高考_立体几何_专题复习.doc

1、立体几何【考点聚焦】 考点 1：空间元素点、线、面之间的垂直与平行关系的判断；考点 2：空间线面垂直与平行关系的证明；简单几何体中的线面关系证明；1、三个公理和三条推论：（1）公理 1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。（2）公理 2、两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。（3）公理 3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论 1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论

2、 2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面。公理 3 和三个推论是确定平面的依据。如（1）在空间四点中，三点共线是四点共面的_条件（答：充分非必要） ；（2）给出命题：若Al，A，B l ，B ，则 l ；若 A，A，B，B，则 AB；若 l ，Al，则 A 若 A、 B、C ，A、B、C ，且 A、B 、 C 不共线，则 与 重合。上述命题中，真命题是_（答：） ；（3）长方体中 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=8 ，BC=6，在线段 BD，A 1C1 上各有一点P、Q，在 PQ 上有一点 M，且 PM=MQ，则 M 点的轨迹图形的面积为 _（答

3、：24）2、空间直线的位置关系：（1）相交直线有且只有一个公共点。 （2）平行直线在同一平面内，没有公共点。 （3）异面直线不在同一平面内，也没有公共点。如（1）空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是四边上的中点，则直线 EG 和 FH 的位置关系_（答：相交） ；（2）给出下列四个命题：异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；两异面直线 ，如果 平行于平面 ，ba, 那么 不平行平面 ；两异面直线 ，如果 平面 ，那么 不垂直于平面 ；两异面直线在同一平面内的bba,b射影不可能是两条平行直线 。其中正确的命题是_（答：）3、两直线平行的判定：（1）公理 4：平行于同一直线的两直线

4、互相平行；（2）线面平行的性质：一条直线和一个平面平行，那经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。4、两直线垂直的判定：（1）转化为证线面垂直；5、直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交。其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行。其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。如（1）下列命题中，正确的是 、

5、若直线 平行于平面 内的一条直线 b , 则 / 、若直线 垂直于平面aaa的斜线 b 在平面 内的射影，则 b 、若直线 垂直于平面 ,直线 b 是平面 的斜线，则 与 b 是异面直线 、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥（答：D） ；（2）正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动，并且总保持 APBD 1，则动点P 的轨迹是_ （答：线段 B1C） 。6、直线与平面平行的判定和性质：（1）判定：判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行；面面平行的性质：若两个

6、平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。（2）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。如（1）、 表示平面，a、b 表示直线，则 a 的一个充分不必要条件是 A、，a B、 b，且 ab C、a b 且 b D、 且 a （答：D ） ；（2）正方体 ABCD-A B C D 中，点N 在 BD 上，点 M 在 B1C 上，且 CM=DN，求证：MN 面 AA1B1B。7、直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定：如果一条直线和一个平面内的两条

7、相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。（2）性质：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。如（1）如果命题“若 z，则 ”不成立，那么字母 x、y、z 在空间所表示的几何图形一定是yx,zx_（答：x 、y 是直线，z 是平面） ；（2）已知 a，b， c 是直线，、 是平面，下列条件中能得出直线 a平面 的是 A、a b，其中 ， B、ab ， C、， D、，（答：D） ；（ 3）AB 为O 的直径， C 为O 上的一点，AD面 ABC，

8、AEBD 于 E，AFCD于 F，求证：BD平面 AEF。8、三垂线定理及逆定理：（1）定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（2）逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角。9、直线和平面所成的角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。 （2）范围：；0,10、平面与平面的位置关系：（1）平行没有公共点；（2）相交有一条公共直线。11、两个平面平行的判定和性质：（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和

9、另一个平面平行，则这两个平面平行。（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。如（1） 是两个不重合的平面，在下列条件中，不能判定平面 的条件是 A、 是 内一个三角形的两, /nm,条边，且 B 、 内有不共线的三点到 的距离都相等 C、 都垂直于同一条直线 D、/nm, a是两条异面直线， ，且 （答：B） ；（2）给出以下六个命题：垂直于同一直线的两, n, /,nm个平面平行；平行于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；与同一直线成等角的两个平面平行；一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行；两个平面分别与第三

10、个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行。其中正确的序号是_（答：） ；（3）正方体 ABCD-A B C D 中 AB= 。求证：平面 AD1B1平面 C1DB；求证：A 1C平面 AD1B1 ；求平面aAD1B1 与平面 C1DB 间的距离（答： ） ；312、二面角：（1）二面角的三要素：顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边与棱都垂直。 （2）二面角的范围： ；0,13、两个平面垂直的判定和性质：（1）判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；（2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面

11、内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。如（1）三个平面两两垂直，它们的交线交于一点 O，P 到三个面的距离分别为 3、4、5，则 OP 的长为_（答：5 ） ；（ 2）在四棱锥 P-ABCD 中， PA底面 ABCD，底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足2_时，平面 MBD平面 PCD（答： ） ；（3）过 S 引三条长度相等但不共面的线段BCSA、 SB、SC ，且ASB=ASC=60，BSC 90，求证：平面 ABC平面 BSC。特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：线 线 线 面 面 面判 定 线 线 线 面 面 面 性 质线

12、线 线 面 面 面 如（1）已知直线 平面 ，直线 平面 ，给出下列四个命题：lmml/ ； ； 。其中正确的命题是_（答：） ；（2）设 是ml/ /l ba,两条不同直线， 是两个不同平面，给出下列四个命题：若 则 /b；若 ，, ,ab /则 ；若 ，则 或 ；若 则 。其中正确的命题是aa/a_（答：）14、多面体有关概念：棱柱：棱柱的性质：平行六面体：棱锥的性质：正棱锥：侧面积15、体积：（1）棱柱：（2）棱锥：体积 底面积高。如31（1）在正三棱锥 A-BCD 中，E 、F 是 AB、BC 的中点，EF DE ，若 BC= ，则正三棱锥 A-BCD 的体积为a_（答： ） ；（2）

13、已知正三棱锥 底面边长为 ，体积为 ，则底面三角形 的中心 到34aABCP3234ABCO侧面 的距离为_（答： ） ；PAB41716、正多面体：17、球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离 d 与球的半径 R 及截面圆半径 r 之间的关系是 r 。 提醒 ：球与球面的区别（球不仅包括球面，还包括其内部） 。如（1）在半径为 10 的2dR cm球面上有 三点，如果 ，则球心 到平面 的距离为_（答： ） ；（2）CBA, 60,38ACBOABC6已知球面上的三点 A、B、C ，AB=6 ，BC=8，AC=10 ，球的半径为 13，则球心到平面 ABC 的距离为

14、_（答：12）18、球的体积和表面积公式：V 。如234,RS（1）在球内有相距 9cm 的两个平行截面，面积分别为 49 cm2、400 cm2，则球的表面积为_（答：） ；250cm【典型考例】例 1如图，在五面体 ABCDEF 中，点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，面 CDE 是等边三角形，棱 12EFBC .（I）证明 平面 （II）设 证明 平面FO ;CDE3,BCDEO.CDF例 2 如图, 在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AC 3， BC4，AA 14，AB=5 点 D 是 AB 的中点， （I） 求证：ACBC 1； （II）求证：AC 1/平面 CDB1； （

15、III）设 BD1 的中点为 F，求三棱锥 B1-BEF 的体积例 2已知 ABCD 是上下底边长分别为 2 和 6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴 OO1 折成直二面角3 A B O C O1 D x y z DCABEOFM（）证明：ACBO 1；（）求点 O1 到平面 AOC 的距离。（III）求四面体 O1-ACO 的体积。例 3.如图，在底面为平行四边形的四棱锥 中， ， 平面 ，且 ，点 是PABCDAPABCDPABE的中点.（）求证： ；（）求证： 平面 ；PDAC/E（）求四面体 B-AED 的体积。【考点小测】1 已知 m、n 是两条不重合的直线，、 是三个两两不重合的平面

16、给出下列的四个命题：若 ， ，则 ；若 ， ，则 ；若 ， ， ，则 ；/mn/若 m、n 是异面直线， ， ， ， ，则 ，其中真命题是/mn/2平面 的斜线 交 于点 ，过定点 的动直线 与 垂直，且交 于点 ，则动点 的轨迹是 ABAlBC（A）一条直线 （B）一个圆（C）一个椭圆（D）双曲线的一支3关于直线 与平面 ，有以下四个命题：若 且 ，则 ；若 且,n,/,n/n,mn，则 ；若 且 ，则 ；若 且 ，则 ；其中真命题的/n/,m/序号是 A B C D4若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 （ ）（A）充分非必要条件；（B）必要非充

17、分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件5.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对” 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 6. 在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是（ ） （A）BC/平面 PDF （B）DF平面 PA E （C）平面 PDF平面 ABC （D）平面 PAE平面 ABC7.给出下列关于互不相同的直线 lnm,和平面 ,的四个命题: 则 与 m 不共面； 、m 是异面直线， ；,Alm点l nmlnl 则且 ,/ 若 ；若 ，则l/则

18、,/, mA点/其中为假命题的是 （C） （A） （B） （C ） （D ）8已知 a、b、c 是直线， 是平面，给出下列命题：若 若caba/,则cab则,/若 ；若 a 与 b 异面，且 相交； 若 a 与 b 异面，则至多有一条直线与/,/则 与则,/a，b 都垂直. 其中真命题的个数是 （ ） A1 B2 C3 D49如图，在四棱锥 EABCD中，四边形 AB为平行四边形， E， E，M为 上一点，且 平面 E求证： ；如果点 N为线段 的中点，求证： MN平面 D NABCEMQPMDCBA10.在三棱柱 ABC1中, 1ABC, 160, 11,2.ACBA(1)求证：平面 平 面

19、 ;(2)如果 D 为 AB 中点，求证： 1/D 11如图，平行四边形 ABC中， ，正方形 AEF所在的平面和平面 ABCD垂直， H是 BE的中点，G是 ,AEDF的交点. 求证： /H平面 E；求证： 平面 .12如图，平面 ABCD平面 P, AD是直角三角形， 09APD，四边形 ABCD是直角梯形,其中/, 90, BC2, 的 中 点是O(1)求证： /平 面 ；(2)求证: 平 面 平 面 . 13.如图，平面 PAC平面 B, AC , E B, N分别是 ,AEP的中点求证： MN平面 ；求证：平面 平面 .14.如图边长为 4 的正方形 BCD所在平面与正 PAD所在平

20、面互相垂直， QM,分别为 ADPC,的中点。（1）求四棱锥 P的体积;（2）求证： /平面 ;（3）试问：在线段 A上是否存在一点 N，使得平面 CN平面 PB？若存在，试指出点 N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。A D C B P O EBN15已知正六棱柱 11ABCDEF的所有棱长均为 2，G 为 AF 的中点。（1）求证： 1G平面 ；（2）求证：平面 平面 1；（3）求四面体 1EF的体积。16如图，在四棱锥 PABCD中， C， 2DAB， PD， B AC， D ， E为 PD的中点求证：（1） E平面 ； （2） P平面 E17如图，在四棱锥 PABCD 中，PAPB底面 ABCD 是菱形，且 ABC60，点 M 是 AB 的中点，点 E 在 棱 QD 上，满足 DE2 PE求证：（1）平面 PAB平面 PMC； （2）直线 PB平面 EMC18如图，在直三棱柱 1CBA中， 1B， AC1，D为 AC的中点. DAB CPEM D CB AE P（第 16 题图）目 CB1D11（）求证： 1BC平面 DA1； （）求证：平面 平面 1B.