1、2018 届江苏省丹阳高级中学高三上学期期中考试数学试题（解析版）一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共计 70分请把答案填写在答题卡相应位置上1. 知集合 ， ，则 _【答案】【解析】由 ， ，则 .2. 复数 （是虚数单位）的实部为_【答案】2【解析】复数 ,所以实部为 2.点晴：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 ， ，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数 的实部为，虚部为 ，模为 ，对应点为 ，共轭复数为 .3. 函数 的定义域为_【答案】【解析】由 ，解得 ，所以定义域为 .4. 某校高三年级 50
2、0 名学生中，血型为 O 型的有 200 人，A 型的有 125 人，B 型的有 125 人，AB 型的有50 人为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法从这 500 名学生中抽取一个容量为 60 的样本，则应抽取_名血型为 AB 的学生【答案】6【解析】由题意 ，故 AB 型血抽： 人.5. 下图是一个算法流程图，则输出的的值为_【答案】3【解析】第一次循环后 S=400,i=1;第二次循环后 S=800,i=2;第三次循环后 S=1200,i=3;第四次循环后 S=16001200,输出 i=3.6. 抛一枚硬币 3 次，恰好 2 次正面向上的概率为_【答案】【解析】每枚硬币正面向上
3、的概率都等于 ,故恰好有两枚正面向上的概率为 .7. 已知 ， ，则 的取值集合为_【答案】【解析】 ,则 的取值集合为 .8. 在平行四边形 中， ， ， ，则 的值为_【答案】3【解析】在平行四边形 ABCD 中,AB=2,AD=1, ，则 BC=1.点睛:平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ab| a|b|cos ；二是坐标公式 ab x1x2 y1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.9. 设等差数列 的前 项和为 若 ，且 ， ， 成等差数列，则数列 的通项公式
4、_【答案】【解析】设等差数列 的公差为 d， ，且 ， ， 成等差数列， 解得 10. 在平面直角坐标系 中，已知点 A（ ，0），B（1，0）均在圆 ： 外，且圆 上存在唯一一点 满足 ，则半径的值为_【答案】4【解析】根据题意,点 A(1,0),B(1,0)，若点 满足 ，则点 P在以 AB为直径的圆上，设 AB的中点为 M,则 M的坐标为 (0,0)， |AB|=2，则圆 M的方程为 ，若圆 上存在唯一一点 满足 ，则圆 C与圆 M只有一个交点，即两圆外切，则有 r+1=|MC|= ，解可得 r=4.11. 已知函数 设曲线 在点 处的切线与该曲线交于另一点 ，记 为函数 的导数，则 的
5、值为_【答案】【解析】函数 f（x）=3x2则曲线 y=f（x）在点 P（x 1，f（x1） ）处的切线斜率为：f（x 1）=3x12,则曲线 y=f（x）在点 P（x 1，f（x1） ）处的切线方程为：y-x 13=3x12（x-x1），联立 y=x3得：x 3-3xx12+2x13=（x-x1）2（x+2x1）=0，即 x2=-2x1，f（x2）=3x22=12x1212. 已知函数 与 的图象关于原点对称，且它们的图象 拼成如图所示的“Z”形折线段 ABOCD，不含 A（0，1）， B（1，1），O（0，0），C（-1，-1），D（0，-1）五个点则满足题意的函数 的一个解析式为_【答案
6、】 （ ）【解析】由图可知，线段 OC 与线段 OB 是关于原点对称的，线段 CD与线段 BA也是关于原点对称的，根据题意, f(x)与 g(x)的图象关于原点对称，所以 f(x)的图象可以在 OC或 CD中选取一个，再在 AB或 OB中选取一个，比如其组合形式为： OC和 AB ， CD和 OB ，且 OC的方程为： y=x(10，n0） ，tanC=tan（A+B ）=，当且仅当 ，即 时取等号.点睛:关于利用基本不等式求最值问题，需要掌握一些基本知识和基本方法，利用基本不等式求最值要注意“一正、二定、三相等” ，当两个正数的积为定值时，这两个数的和取得最小值；当两个正数的和为定值时，这两
7、个数的积取得最大值；利用基本不等式求最值的技巧方法有三种：第一是“的妙用” ，第二是“做乘法” ，第三是“等转不等”.二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 如图，在直三棱柱 中， ，点 为棱 的中点求证：（1） 平面 ；（2）平面 平面 【答案】 （1）见解析；（2）见解析。【解析】试题分析：（1） 与平面 内的 平行，所以 平面 .（2）通过证明 ， 可得 平面 结合 平面 ， 可得平面平面 试题解析：（1）在三棱柱 中， ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 （2）在直三棱柱 中， 平面 ，又 平面 ，所以 因为 ，
8、所以 又因为点 为棱 的中点，所以 又 ， 平面 ，所以 平面 又 平面 ，所以平面 平面 点睛：本题第一问考查的是直线与平面平行的判定。通过证明平面外的直线与平面内的直线线平行，从而证明线面平行。寻找线线平行的一般办法有：一、利用三角形中位线定理，二、利用平形四边形的性质;三、利用两直线都垂直于同一平面，两直线平行;四、利用线面平行的性质等。16. 设ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c向量 ， ，且 （1）求 A 的大小；（2）若 ，求 的值【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）通过已知及平面向量数量积的坐标运算可得 利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求
9、tanA 的值，结合特殊角的三角函数值即可得解 A 的值（2）由（1） 又 ，解得 . 通过 可得解.试题解析：（1）因为 ，所以 ，即 由正弦定理得， ，所以 在ABC 中， ， ，所以 若 ，则 ，矛盾若 ，则 在ABC 中， ，所以 （2）由（1）知， ，所以 因为 ，所以 解得 （负值已舍） 因为 ，所以 或 在ABC 中，又 ，故 ，所以 因为 ，所以 从而17. 如图，在平面直角坐标系 中，过椭圆 ： 的左顶点 作直线，与椭圆和 轴正半轴分别交于点 ， （1）若 ，求直线的斜率；（2）过原点 作直线的平行线，与椭圆 交于点 ，求证： 为定值【答案】 （1） （2）见解析。【解析】试
10、题分析：（1）设直线 ,代入椭圆方程得 由 ，有，可得出直线的斜率；（2）设直线 l斜率为 k，联立方程组分别求出 AP，AQ，MN，代入计算化简即可得出结论试题解析：（1）依题意，椭圆 的左顶点 ，设直线的斜率为 ，点 的横坐标为 ，则直线的方程为 又椭圆 ： ， 由 得， ，则 ，从而 因为 ，所以 所以 ，解得 （负值已舍） （2）设点 的横坐标为 结合（1）知，直线 的方程为 由 得， 从而 ，即证18. 将 2 张边长均为 1 分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分（1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面半径；（2）在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值【答案】 （1） 分米， 分米 （2） 立方分米【解析】试题分析：（1）设圆锥母线为 l，圆锥底面圆半径为 r,则有 , 可解得 l.r.（2）设长方体的棱长为 x,y,z,则 可得 所以长方体的体积， 利用导数可求得其最大值试题解析：（1）设圆锥的母线长及底面半径分别为 ，则 解得 （2）设被完全覆盖的长方体底面边长为 ，宽为 ，高为，则解得 则长方体的体积：， 所以 令 得， 或 （舍去） 列表：所以，当 时，
