1、2018 届安徽省无为县中学高三上学期第一次月考数学（理）（考试时间：120 分钟 满分：150 分）第卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合 2|0Ax， 2Bx则( ) A. BB. AC. BAD. BR2 已知复数 4mxi， 32ni，若复数 nRm，则实数 x的值为（ ）A. 6B.6 C. 83D. 833.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）A.2B.23C.43D.44.已知等边 ABC与等边 DEF同时内接于圆 O中，且 /BCEF，若往圆 O内投掷一点，则该
2、点落在图中阴影部分内的概率为（ ）A 3B C 32D 64 5.已知等比数列 na，且 68a，则 84682aa的值为（ ）A.2 B.4 C.8 D.166.我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 1.5S（单位：升） ，则输入 k的值为（ ）A4.5 B6 C7.5 D9 7已知角 终边与单位圆 x2+y2=1 的交点为1(,)2py，则sin(2)a=（ ）A12B C3D18、设 x， y满足约束条件20,xya若 xy的最大值为 2，则 a的值
3、为（ ）A 12 B 14 C 38 D 599、已知向量 3O， 2， OmAnB，若 O与的夹角为 60，且 OCAB，则实数mn的值为（ ）A. 16 B. 14 C. 6 D. 410函数 2()axbfc的图象如图所示，则下列结论成立的是( ）A a0， b0， c0B a0， b0， c0C a0， b0， c0D a0， b0， c011.四面体 AB中， 10CD， 234AB， 241ADBC，则四面体 ABCD外接球的表面积为（ ）A.50B. C. D. 012已知定义域为 R 的函数 g（x） ，当 x（1，1时，21, 0()31xgx，且 g（ x+2）= g（ x
4、）对 xR 恒成立，若函数 f（ x）= g（ x） m（ x+1）在区间1，5内有6 个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）A （ ， ） B （， （ ，+） C ， ） D ， 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13、已知函数 2()sin()1fxx的两个零点分别为 m、 n（ m n） ，则 = 14.已知数列 na为等差数列， nb为等比数列，且 0,nab，记数列 nab的前 项和为 nS，若1,13nnbSN，则数列 25n的最大项为第_项.15.若 52ayxyx的展开式中各项系数的和为 32，则展开式中只含字母 x且 的次数为
5、 1 的项的系数为_16.已知双曲线2:1xyCab的右焦点为 F，过点 向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为 M，交另一条渐近线于 N，若 2MFN，则双曲线的离心率为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （本小题满分 12 分）在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且sin2A+sin2C=sin2BsinAsinC（1）求 B 的大小；（2）设 BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D， AD=2 ， BD=1，求 sin BAC 的值18、 （本小题满分 12 分）2016 年底，某城市地铁交通
6、建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分 100 分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：满意度评分 低于 60 分 60 分到 79 分 80 分到 89 分 不低于 90 分满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意已知满意度等级为基本满意的有 680 人（）若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度现从全市市民中随机抽取 4 人，求至少有 2 人非常满意的概率；（）在等级为不满意市民中，老年人占 .现从该等级市民中按年龄分层抽取 15 人了解不满13意的原因，并从中选取 3 人担任整改
7、督导员，记 X 为老年督导员的人数，求 X 的分布列及数学期望 E(X)；CB D19（本小题满分 12 分）如图，已知四棱锥 SABCD 中，SA平面 ABCD，ABC=BCD=90，且 SA=AB=BC=2CD=2，E 是边 SB 的中点（1）求证：CE平面 SAD；（2）求二面角 DECB 的余弦值大小20.（本小题满分 12 分）已知 A是抛物线 24yx上的一点，以点 A和点 (2,0)B为直径的圆 C交直线1x于 M， N两点，直线 l与 B平行，且直线 l交抛物线于 P，Q两点（）求线段 的长；（）若 3OP，且直线 PQ与圆 C相交所得弦长与 |MN相等，求直线 l的方程21
8、（本小题满分 12 分）函数 f（x）=lnx+ +ax（ aR） ， g（ x）=e x+ （1）讨论 f（ x）的极值点的个数；（2）若对于 x0，总有 f（x）g（x） （i）求实数 a 的取值范围；（ii）求证：对于x0，不等式 ex+x2（ e+1） x+ 2 成立请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分（本小题满分 10分） 22.以直角坐标系的原点 O为极点， x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线 l的参数方程为1cos2inxty， （ t为参数， 0） ，曲线 C的极坐标方程为2sincos0.（1）求曲线 C的直角坐标
9、方程；（2）设直线 l与曲线 相交于 A， B两点，当 变化时，求 AB的最小值. 23.已知函数 52fxx.（1）若 R，使得 fm成立，求 的范围；（2）求不等式 281()0xx的解集1、高三数学（理科）参考答案选择题BCACD BACAC CC2、填空题13 14.14 15.-7 16.23三、解答题17.解：（本小题满分 12 分）（1）在ABC 中，sin 2A+sin2C=sin2BsinAsinC，a 2+c2=b2ac，cosB= = = ，B（0，） ，B= （2）在ABD 中，由正弦定理： ，sinBAD= = = ，cosBAC=cos2BAD=12sin 2BAD
10、=12 = ，sinBAC= = = 18. 解： (1)由频率分布直方图可知则 10(0.035 a0.0200.0140.0040.002)1，所以 a0.025，所以市民非常满意的概率为 0.02510 .又市民的满意度评分相互独14立，故所求事件的概率 P1 .6 分189256 67256(2)按年龄分层抽样抽取 15 人进行座谈，则老年市民抽 15 5 人，从 15 人中选取 3 名整13改督导员的所有可能情况为 C ，由题知 X 的可能取值为 0,1,2,3， P(X0)315 ， P(X1) ，C310C315 2491 C15C210C315 4591P(X2) ， P(X3
11、) ，C25C10C315 2091 C35C315 291X 分布列为X 0 1 2 3P 2491 4591 2091 291所以 E(X)0 1 2 3 1.8 分 12 分2491 4591 2091 29119【解答】证明：（1）取 SA 中点 F，连结 EF，FD，E 是边 SB 的中点，EFAB，且 EF= AB，又ABC=BCD=90，ABCD，又AB=2CD，且 EF=CD，四边形 EFDC 是平行四边形，FDEC，又 FD平面 SAD，CE 平面 SAD，CE面 SAD解：（2）在底面内过点 A 作直线 AMBC，则 ABAM， 又 SA平面 ABCD，以 AB，AM，AS
12、 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C（2，2，0） ，D（1，2，0） ，D（1，2，0） ，E（1，0，1） ，则 =（0，2，0） ， =（1，0，1） ， =（1，0， ） ， =（1，2，1） ，设面 BCE 的一个法向量为 =（x，y，z） ，则 ，取 x=1，得 =（1，0，1） ，同理求得面 DEC 的一个法向量为 =（0，1，2） ，cos = = ，由图可知二面角 DECB 是钝二面角，二面角 DECB 的余弦值为 .20. 解：（20.解：（）设20(,)4yA，圆 C方程为200()()4yxy，令 1x，得
13、2201y， 0MNy，201MN，22200|()44()MNMNy（）设直线 l的方程为 xmn， 1(,)Pxy， 2,Q，则由 2,4xmyn消去 ，得 240y，12， 12， 3OPQ， 123xy，则211()36y， 240n，解得 n或 ，当 1n或 3时，当 (2,0)B到直线 l的距离 21dm，圆心 C到直线 l的距离等于直线 1x的距离， 0281y，又204ym，消去 得42061y，求得 20y，此时，20y，直线 l的方程为 3x， 综上，直线 l的方程为 1x或 21.解：（1）由题意得 f（x）=x+ +a= ，当 a240，即2a2 时，f（x）0 恒成立
14、，无极值点；当 a240，即 a2 或 a2 时，a2 时，设方程 x2+ax+1=0 两个不同实根为 x1，x 2，不妨设 x1x 1，x 2，则 x1+x2=a0，x 1x2=10，故 0x 1x 2，x 1，x 2是函数的两个极值点a2 时，设方程 x2+ax+1=0 两个不同实根为 x1，x 2，则 x1+x2=a0，x 1x2=10，故 x10，x 20，故函数没有极值点综上，当 a2 时，函数有两个极值点；当 a2 时，函数没有极值点（2） （i）f（x）g（x）等价于 exlnx+x 2ax，由 x0，即 a 对于x0 恒成立，设 （x）= （x0） ，（x）= ，x0，x（0，
15、1）时，（x）0，（x）单调递减，x（1，+）时，（x）0，（x）单调递增，（x）（1）=e+1，ae+1（ii） （ ii）由（ i）知，当 a=e+1 时有 f（x）g（x） ，即：e x+ x2lnx+ x2+（e+1）x，等价于 ex+x2（e+1）xlnx当且仅当 x=1 时取等号，以下证明：lnx+ 2，设 （x）=lnx+ ，则 （x）= = ，当 x（0，e）时 （x）0，（x）单调递减，x（e，+）时 （x）0，（x）单调递增，（x）（e）=2，lnx+ 2，当且仅当 x=e 时取等号；由于等号不同时成立，故有 ex+x2（e+1）x+ 2 22.解：（I）由 2sincos0，得 2sincos. 4 分 曲线 C的直角坐标方程为xy25 分（II）将直线 l的参数方程代入 xy2，得 2sics10.tt6分设 ,AB两点对应的参数分别为 1,t，则 12oin， 22in，7分21211()4ttt242csii2.si9分当 时， 的最小值为2. 10分23.解：（I）3,()|5|2|725.xfxx3 分当 25时， 37， 所以 ().fx4 分 3.m5 分（II）即 2815fx
