1、1 如图，在底面 是菱形的四棱锥 PABC中，ABC=60 0，PA=AC= a,PB=PD= ,点2E 是 PD 的中点.（I）证明 PA平面 ABCD，PB平面 EAC；（II）求以 AC 为棱，EAC 与 DAC 为面的二面角 的正切值. （04 湖南 18）2 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AC 与 BD 交于点 E，CB 与 CB1 交于点 F.（I）求证：A 1C平 BDC1；（II）求二面角 BEFC 的大小（结果用反三角函数值表示）. 3 在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面ABC，SA=SC=2 ，M 为 A
2、B 的中点.2（）证明：ACSB；（）求二面角 NCMB 的大小；（）求点 B 到平面 SCM 的距离. （04 福建 1）4 如图,PABC 是底面边长为 1 的正三棱锥,D、E、F 分别为棱长PA、PB、PC 上的点, 截面 DEF底面 ABC, 且棱台 DEFABC 与棱锥 PABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)（1）证明：PABC 为正四面体；（2）若 PD= PA, 求二面角21DBCA 的大小； (结果用反三角函数值表示)5（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形， （1） 证明 MF 是异面直,/,PBCEPDFAME底 面线 A
3、B 与 PC 的公垂线；（2）若 ,求二面角 EABD 平面角.3ADEPBAC66 如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是正方ABCDP形，侧棱 底面 ABCD， ， 是 PC 的中DE点。（1）证明 平面 EDB；（2）求 EB 与底面/ABCD 所成的角的正切值。 ADE7 如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB= ，AF=1，M 是线段 EF 的中点.2（）求证 AM平面 BDE；（）求证 AM平面 BDF；（）求二面角 ADFB 的大小；8 如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，AB=8，AD=4 ，侧面 PAD 为等边3三角形，并且与
4、底面所成二面角为 60.（）求四棱锥 PABCD 的体积； （）证明 PABD.9 三棱锥 PABC 中，侧面 PAC 与底面 ABC 垂直，PA=PB=PC=3.(1) 求证 AB BC；(2) 如果 AB=BC= ，求侧面 PBC 与侧面 PAC 所成二面角的大小3210. 如图，已知四棱锥 PABCD，PBAD，侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形，底面 ABCD 为菱形，侧面 PAD 与底面 ABCD所成的二面角为 120.（I）求点 P 到平面 ABCD 的距离；（II）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小.DCEFMABPPCAB1 因为底面 ABCD 是菱形，ABC=
5、60，所以 AB=AD=AC=a， 在PAB 中，由 PA2+AB2=2a2=PB2 知 PAAB.同理，PAAD，所以 PA 平面 ABCD.因为 DACEBDCPB.)()(AE所以 、 、 共面.又 PB 平面 EAC，所以 PB/平面 EAC.（）解 作 EG/PA 交 AD 于 G，由 PA平面 ABCD.知 EG平面 ABCD.作 GHAC 于 H，连结 EH，则 EHAC，EHG 即为二面角 的平面角.又 E 是 PD 的中点，从而 G 是 AD 的中点， .4360sin,21, aAaAG所以 .3tn2（）A 1A底面 ABCD，则 AC 是 A1C 在底面 ABCD 的射
6、影.ACBD. A 1CBD.同理 A1CDC 1,又 BDDC 1=D,A 1C平面 BDC1.（）取 EF 的中点 H，连结 BH、CH， .,2的 平 面 角是 二 面 角同 理 CEFBCBE又 E、F 分别是 AC、B 1C 的中点， .31arcos.)31arcos( 31462)()(2cos,.46231/ 22的 大 小 为故 二 面 角 得由 余 弦 定 理中于 是 在故 是 两 个 全 等 的 正 三 角 形与 CEFBHHBCBCFHA3（）取 AC 中点 D，连结 DS、DB.SA=SC，BA=BC ，ACSD 且 ACDB，AC平面 SDB，又 SB平面 SDB，
7、ACSB.（）SDAC ，平面 SAC平面 ABC，SD平面 ABC.过 D 作 DECM 于 E，连结 SE，则 SECM，SED 为二面角 SCM A 的平面角.由已知有 ，所以 DE=1，又 SA=SC=2 ，AC=4，SD=2.M21/ 2在 Rt SDE 中，tan SED= =2，DE二面角 SCMA 的大小为 arctan2.（）在 Rt SDE 中，SE= ，CM 是边长为 4 正ABC 的中线，52S. S SCM = 21CMSE= ，32CM13设点 B 到平面 SCM 的距离为 h，由 VB-SCM=VS-CMB，SD 平面 ABC， 得 SSCM h= SCMB SD
8、，h= 即点 B 到平面 SCM 的距离为.54SCMBD.544(1) 棱台 DEFABC 与棱锥 PABC 的棱长和相等,DE+EF+FD=PD+PE+PF. 又截面 DEF底面 ABC,DE=EF=FD=PD=PE=PF, DPE= EPF=FPD=60, P ABC 是正四面体.【解】(2)取 BC 的中点 M,连接 PM,DM.AM.BCPM,BCAM, BC平面 PAM,BCDM,则DMA 为二面角 DBCA 的平面角. 由(1)知,PABC 的各棱长均为 1,PM=AM= ,由 D 是 PA 的中点, 得 sinDMA= ,DMA=arcsin .23 3AMD35（I）证明：因
9、 PA底面，有 PAAB，又知 ABAD，故 AB面 PAD，推得 BAAE，又 AMCD EF，且 AM=EF，证得 AEFM 是矩形，故 AMMF.又因 AEPD ，AECD，故 AE面 PCD，而 MF AE，得 MF面 PCD，故 MFPC，因此 MF 是 AB 与 PC 的公垂线 .（II）解：因由（I）知 AEAB，又 ADAB，故EAD 是二面角 EABD 的平面角.设 AB=a，则 PA=3a.因 Rt ADERtPDA 故EAD=APD因此 10)3(sinsi 22aPDAEA6（1）证明：连结 AC、AC 交 BD 于 O。连结 EO 底面 ABCD 是正方形 点 O 是
10、 AC 的中点。在 中，EO 是中位线 CEA/而 平面 EDB 且 平面 ，所以， 平面 EDB。EO/B/P（2）解：作 交 CD 于 F。连结 BF，设正方形 ABCD 的边长为 。F a 底面 ABCD F 为 DC 的中点PDDCP 底面 ABCD，BF 为 BE 在底面 ABCD 内的射影，故 为直线EBEB 与底面 ABCD 所成的角。在 中，BCRt aaB25)(22 在 中 21aPDEFEFRt52tanaBFE所以 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值为 57()设 ACBD=0，连结 OE，O、M 分别是 AC、EF 的中点，ACEF 是矩形，四边形 AOEM 是
11、平行四边形，AMOE. 平面 BDE， 平面 BDE AM平面 BDE.OEA()BDAC，BDAF，且 AC 交 AF 于 A，BD平面 AE，又因为 AM 平面 AE，BDAM.AD= ,AF=1,OA=1,AOMF 是正方形，2AMOF，又 AMBD，且 OFBD=0 AM平面 BDF.（）设 AMOF=H，过 H 作 HGDF 于 G，连结 AG，由三垂线定理得 AGDF，AGH 是二面角 ADFB 的平面角. 60,23sin,6,的 大 小 为二 面 角 BDFAGH8（）如图 1，取 AD 的中点 E，连结 PE，则 PEAD.作 PO平面在 ABCD，垂足为 O，连结 OE.根
12、据三垂线定理的逆定理得 OEAD，所以PEO 为侧面 PAD 与底面所成的二面角的平面角，由已知条件可知PEO=60 ，PE=6，所以 PO=3 ，四棱锥 PABCD 的体积3VPABCD= .9634831（）解法一：如图 1，以 O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P（0，0，3 ） ，A（2 ，3，0） ，B （2 ，5，0） ，D（2 ，3，0）3所以 ).,84(),( D因为 所以 PABD.4B9（1）证明：如果，取 AC 中点 D，连结 PD、BD.因为 PA=PC，所以 PDAC ， 又已知面 PAC面 ABC，所以 PD面 ABC，D 为垂足.因为 PA=PB=PC，
13、 所以 DA=DB=DC，可知 AC 为ABC 外接圆直径，因此 ABBC.（2）解：因为 AB=BC，D 为 AC 中点，所以 BDAC.又面 PAC面 ABC， 所以 BD平面 PAC，D 为垂足.作 BEPC 于 E，连结 DE，因为 DE 为 BE 在平面 PAC 内的射影，所以 DEPC ，BED 为所求二面角的平面角.在 Rt ABC 中，AB=BC= ，所以 BD= .326在 Rt PDC 中，PC=3，DC= ，PD= ，6所以 .23PCDE因此，在 RtBDE 中， ， ，36tanBE60BED所以侧面 PBC 与侧面 PAC 所成的二面角为 6010（I）解：如图，作 PO平面 ABCD，垂足为点 O.连结 OB、OA 、OD 、OB 与 AD 交于点 E，连结 PE.ADPB，ADOB，PA=PD ，OA=OD，于是 OB 平分 AD，点 E 为 AD 的中点，所以 PEAD.由此知PEB 为面 PAD 与面 ABCD所成二面角的平面角，PEB=120 ，PEO=60 由已知可求得 PE= PO=PEsin60 = ，323即点 P 到平面 ABCD 的距离为 .2
