1、2018 届湖北省天门、仙桃、潜江高三上学期期末联考数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效1. 设全集 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】故选2. 某学校为了了解高一、二、三这个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是A. 抽签法 B. 系统抽样法C. 分层抽样法 D. 随机抽样法【答案】C【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样.选 C考点：本题考查几种抽样方
2、法的概念、适用范围的判断，考查应用数学方法解决实际问题的能力.3. 若为实数，且 ，则=A. 1 B. 0 C. 1 D. 2【答案】B【解析】故选4. 在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是 3 和 4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A. B. C. D. 【答案】D【解析】外面大正方形边长为 5，所以大正方形面积为 25，四个全等的直角三角形面积为 ，因此概率为 选 D.5. 若双曲线 的一条渐近线与圆 有且只有一个公共点，则双曲线的离
3、心率为A. B. C. 2 D. 4【答案】C【解析】由题意得渐近线方程为故选6. 已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的体积是 A. 4cm3B. 5 cm3C. 6 cm3D. 7 cm3【答案】A【解析】几何体如图四棱锥，体积为 选 A.7. 若实数 x，y 满足 ，则目标函数 的最小值为A. 2 B. 0 C. 5 D. 【答案】D【解析】如图：当 时，即 时故选8. 函数 的图像如图所示，则 的值等于 A. B. C. D. 1【答案】C所以 ，选 B.点睛：已知函数 的图象求解析式(1) .(2)由函数的周期 求(3)利用“五点法”中相
4、对应的特殊点求 .9. 已知函数 ，则其单调增区间是A. （0，1 B. 0，1 C. （0，+） D. （1，+）【答案】D【解析】 ，定义域为令解得故函数 单调增区间是故选10. 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 x 在 1，2，3，24 这 24 个整数中等可能随机产生则按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 3 的概率为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】由程序框图知，输出 y 的值为 3 时 x 为 3 的倍数的偶数，即 ，概率为 ，选 C.11. 在ABC 中，角 A，B，C 的边分别为 a，b，c，已知 ，ABC 的面积为 9，且 ，则边长 a 的值为A. 3
5、B. 6 C. 4 D. 2【答案】A【解析】 ，解得 ， ，得 ， ，则，故 ，再由 ，即 ，代入得，故 ，选点睛：本题考查了解三角形综合，利用两角和的正切计算出关于角 的正弦值与余弦值，在利用计算出结果，运用正弦定理判定出 的数量关系，代入面积里从而计算出结果，探索出的数量关系是本题的难点。12. 已知直线 交椭圆 于 A，B 两点，若 C，D 为椭圆 M 上的两点，四边形 ACBD的对角线 CDAB，则四边形 ACBD 的面积的最大值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得 ，解得 或不妨设 ，则，直线 的方程为可设直线 的方程为联立 ，消去 ，得到直线 与椭圆有两个不同的
6、交点则解得设 ，当 时， 取得最大值四边形 ACBD 的面积的最大值为故选点睛：本题主要考查的是直线的一般式方程与直线垂直关系和直线与圆锥曲线的关系。分析题意，根据对角线互相垂直的四边形的面积的计算公式可得 ，因此解题的关键就是求出 的最大值。二、填空题：本大题 共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13. 已知向量 ，且， 的夹角为 ，则 在方向上的投影为_【答案】【解析】 向量 与 夹角为 ，且 ，则向量 在 方向上的投影为14. 已知 l 为曲线 在 A（1，2）处的切线，若 l 与二次曲线 也相切，则_【答案】4
7、【解析】 的导数为曲线 在 处的切线斜率为则曲线 在 处的切线方程为 ，即由于切线与曲线 相切可联立得到：又 ，两线相切有一个切点解得15. 函数 的图象向左平移 个单位得出函数 ，则 _【答案】【解析】则点睛：分析题意，首先化简 ，则 ，然后将 代入函数解析式中，有，最后结合两角和的正弦公式可得 ，代入特殊角的三角函数值进行计算即可。16. 已知 A，B，C 是球 O 球面上的三点，且 AB=AC=3， ，D 为球面上的动点，球心 O 到平面ABC 的距离为球半径的一半，当三棱锥 D-ABC 体积最大时，其高为_【答案】【解析】由题设可知 的外接圆的半径 ，由余弦定理可得，故 ，则由正弦定理
8、可得 的外接圆的半径 ，所以 ，而 ，所以当点 到平面 的最大距离 ，所以三棱锥的最大体积为 ，应填答案 。点睛：几何体的外接球的体积面积问题一直是高中数学习题中的难点之一，解答这类问题的关键是借助球心距、截面圆的半径、球的半径之间的关系，建立方程（组）然后通过解方程组求出球的半径。本题的求解则借助题设建立方程求出球的半径，从而使得问题获解。三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第 1721 题为必做题，第 2223 为选做题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤把答案填在答题卡上对应题号指定框内17. 已知数列 的前 n 项和 （n 为正整数） （）令 ，求证数列 是等差数列
9、，并求数列 的通项公式；（）令 ， ，求 【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（I）在 中，令 n=1，可得 ，即 ， -2 分当 时， ，.又因为 ，所以 ，即当 时， .又 数列 是首项和公差均为 1 的等差数列. -4 分于是 . -6 分(II)由（I）得 ，所以-8 分由-得-12 分考点：本小题主要考查由已知式子再写一个作差得递推关系式，进而求通项公式，和利用错位相减法求数列的前 n 项的和.点评：由已知式子再写一个作差时，要注意 n 的取值范围；利用错位相减法求数列的前 n 项和时，方法不难，但是化简容易出错，必须认真计算，此处知识在高考中经常考查.18. 如图 1，已知直
10、角梯形 ABCD 中， ，AB/DC，ABAD ，E 为 CD 的中点，沿 AE 把DAE 折起到PAE 的位置（D 折后变为 P） ，使得 PB=2，如图 2（）求证：平面 PAE平面 ABCE；（）求点 B 到平面 PCE 的距离【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析： 取 的中点 ，连接 ， ， ，可知 ， 为等腰直角三角形，证得， ，再由勾股定理证得 ，即可证明 利用等体积法 ，即可求点 到平面 的距离解析：（）如图，取 AE 的中点 O，连接 PO，OB，BE由于在平面图形中，如题图 1，连接 BD，BE，易知四边形 ABED 为正方形， 在立体图形中，PAE， BAE 为等腰
11、直角三角形，POAE，OBAE，PO=OB= ，PB=2， ，POOB又 ，平面 PO平面 ABCE，PO 平面 PAE，平面 PAE平面 ABCD（）由（）可知，POAE，OBAE， ，故 AE平面 POBPB 平面 POB，AEPB，又 BC/AE，BCPB 在 Rt PBC 中，在PEC 中，PE =CE=2，设点 B 到平面 PCE 的距离为 d，由 ，得19. 如图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天
12、（）求 3 月 1 日到 14 日空气质量指数的中位数；（）求此人到达当日空气重度污染的概率；（）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【答案】 （1）103.5（2） （3）从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大【解析】解：(1)在 3 月 1 日至 3 月 13 日这 13 天中，1 日、 2 日、3 日、7 日、12 日、13 日共 6 天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为 (2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染” 等价于“此人到达该市的日期是 4 日或 5日或 7 日或 8 日”，所以此人在该市停留
13、期间只有 1 天空气重度污染的概率为 (3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大20. 如图，抛物线 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A点 C 在抛物线 E 上，以 C 为圆心，为半径作圆，设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M，N（）若点 C 的纵坐标为 2，求 ；（）若 ，求圆 C 的半径【答案】 （1）2（2）【解析】试题分析： 由抛物线的方程表示出焦点 的坐标及准线方程，求出 到准线的距离，再利用圆中弦长公式即可求出设 ，表示出圆 的方程，与抛物线解析式联立组成方程组，设 ，利用韦达定理表示出 ，利用 ，得 ，解得 的纵坐标，从而得到圆心 的坐标，由两点间
14、的距离公式求出 ，即为圆的半径。解析：（）抛物线 的准线 l 的方程为由点 C 的纵坐标为 2，得点 C 的坐标为（ 1，2）点 C 到准线 l 的距离 d=2，又 ，（）设 ，则圆 C 的方程为即 由 ，得 设 ，则，由 ，得 ，解得 ，此时 圆心 C 的坐标为 ，从而 ，即圆 C 的半径为点睛:本题主要考查了抛物线的方程，圆的方程与性质，直线与圆的位置关系等基础知识，考查了学生的运算求解能力，推理论证能力，考查了函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想，属于中等难度题。21. 已知函数 ， （）求 的反函数的图象上点（ 1，0）处的切线方程；（）证明：曲线 与曲线 有唯一公共点【答案】
15、 （1） （2）见解析【解析】试题分析： 先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可法一：等价函数 零点的个数，由 ，求导 ，再次求导 ，判定出单调性， 在 上是单调递增故 在 上有唯一的零点 法二：等价于曲线 与 的公共点的个数，当 时，两曲线有公共点，求导得函数单调性进行判定解析：（） 的反函数为 ，设所求切线的斜率为 k ， ，于是在点（1，0）处的切线方程为 （）证法一：曲线 与曲线公共点的个数等于函数 零点的个数 ， 存在零点 又 ，令 ，则 当 时， ， 在 上单调递减；当 时， ， 在 上单调递增， 在 处有唯一的极小值即 在 上的最小值为 （当且仅当 时等号成立） ， 在 上是
16、单调递增的， 在 上有唯一的零点，故曲线 与曲线 有唯一公共点证法二： ， ，曲线 与曲线 公共点的个数等于曲线 与 的公共点的个数设 ，则 ，即当 时，两曲线有公共点又 （当且仅当 时等号成立） ， 在 上单调递减， 与有唯一的公共点，故曲线 与曲线 有唯一公共点点睛：本题考查了运用导数求两函数交点问题，在解析中给了两种方法，一种构造新函数解决函数零点问题，另一种转化为函数与直线的交点个数问题，在计算过程中注意二阶导数的应用。22. 【选修 44 坐标系与参数方程】已知动点 P、Q 都在曲线 上，对应参数分别为 与 （ ），M 为 PQ的中点() 求 M 的轨迹的参数方程；()将 M 到坐标
17、原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）根据中点坐标公式得 ，即得 M 的轨迹的参数方程；（2）根据两点间距离公式得 d，再根据 x=y=0 得 ，即 M 的轨迹过坐标原点.试题解析：()依题意有因此M 的轨迹的参数方程为 （ 为参数， ）()M 点到坐标原点的距离当 时， ，故 M 的轨迹过坐标原点 .23. 【选修 45 不等式选讲】已知函数 ，其中 .()当 时，求不等式 的解集；()已知关于 的不等式 的解集为 ，求的值【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，再分别求解，最后求并集， （2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，再解不等式得 ，最后根据不等式解集与对应方程解的关系得 ，解得的值试题解析：()当 时，当 时，由 得 ，解得当 时， 无解当 时，由 得 ，解得 的解集为()记 ，则由 ，解得又已知 的解集为 ， ，于是点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
