1、2018 届四川省邻水实验学校高三上学期第一阶段检测 理数考试时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分）1.“sin=cos”是“ )(,24zk”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2.已知复数 z= 3i，则 的虚部为（ ）A3 B3 C3i D3i3.曲线 y=x2 与直线 y=2x 所围成图形的面积为（ ）A 316 B 8 C 34D 24.函数 f(x)x 2(2x-2-x)的大致图像为（ ）5.在ABC 中，若 BC=2，A=120，则 的最大值为（ ）A B C D6.已知
2、， 是非零向量，且向量 ， 的夹角为 3，若向量 bap，则 =（ ）A B C3 D7.（x+ xa）（3x 2） 5的展开式中各项系数的和为 3，则该展开式中常数项为（ ）A2520 B1440 C1440 D25208.下列各式错误的是（ ）A3 0.83 0.7 Blog 0.50.4log 0.50.6 C0.75 0.1 0.75 0.1 Dlg1.6lg1.49.已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 2=4，S 10=110，则 na64S的最小值为（ ）A7 B8 C 215D 710.奇函数 f（x）在（0，+）内单调递增且 f（2）=0，则不等式 1)(xf0 的解
3、集为（ ）A （，2）（0，1）（1，2） B （2，0）（1，2）C （，2）（2，+） D （，2）（0，1）（2，+）11.下列说法正确的个数为（ ）函数 ()4cos(2)3fx的一个对称中心为 5(,0)在ABC 中，AB=1，AC=3，D 是 BC 的中点，则 ABC=4在 ABC中， 是 2cos的充要条件；已知： ()mins,fxx，则 ()fx的值域为 21, A.1 B.2 C.3 D.412.已知函数 f（x+ 21）= 24sin4x则 f（ 2017）+f（ ）+f（ 20176）=（ ）A2017 B2016 C4034 D4032二、填空题（本题共 4 道小题，
4、每小题 5 分，共 20 分）13.设 a0，b0，若 是 a3与 b的等比中项，则 + 的最小值是 14.如图，它满足第 n 行首尾两数均为 n，表中的递推关系类似杨辉三角，则第 n 行（n2）第 2 个数是 15.已知一个三角形的三边长分别是 5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2 的概率是 16.一天，小波老师在爬教学楼楼梯时,一步可以跨上 1 个台阶,2 个台阶,或者 3 个台阶.共有 13 个台阶,请你帮忙计算小波老师爬完 13 个台阶共有_种不同走法三、解答题（每小题 12 分，共 60 分）17.已知函数 f（x）
5、=cosx（sinx+cosx） 21（1）若 0 ，且 sin= ，求 f（）的值；（2）求函数 f（x）的最小正周期及单调递增区间18.如图，ABCD 是菱形，PA平面 ABCD，PA=AD=2，BAD=60（）求证：平面 PBD平面 PAC；（）求点 A 到平面 PBD 的距离；（）求二面角 APBD 的余弦值19.已知正数数列 na的前 n 项和 S满足：2S n=a 2+ na（）求数列 的通项公式；（）设 naan abnn )1(2)(1(1求数列bn的前 2n 项和20.在 ABC中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.且满足 b=acosC+ 3csinA.（1）求角
6、A 的大小；（2）若边长 a=2，求 面积的最大值。21.已知函数 f（x）ln（2ax1）3x 2（aR） （）若 x2 为 f（x）的极值点，求实数 a 的值；（）若 yf（x）在2，）上为增函数，求实数 a 的取值范围；（）当 a 1时，方程 f（1x）3()x bx1 有实根，求实数 b 的最大值四.选做题（考生从 22,23 中选择一题作答，每小题 10 分，共 10 分）22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 1cos2inxy（ 为参数）以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 =4sin（）求曲线 C1
7、的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；（）求曲线 C1和 C2公共弦的长度23.已知函数 f（x）=|xa|，aR（）当 a=1 时，求 f（x）|x+1|+1 的解集；（）若不等式 f（x）+3x0 的解集包含x|x1，求 a 的取值范围试卷答案1.B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可【解答】解：由“sin=cos”得：=k+ ，kZ ，故 sin=cos 是“ ”的必要不充分条件，故选：B2.B【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，求得 后得答案【解答】解：由 = ，得 ， 的虚部为 3故选：
8、B3.C【考点】定积分在求面积中的应用【分析】联立解方程组，得到曲线 y=x2 及直线 y=2x 的交点是（0，0）和 A（2，4），由此可得两个图象围成的面积等于函数 y=2xx2 在0，2 上的积分值，根据定积分计算公式加以计算，即可得到所求面积【解答】解：由 ，解得曲线 y=x2 与直线 y=2x 的图象交点为（0，0），（2，4）因此，曲线 y=x2 及直线 y=2x 所围成的封闭图形的面积是S= （2x x2）dx=（x 2 x3） = ；故选 C【点评】本题考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识4.A【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象【分析】利用函数的定义域与函数的
9、值域排除 B，D，通过函数的单调性排除 C，推出结果即可【解答】解：令 g（x）=xlnx1，则 ，由 g（x）0，得 x1，即函数 g（x）在（1，+）上单调递增，由 g（x）0 得 0x1，即函数 g（x）在（0，1）上单调递减，所以当 x=1 时，函数 g（x）有最小值，g（x） min=g（0）=0，于是对任意的 x（0，1）（1，+） ，有 g（x）0，故排除 B、D，因函数 g（x）在（0，1）上单调递减，则函数 f（x）在（0，1）上递增，故排除 C，故选 A5.A【考点】平面向量数量积的运算【分析】由 ，4=AC 2+AB22ACABcosA4=AC 2+AB2+ACAB2AC
10、AB+ACAB=3ACABACAB， =ACABcos120即可【解答】解： ， 4=AC2+AB22ACABcosA 4=AC2+AB2+ACAB2ACAB+ACAB=3ACABACAB =ACABcos120 ，则 的最大值为 ，故选：A【点评】考查向量减法的几何意义，数量积的运算及其计算公式，涉及了不等式 a2+b22ab 的应用，属于基础题6.D【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意可知 ，且向量 ， 的夹角为 ，然后求得 ，则答案可求【解答】解： ，且向量 ， 的夹角为 ， = = = 故选：D7.B【考点】二项式定理的应用【分析】根据展开式中各项系数的和 2 求得 a 的值，再
11、把二项式展开，求得该展开式中常数项【解答】解：令 x=1 可得（x+ ）（3x ） 5的展开式中各项系数的和为（ a+1）=3，a=2（x+ ）（3x ） 5 =（x+ ）（3x ） 5 =（x+ ）（ 243x5 162x3+ 108x + ），故该展开式中常数项为 72+2108 =1440，故选：B【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，求二项展开式各项的系数和的方法，属于中档题8.C【考点】不等式比较大小【分析】利用对数函数和指数函数的增减性进行选择【解答】解：A、y=3 x，在 R 上为增函数，0.80.7，3 0.83 0.7，故 A 正确
12、；B、y=log 0.5x，在 x0 上为减函数，0.40.6，log 0.50.4log 0.50.6，故 B 正确；C、y=0.75 x，在 R 上为减函数，0.10.1，0.75 0.1 0.75 0.1，故 C 错误；D、y=lgx，在 x0 上为增函数，1.61.4，lg1.6lg1.4，故 D 正确；故选 C9.D【考点】等差数列的前 n 项和；数列的函数特性【分析】设等差数列a n的公差为 d，由已知易得 an 和 Sn，代入可得 ，由基本不等式可求【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，则 ，解得故 an=2+2（n1 ）=2n ，S n=2n+ =n2+n所以 = = =
13、，当且仅当 ，即 n=8 时取等号，故选 D【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及基本不等式求最值，属基础题10.D【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】通过当 x1 时，f（x）在（0，+）内单调递增，又 f（2）=0，则 f（x）0=f（2） ，当0x1 时，f（x）0，又函数 f（x）为奇函数，求出 x0 时不等式的解集，进而求出不等式的解集即可【解答】解：当 x1 时，f（x）在（0，+）内单调递增，又 f（2）=0，则 f（x）0=f（2） ，x2当 0x1 时，f（x）0，解得：0x1，又函数 f（x）为奇函数，则 f（2）=0 且 f（x）在（，0）内单调递增，则当 x
14、0 时，f（x）0=f（2） ，x2，综上所述，x2 或 0x1 或 x2，故选：D11.A【考点】函数零点的判定定理【分析】根据导函数判断函数 f（x）=e x+4x3 单调递增，运用零点判定定理，判定区间【解答】解：函数 f（x）=e x+4x3f（x）=e x+4当 x0 时，f（x）=e x+40函数 f（x）=e x+4x3 在（，+）上为 f（0）=e 03=20f（ ）= 1 0f（ ）= 2= 0f（ ）f（ ）0，函数 f（x）=e x+4x3 的零点所在的区间为（ ， ）故选：A12.D【考点】函数的值【分析】根据函数的奇偶性求值即可【解答】解：f（x ）= = =2+ ，
15、令 g（x+ ）= ，得 g（x+ ）是奇函数，f（ ）+f（ ）+f（ ）=22016=4032，故选：D13.4【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】先根据等比中项的性质求得 a+b 的值，进而利用基本不等式取得 ab 的最大值，把 + 化简整理，根据 ab 的范围，求得答案【解答】解： 是 3a与 3b的等比中项3 a3b=3a+b=3a+b=1ab = （当 a=b 时等号成立） + = = 4故答案为：414.【考点】归纳推理【分析】依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有 an+1=an+n（n2），再由累加法求
16、解即可【解答】解：依题意 an+1=an+n（n2），a 2=2所以 a3a2=2，a 4a3=3，a nan1=n累加得 ana2=2+3+（n1）=故答案为：【点评】本题考查学生的读图能力，通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法，属于中档题15.1【考点】CF：几何概型【分析】分别求出对应事件对应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论【解答】解：三角形的三边长分别是 5，5，6，三角形的高 AD=4，则三角形 ABC 的面积 S= ，则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2，对应的区域为图中阴影部分，三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的 ，圆的半径为 2，则阴
17、影部分的面积为 S1=12 =122，则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为 ，故答案为：1 【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键16.2【考点】空间向量的数量积运算【分析】利用“当点 P，M，N 三点共线时， 取得最大值 ”，此时 ，而 ，可得 = ，可知当且仅当点 P 为正方体的一个顶点时上式取得最大值，求出即可【解答】解：设点 O 是此正方体的内切球的球心，半径 R=1 ， 当点 P，M，N 三点共线时， 取得最大值此时 ，而 ， = ，当且仅当点 P 为正方体的一个顶点时上式取得最大值， = =2故答案为 217.【考点】H2：正弦函数的图象
18、【分析】（1）根据题意，利用 sin 求出 cos 的值，再计算 f（）的值；（2）化简函数 f（x），求出 f（x）的最小正周期与单调增区间即可【解答】解：（1）0 ，且 sin= ，cos= ，f（）=cos（sin+cos）= （ + ）= ；（2）函数 f（x）=cosx（sinx+cosx）=sinxcosx+cos2x= sin2x+ = （sin2x+cos2x）= sin（2x+ ），f（x）的最小正周期为 T= =；令 2k 2x+ 2k+ ，kZ，解得 k xk+ ，kZ；f（x）的单调增区间为k ，k+ ，kZ【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基
19、础题目18.【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算【分析】 （）先证明 ACBD，再利用向量的方法证明 DBAP，从而可得 DB平面 PAC，利用面面垂直的判定可得面 PBD平面 PAC；（）求出平面 PDB 的法向量为 ， ，从而可求点 A 到平面 PBD 的距离；（）求出平面 ABP 的法向量 ，利用向量的夹角公式，即可求得二面角 APBD 的余弦值【解答】 （）证明：设 AC 与 BD 交于 O 点ABCD 是菱形，ACBD以 OA、OB 所在直线分别 x 轴，y 轴以过 O 且垂直平面 ABCD 的直线为 z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则 D
20、BAPACBD，ACAP=ADB平面 PAC，又 DB平面 PDB平面 PBD平面 PAC（）解：设平面 PDB 的法向量为 ，由 ，令 z1=1 得 点 A 到平面 PBD 的距离 = （）解：设平面 ABP 的法向量 ， ， 二面角 APBD 的余弦值为 19.【考点】数列的求和；数列的概念及简单表示法【分析】（1）由题得 an2+an=2Sn，a n+12+an+1=2Sn+1，两式子相减得a n是首项为 1，公差为 1 的等差数列，即可求数列a n的通项公式；（2）若 bn= ，利用错位相减法，求数列b n的前 n 项和 Tn【解答】解：（1）由题得 an2+an=2Sn，a n+12
21、+an+1=2Sn+1，两式子相减得：结合 an0 得 an+1a n=1 .令 n=1 得 a12+a1=2S1，即 a1=1，所以a n是首项为 1，公差为 1 的等差数列，即 an=n.（2）因为 bn= = （n2）所以 Tn= + + Tn= + + .（8 分）得 Tn=1+ + = ，所以数列b n的前 n 项和 Tn=3 .（12 分）【点评】本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，属于中档题20.【考点】数列的应用【分析】（1）OA=2 =2 ，可得 y=f（x）=2x ，x（0，40）（2）平方利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：（1）AB=2OA=2 =2 ，y=f（x）=2x ，x（0，40）（2）y 2=4x2（1600x 2）4 =16002，即 y1600，当且仅当 x=20 时取等号截取 AD=20 时，才能使矩形材料 ABCD 的面积最大，最大面积为 1600【点评】本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21.
