1、2018 届河北省鸡泽县第一中学高三上学期第一次月考数学（文）试题（解析版）（满分 150 分，考试时间：120 分钟）第 卷（选择题 共 60 分）一.选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 Ax| y ，B x|x|2 ，则 AB( )A. 2,2 B. 2,4 C. 0,2 D. 0,4【答案】B【解析】 A x|y 4xx2=x|0x2，B x|x|2=x|2x2，选 BAB x|2x2，2. 下列命题是真命题的为( )A. 若 ，则 xy B. 若 x21，则 x1C. 若 xy，则 D. 若 x
2、0，|0，b0,2ab1，则 的最小值是( )A. 4 B. C. 8 D. 9【答案】D【解析】 a0，b0,2a b 1,2a+1b=(2a+1b)1=(2a+1b)(2a b)=5+2ba+2ab5+22ba2ab=9当且仅当 即 时取等号，故选 D2ba=2ab a=b=1311. 已知 f(x)ln x ，g(x)x 22ax4，若对任意的 x1(0,2 ，存在 x21,2，使得 f(x1)g(x 2)成立，则 a 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 的定义域为 ， f(x) f（x）=1x341x214=x2+4x34x2 =(x1)(x3)4x2 ，
3、易知当 时， ，当 时， 所以 在 上递减，在 上递增，x（0，1） f（x） 0 x（1，2） f（x） 0， f(x) （0，1） 1，2故 f（x）min=f（1）=12对于二次函数 该函数开口向下，所以其在区间 上的最小值在端点处取得，g（x）=）=x22ax+4， 1，2所以要使对 使得 成立，只需 或x1（0，2，x21，2， f（x1）g（x2）12g(1)，所以12g(2)或 1212a+4 1244a+4解得 故选 Aa18【点睛】本题考查了不等式恒成立问题以及不等式有解问题的综合问题，对概念的理解要求很高，注意理解12. 设函数 f(x) 若关于 x 的方程f(x) 2af
4、(x)0 恰有三个不同的实数解，则实数 a 的取值范围为( )A. (0,1 B. (0,1) C. 1，) D. (，1)【答案】A【解析】 由题意可知：函数 的图象如图所示：f（x）由关于 的方程 恰有三个不同的实数解，x f(x)2 af(x) 0其中 ，即 是其中一个解；则方程 恰有 2 个不同的实数解，f（x）=0 x=1 f（x）=a即函数 与函数 的图象恰有 2 个不同的交点y=a y=f（x）由图象易知： 即实数 a 的取值范围为 ，a（0，1， （0，1，故选 A【点睛】本题考查方程的根的存在性以及根的个数问题在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、数形结合的思想值得同学们
5、体会反思第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.13. 已知数列a n是递增的等比数列，a 1a 49， a2a38 ，则数列 an的前 n 项和等于_【答案】 2n1【解析】数列 是递增的等比数列， 可得 ，解得 an a1+a4=9，a2a3=8， a1a4=8 a1=1，a4=8，数列 的前 项和为 8=1q3，q=2， an n ：12n12=2n1故答案为： 2n114. 若函数 f(x)4sin5ax 4 cos5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，则实数 a 的值为_【答案】 35【解析】函数 f（x）=4sin5ax
6、43cos5ax=8（12sin5ax32cos5ax）=8sin（5ax3）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 |5a|=3，a=35，故答案为： a=3515. 甲船在 A 处观察乙船，乙船在它的北偏东 60的方向，两船相距 a 海里的 B 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东_(填角度) 的方向前进【答案】30【解析】略16. 已知函数 f(x)2 x，g(x)x 2ax(其中 aR )对于不相等的实数 x1，x2，设 m ，n.现有如下命题：对于任意不相等的实数 x1，x2，都有 m0；对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1，x2，都有 n0
7、；对于任意的 a，存在不相等的实数 x1，x2，使得 mn；对于任意的 a，存在不相等的实数 x1，x2，使得 mn.其中的真命题有_(写出所有真命题的序号 )【答案】【点睛】本题考查函数的单调性及运用解题时正确运用指数函数和二次函数的单调性，以及利用导数判断单调性是解题的关键三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知递增的等比数列a n的前 n 项和为 Sn，a664，且 a4，a5 的等差中项为 3a3.(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn ，求数列b n的前 n 项和 Tn.【答案】 （1） ；（2） an=2n Tn=89
8、4+3n922n1【解析】试题分析：（1）根据已知条件列出方程组，求出 ，代入通项公式即可；a1，q（2）根据 的通项公式特点可知使用错位相减法求和bn试题解析：(1)设等比数列a n的公比为 q(q0)，由题意，得解得所以 an2 n.(2)因为 bn ，所以 Tn ，Tn ，所以 Tn ，故 Tn .18. 在ABC 中，a 2c 2b 2 ac.(1)求B 的大小；(2)求 cosAcosC 的最大值【答案】 （1） ；（2）最大值 1.【解析】试题分析; （1）根据已知和余弦定理，可得 ，进而得到答案；cosB=22（2）由（1）得： ，结合正弦型函数的图象和性质，可得 C=34A 2
9、cosA+cosC的最大值试题解析:(1)由余弦定理及题设，得cosB .(2 分)又 00(nN *)，a1a34，且 a31 是 a2 和 a4 的等差中项，若 bnlog 2an1 .(1)求数列b n的通项公式；(2)若数列c n满足 cna n1 ，求数列c n的前 n 项和【答案】 （1） ；（2） 2n+12+ n2n+1【解析】试题分析：（1）根据等比数列的性质求出 由等差中项和等比数列的通项公式求出公比 求a2， q，出 bn；（2）由（1）和题意求出 ，利用分组求和法、裂项相消法、等比数列的前 项和公式求出数列 的前cn n cn项和n试题解析：(1)设等比数列a n的公比
10、为 q，且 q0，在等比数列a n中，由 an0，a1a34，得 a22， 又 a31 是 a2和 a4的等差中项，所以 2(a31) a 2a 4，把代入，得 2(2q1)22q 2，解得 q2 或 q0(舍去)，所以 ana 2qn2 2 n1 ，则 bnlog 2an1 log 22nn. (2)由(1)得，c na n1 2 n 2 n ，所以数列 cn的前 n 项和 Sn22 22 n 1 2 n1 2 .【点睛】本题考查等比数列的通项公式、前 项和公式、性质，等差中项的性质，对数的运算性质，以n及数列求和的常用方法：分组求和法、裂项相消法20. 已知向量 m(3sinx ，cosx
11、)，n( cosx， cosx)，f(x)mn .(1)求函数 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的值；(2)若方程 f(x) a 在区间 上有两个不同的实数根，求实数 a 的取值范围【答案】 （1） ；（2） 3 (3,32【解析】试题分析：（1）根据向量的数量积运算，化简得到 ，根据三角函数的性质求出最值，（2）求出函数 的单调区间，并画出 ）和 的图象，由图象可得到答案f（x） y=f（x y=a试题解析：(1)f (x)m n 3sinxcosx cos2x sin2x (1cos2x) sin2x cos2x sin .当 2x 2k ，即 xk ，kZ 时，函数 f(x)取得最大
12、值 .(2)由于 x 时，2x .而函数 g(x) sinx 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增又 g ，g ，g .所以方程 f(x)a 在区间 上有两个不同的实数根时， a .21. 某商人投资 81 万元建一间工作室，第一年装修费为 1 万元，以后每年增加 2 万元，把工作室出租，每年收入租金 30 万元(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：年平均利润最大时，以 46 万元出售该工作室；纯利润总和最大时，以 10 万元出售该工作室问该商人会选择哪种方案？【答案】 （1）从第 4 年开始获取纯利润；（2）
13、选择方案.【解析】试题分析：（1）设第 n 年获取利润为 y 万元，n 年共收入租金 30n 万元付出装修费共，付出投资 81 万元，由此可知利润 y=30n-（81+n 2） ，由 y0 能求出从第几年开始获取纯n+n(n1)2 2=n2利润（2） 纯利润总和最大时，以 10 万元出售，利用二次函数的性质求出最大利润，方案利用基本不等式进行求解，当两种方案获利一样多，就看时间哪个方案短就选择哪个.（1）设第 年获取利润为 万元。1 分年共收租金 30 万元，付出装修费构成一个以 1 为首项，2 为公差的等差数列，共 2 分因此利润 令 4 分解得 5 分所以从第 4 年开始获取纯利润。6 分（2）年平均利润 8 分9 分（当且仅当 ）所以 9 年后共获利润：154 万元。10 分利润所以 15 年后共获利润：144+10=154 万元11 分两种方案获利一样多，而方案（1）时间比较短，所以选择方案（1） 。12 分考点：函数的模型及其应用。点评：本题是函数模型选取问题，在直接比较不能凑效的前提下可考虑作差法比较.22. 已知函数 f(x) aln x(a0，aR)(1)若 a1，求函数 f(x)的极值和单调区间；
