1、2018 届湖北省天门、仙桃、潜江高三上学期期末联考数学（理）试题（解析版）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内答在试题卷上无效第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是
2、符合题目要求的把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效1. 设集合 ， ， ，则 中的元素个数为A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】 ，四个元素，所以选 B.2. 在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是 3 和 4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A. B. C. D. 【答案】D【解析】外面大正方形边长为 5，所以大正方形面积为 25，四个全等的直角三角形面积为 ，因此概率为 选 D.3. 设 i 为虚数单位，
3、则下列命题成立的是A. 复数 是纯虚数B. 在复平面内 对应的点位于第三象限C. 若复数 ，则存在复数 ，使得D. ，方程 无解【答案】C【解析】当 a=3 时, 复数 是纯虚数; , 对应的点位于第一象限；若复数 ，则存在复数 = ，使得 ； ，方程 ；因此 C 正确，选 C.4. 等比数列 的前 n 项和为 ，已知 ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】设公比为 q,则 ，选 A. 5. 已知曲线 在点 处切线的斜率为 8，则A. 7 B. 4 C. 7 D. 4【答案】B【解析】 因为 选 B.6. 的展开式中 的系数是A. 56 B. 84 C. 112 D. 168【答案】D
4、【解析】因为 的展开式中 的系数为 ， 的展开式中 的系数为 ，所以 的系数为.故选 D.【考点定位】二项式定理7. 已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的体积是 A. 4cm3B. 5 cm3C. 6 cm3D. 7 cm3【答案】A【解析】几何体如图四棱锥，体积为 选 A.8. 函数 的图像如图所示，则 的值等于A. B. C. D. 1【答案】B【解析】由图知 ,所以 ，选 B.点睛：已知函数 的图象求解析式(1) .(2)由函数的周期 求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .9. 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 x 在 1，2
5、，3，24 这 24 个整数中等可能随机产生则按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 3 的概率为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】由程序框图知，输出 y 的值为 3 时 x 为 3 的倍数的偶数，即 ，概率为 ，选 C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10. 从抛物线 在第一象限内的一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且 ，设抛物线的焦点为 F，则直线 PF 的斜率为A. B. C.
6、 D. 【答案】C【解析】由抛物线定义得 ，选 C. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若 为抛物线 上一点，由定义易得 ；若过焦点的弦 AB 的端点坐标为 ，则弦长为 可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到11. 已知三点 共线，则 的最小值为A. 11 B. 10 C. 6 D. 4【答案】A【解析】由 共线得 ， ，当且仅当 时取等号，所以选 A.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一
7、边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12. 已知正方形 ABCD 的边长是 a，依次连接正方形 ABCD 各边中点得到一个新的正方形，由此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示现有一只小虫从 A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了 10 条线段设这 10条线段的长度之和是 S10，则 A. B. C. D. 【答案】C【解析】 所以 ，选 C.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是
8、利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题 共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13. 已知向量， 的夹角为 ， ，则 在方向上的投影为_【答案】【解析】由题意得投影为 14. 若实数 x，y 满足 ，则目标函数 的最小值为_【答案】【解析】作可行域如图，则直线 过点 A 时取最小值15. 如图 是椭圆 与双曲线 的公共焦点，A，B 分别是 在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2 为矩形
9、，则 的虚轴长为_【答案】2【解析】设双曲线 的半实轴长为 a, 半虚轴长为 b，则 因为 ，所以 即 的虚轴长为 2.16. 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 BC 的中点，点 P 在线段 D1E 上，点 Q 在线段 CC1 上 ，则线段 PQ 长的最小值为_【答案】【解析】线段 PQ 长的最小值为异面直线 D1E，CC1 之间距离，取 B1C1 中点 M，则 CC1/平面 EMD1,所以异面直线 D1E，CC1 之间距离为点 C1 到平面 EMD1 距离，由 得即线段 PQ 长的最小值为 .点睛：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何
10、体) 的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高或内切球的半径，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥) 的高，而通过直接计算得到高的数值三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第 1721 题为必做题，第 2223 为选做题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤把答案填在答题卡上对应题号指定框内17. 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 （）求 的值；（）若 ，求 的取值范围【答案】() ；() .【解析】试题分析：（1）先根据三角形内角关系以及诱导公式化简条件得
11、，即得 ， （2）根据余弦定理得 ，再根据 化一元函数，最后根据二次函数性质求值域得 的取值范围试题解析：（）由已知得 ，即有因为 ， 又 ， 又 ， ，（）由余弦定理，有 因为 ，有又 ，于是有 ，即有18. 如图，四棱锥 P-ABCD 中， PA平面 ABCD，E 为 BD 的中点，G 为 PD 的中点，DABDCB，EA=EB=AB=1， ，连接 CE 并延长交 AD 于 F（）求证：ADCG；（）求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值【答案】()证明见解析；() .【解析】试题分析：（1）根据平几知识得三角形全等得 EFAD，再根据条件 PA平面 ABCD，得GFAD，根据线面
12、垂直判定定理得 AD平面 CFG，即得结论， （2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求结果.试题解析：（）在ABD 中，因为点 E 是 BD 的中点，EA=EB=ED=AB=1，故因为DABDCB，EAB ECB ，从而有 ，故 EFAD， AF=FD又 PG=GD，FG/PA 又 PA平面 ABCD，GFAD ，故 AD平面 CFG又 平面 CFG，ADCF（）以点 A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则故 ， ，设平面 BCP 的法向量 ，则 ，解得 ，即设平面 DCP 的法向量 ，则 解得即 从
13、而平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值为点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 如图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天（）求此人到达当日空气重度污染的概率；（）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学
14、期望；（）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【答案】() ；()答案见解析；()从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大 .【解析】试题分析：（1）先确定空气重度污染日，再根据古典概型概率公式求概率为 ， （2）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式求期望，(3) 方差最大，即数据变化幅度最大，由图可得结论.试题解析：设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市” （i=1，2，13）根据题意， ，且（）设 B 为事件“ 此人到达当日空气重度污染” ，则 （）由题意可知，X 的所有可能取值为 0，1，2，且，X 的分布列为：X 0 1 2P故 X 的数学期望（）从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大20. 如图，椭圆的中心为原点 O，长轴在 x 轴上，离心率 ，过左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于A， 两点 （）求该椭圆的标准方程；（）取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P， ，过 P、 作圆心为 Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 Q 外若 ，求圆 Q 的标准方程
