1、2018 届河北省鸡泽县第一中学高三上学期第一次月考数学（文）试题（满分 150 分，考试时间：120 分钟）第 卷（选择题 共 60 分）一.选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 Ax| y ，Bx|x| 2 ，则 AB( )4x x2A2,2 B2,4 C0,2 D0,42下列命题是真命题的为( )A若 ，则 xy B若 x21，则 x11x 1yC若 xy ，则 D若 x0，| |0，b0,2 ab1，则 的最小值是( )2a 1bA4 B. C8 D99211已知 f(x)ln x ，g(x)x 22
2、ax4，若对任意的 x1(0,2 ，存在 x21,2，使得 f(x1)g( x2)x4 34x成立，则 a 的取值范围是( )A B C D54， ) 18， ) 18，54 ( ， 5412设函数 f(x)Error!若关于 x 的方程f(x) 2af(x)0 恰有三个不同的实数解，则实数 a 的取值范围为( )A(0,1 B(0,1) C1 ，) D( ， 1)第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.13.已知数列a n是递增的等比数列，a 1a 49，a 2a38，则数列 an的前 n 项和等于_14若函数 f(x)4sin5ax 4
3、 cos5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，则实数 a 的值为33_15.甲船在 A 处观察乙船，乙船在它的北偏东 60的方向，两船相距 a 海里的 B 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东_( 填角度)的方向前进316已知函数 f(x)2 x，g(x )x 2ax (其中 aR) 对于不相等的实数 x1，x 2，设 m ，nfx1 fx2x1 x2.现有如下命题：gx1 gx2x1 x2对于任意不相等的实数 x1，x 2，都有 m0；对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1，x 2，都有 n0；对于任意的 a，存在不相等的实数 x1，x 2
4、，使得 mn；对于任意的 a，存在不相等的实数 x1，x 2，使得 mn.其中的真命题有_(写出所有真命题的序号 )三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分 10 分）已知递增的等比数列a n的前 n 项和为 Sn，a 664，且 a4，a 5 的等差中项为 3a3.(1)求数列a n的通项公式； (2)设 bn ，求数列b n的前 n 项和 Tn.na2n 118. (本小题满分 12 分)在ABC 中，a 2c 2b 2 ac.2(1)求B 的大小；(2)求 cosAcosC 的最大值219(本小题满分 12 分)在等比数列
5、a n中，a n0(nN *)，a 1a34，且 a31 是 a2 和 a4 的等差中项，若 bnlog 2an1 .(1)求数列b n的通项公式；(2)若数列c n满足 cna n1 ，求数列c n的前 n 项和1b2n 1b2n 120. （本小题满分 12 分）已知向量 m(3sinx ，cos x)，n(cos x， cosx)，f (x)m n .332(1)求函数 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的值； (2)若方程 f(x) a 在区间 上有两个不同的实数根，求实数 a 的取值范围0，221. （本小题满分 12 分）某商人投资 81 万元建一间工作室，第一年装修费为 1 万
6、元，以后每年增加 2 万元，把工作室出租，每年收入租金 30 万元(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：年平均利润最大时，以 46 万元出售该工作室；纯利润总和最大时，以 10 万元出售该工作室问该商人会选择哪种方案？22.（本小题满分 12 分）已知函数 f(x) aln x (a0 ，aR) 1x(1)若 a1，求函数 f(x)的极值和单调区间；(2)若在区间(0 ， e上至少存在一点 x0，使得 f(x0)0)，由题意，得Error!解得Error!所以 an2 n.(2)因为 bn ，na2n 1 n22
7、n 1所以 Tn ，12 223 325 427 n22n 1Tn ，14 123 225 327 n 122n 1 n22n 1所以 Tn 34 12 123 125 127 122n 1 n22n 1 ，12(1 14n)1 14 n22n 1 23 4 3n322n 1故 Tn .89 16 12n922n 1 89 4 3n922n 118. (1)由余弦定理及题设，得cosB .(2 分)a2 c2 b22ac 2ac2ac 22又 00，在等比数列a n中，由 an0，a 1a34，得 a22， (2 分)又 a31 是 a2 和 a4 的等差中项，所以 2(a31) a 2a 4
8、， 把代入，得 2(2q1)22q 2，解得 q2 或 q0(舍去)，(4 分)所以 ana 2qn2 2 n1 ，则 bnlog 2an1 log 22nn. (6 分)(2)由(1)得，c na n1 1b2n 1b2n 12 n 2 n ，(8 分)12n 12n 1 12( 12n 1 12n 1)所以数列 cn的前 n 项和 Sn22 22 n 1 Error! Error!12 13 (13 15) ( 12n 1 12n 1) 2 n1 2 .(12 分)21 2n1 2 12(1 12n 1) n2n 120. (1)f(x)mn 3sinx cosx cos2x sin2x
9、(1cos2 x)32 3 32 32 32 32 sin2x cos2x sin .32 32 3 (2x 56)当 2x 2k ，即 xk ，k Z 时，函数 f(x)取得最大值 .56 2 6 3(2)由于 x 时，2x .0，2 56 56，116而函数 g(x) sinx 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增3 56，32 32，116又 g ，g ，g .(116) 32 (32) 3 (56) 32所以方程 f(x)a 在区间 上有两个不同的实数根时，a .0，2 ( 3， 3221. (1)设第 n 年获取利润为 y 万元n 年付出的装修费构成一个首项为 1，公差为 2 的等
10、差数列，n 年付出的装修费之和为n1 2n 2，又投资 81 万元，n 年共收入租金 30n 万元，nn 12利润 y30n n281(nN *)令 y0，即 30nn 2810，n 230n810，得 x1.所以 x1 时，f( x)有极小值为 1.yf(x) 在 (0,1)上单调递减，在(1，) 上单调递增(2)f(x) ，且 a0.1x2 ax ax 1x2令 f(x )0，得 x .1a若在区间(0，e上存在一点 x0，使得 f(x0)0 时，若 e ，即 00，显然，yf(x)在区间(0 ，e上的最小值小1e 1e于 0 不成立若 0 ，则有1a 1ex(0，1a) 1a (1a，ef(x ) 0 f(x) 极小值 所以 f(x)在区间(0，e上的最小值为 f aaln ，(1a) 1a由 f aaln a(1 ln a)e，即 a (e，)综上可知，a (e，) ( ， 1e)
