxyz则 ，令 ，得 ，1103,0nyExmzA11,0n同理，平面 的一个法向量为 ，B22,xyz则 ，取 ， 10 分2203,0nAxyEz2123,10n ，解得 ，0122cos,cos61mm故存在点 ，当 时，二面角 等于 60 12 分EADB
12、EA20解析：（1）抛物线 的焦点为 ， 1 分21:8Cyx2,0F双曲线 的焦点为 2C12,0,F、设 在抛物线 上，且 ，0,Axy:8yx25AF由抛物线的定义得， ， 0503 ， 3 分2083y26y， 4 分1 7AF又点 在双曲线上，由双曲线定义得， ， 5 分275a1a双曲线的方程为： 6 分213yx（2） 为定值，下面给出说明：st设圆 的方程为： ，双曲线的渐近线方程为： ，M22xyr3yx圆 与渐近线 相切，圆 的半径为 7 分3yM221r故圆 8 分2:x依题意 的斜率存在且均不为零，所以12l、设 的方程为 ，即 ，31ykx30kyk设 的方程为 ，即
13、 ，2l1x点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ， 9 分M1l12kdN2l2231kd直线 被圆 截得的弦长 ， 10 分1l 2236311ksk直线 被圆 截得的弦长 ， 11 分2lN222t k ，故 为定值 12 分226363kskt st321解析：（1）由已知可得 ，2kxfaxbc函数 为偶函数，12gxkx ，12kx即 恒成立，22axbcxabc 1 分1又 ， ，0k10,22c又因为对一切实数 ，不等式 恒成立，x1kx 恒成立，210ac ，11402ac ， 4 分c24kxx（2）由（1）得， ，3211f 5 分22 1ln0, xmhxxmx
14、hx由题意得 ，又 ， ，124xA322129A解得 7 分120 为 的零点，1,x2lnxstx ，2 2112ln0,l0ststx两式相减得， ，1212122lxxt又 ，从而stx121212121212xxyxsxt 121122lnlnx设 ，则 记为 10 分120x121211ln02xy Mn，220nnM 在 上单调递减，10, ，min2ln3故 的最小值为 12 分1212xy213n22解：（1）由 （ 为参数）得 ，0cosiy210xy曲线 的普通方程为 ，1C21x ， ，2cos6incos6in有 即 为所求曲线 的直角坐标方程 5 分xy2230xy2C（2）圆 的圆心坐标 ，圆 的圆心坐标为 ，1C,02C1,3 ，所以两圆相交， 7 分2230设相交弦长为 ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段 ,d 12C ， ，即所求公共弦的长为 10 分222310d23解：（1） 可以看做数轴上的点 到点-7 和点 1 的距离之和，7xx ， 5 分min8（2）由（1）得 的最大值为 8，原不等式等价于： ，324x
