1、简单迭代法的概念与结论,简单迭代法又称逐次迭代法，基本思想是构造不动点方程，以求得近似根。即由方程f(x)=0变换为x=(x), 然后建立迭代格式，,返回,下一页,则称迭代格式 收敛,否则称为发散,上一页,与方程 x=(x)同解,收敛,发散,下一页,返回,上一页,如果xk收敛于x*，则它就是方程的根。因为：但迭代格式有多种，迭代格式如何建立才能保证迭代法的数列收敛？有如下定理：,返回,下一页,上一页,定理一：假定函数 满足下列条件： 1、对任意 有；(1.1) 2、存在正数 L1，使对任意 有(1.2) 则1 2 迭代过程 对于任意初值 均收敛于方程 的根 ，且有如下的误差估计式：(1.3),
2、返回,下一页,实用中(1.2)式常用,上一页,由条件1,证明：1,若 或 ，则 满足方程 若 ， ，则有由介值定理知，存在 有 即 假设 满足方程 由条件2所以,下一页,返回,上一页,2 设方程 在区间 内有根 ，则有 由故 据此反复递推有,返回,下一页,上一页,故当 时迭代值 按(1.2)式 有 (1.4)， 据此反复递推得： 于是对任意正整数p有 在上式令 ，注意到 即得式(1.3)。证毕。,返回,下一页,上一页,定理一指出,只要构造的迭代函数满足,或,由,得,因此,当,迭代就可以终止,下一页,下一页,返回,上一页,此时虽收敛但不一定是唯一根,迭代法收敛就越快,由定理一可以看到,定义1.,
3、下一页,返回,上一页,定理二：对于迭代过程 ，如果 在所求根 的邻近连续 ，并且 (*) 则该迭代过程在点 邻近是P阶收敛的。 证明：由于 。据定理一，立即可以断定迭 代过程 具有局部收敛性。再将 在根 处展开，利用条件(*)，则有 注意到 ， 由上式得,返回,下一页,上一页,因此对迭代误差有: 。这表明迭代过程 确实为P阶收敛，证毕。 定理二告诉我们，迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数. 如果选取当 时 ,则该迭代过程只能是线性收敛。对于牛顿迭代公式，其迭代函数为 由于 ,假定 是f(x)的一个单根， 即 ， 则由上式知 。 于是依据定理二可以断定，牛顿法在根 的邻近是至少以平方收敛的。,返回,下一页,上一页,定义2：如果存在 的某个邻域 ，使迭代过程对于任意初值 均收敛，则称迭代过程在根 邻近具有局部收敛性。 定理三：设 为方程 的根， 在 的邻近连续。且 ，则迭代过程在 邻近具有局部收敛性。,返回,下一页,上一页,证明：由连续函数的性质，存在 的某个邻域 ，使对于任意 成立 。此外对于任意 总有 。这是因为 依据定理一，可以断定，迭代过程 对于任意初值 均收敛。证毕。,返回,上一页,
