1、Laplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛1毕业论文 题 目: Laplace 变换在反常积分中的应用 学 院: 数学与计算机学院 年级专业: 2006 级数学与应用数学 学 生: 龚 涛 学 号: 200609040124 指导教师: 李顺初 郭丽洁 完成时间: 2010 年 4 月 26 日 Laplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛2Laplace 变换在反常积分中的应用数学与应用数学 龚 涛 指 导 教 师 李顺初 郭丽洁【摘要】：本文介绍了 Laplace 变换的概念及性质，在这基础上，研究了利用 Laplace 变换求解反常积
2、分的方法，并对其方法作了理论证明，最后列举实例.其求解反常积分的方法是：将含参变量的反常积分进行 Laplace 变换，再取 Laplace 逆变换；对于含实变量的反常积分，可以引入一参变量，求解完备后令其取相应值即可.最后总结了 Laplace 变换在求解反常积分中的地位和作用，并对其在未来科学中的应用作了展望.【关键词】:Laplace 变换；Laplace 逆变换；反常积分；含实变量的反常积分；含参变量的反常积分【Abstract】：The paper introduces the Laplace transform concept and nature, in this study,
3、based on solving Laplace transform using improper integral method, and the method of theoretical proof, finally examples. The solution of the abnormal integral method is: will contain parameter improper integral Laplace transform on the Laplace transform, take again, To contain the real variable imp
4、roper integral depending on a parameter, can introduce a complete solution, the corresponding value after taking. Laplace transform in last summarizes the status and function of mathematics, and its application in future science is prospected.【Key words】：Laplace transform, Laplace transform, Imprope
5、r integrals, The real variables with abnormal integral, Contain the abnormal integral depending on a parameterLaplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛3目 录1 引言 .42 预备知识 .42.1 Laplace 变换的概念及性质 .42.1.1 概念 42.1.2 存在定理 52.1.3 Laplace 变换的性质 52.2 常用函数 Laplace 变换 83 Laplace 变换求解反常积分的方法 .84 Laplace 变换求解反常积分的方法的理论
6、依据及证明 .104.1 引理及证明 104.2 中心定理及证明 125 Laplace 变换求解反常积分实例 .135.1 含参变量积分 .1320sin1txd5.2 泊松积分 .1420xe5.3 计算积分 .1520cos1td5.4 计算积分 1722xab6 总揽与结束语 .196.1 Laplace 变换在数学中的作用与展望 .196.2 结束语 207 参考文献 .20Laplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛41 引言Laplace 变换理论（亦称为算子微积分或运算微积分）是在 19 世纪末发展起来的.首先是英国工程师赫微赛德（O.Heavisid
7、e）发明了用运算法解决当时的电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证.后来由法国数学家拉普拉斯（P.S.Laplace）给出严密的数学定义，称之为 Laplace 变换（简称拉式变换）方法.它与在此之前的傅里叶变换相比，放宽了对函数的要求，使工程实际问题中，许多含有以时间 作为自变量的函数的问题得到解决.t近几年来，Laplace 变换的重要性与日俱增，且为工程师、物理学家、数学家及其他各类科学家所必须具有的数学基础中的不可缺少的部分.这不但是因为 Laplace 变换在理论上的趣味性，更因为有许多科学及工程上的问题，均可用 Laplace 变换解答.在工程学上，Laplace 变换的
8、重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；如在非稳态性导热中， 线性 系统，控制自动化上都有广泛的应用.本文在介绍了 Laplace 变换的概念与性质的基础上，着重介绍 Laplace 变换求解反常积分的方法，并对求解方法给予了严格的理论证明，然后给出大量实例.最后总结了 Laplace 变换在求解反常积分中的地位和作用，并对其在未来科学中的应用作了展望.2 预备知识2.1 Laplace 变换的概念及性质2.1.1 概念如果有这样一个函数 满足：ft1) 当 时有定义；0t2) 积分 在 的某一领域内收敛；（ 是一复变量）stfed s3) 是一运算符号并作用于 ：
9、，表示对函数 的 Laplace 变换；LftLftft4) 令函数 ；0stFsLftfedLaplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛5由此积分所确定的函数 ，称为 的 Laplace 变换；0stFsfedft是 的象函数， 是 的原函数.Fsftft另外，如果 是 的 Laplace 变换，那么 为 的 Laplace 逆s ftFs变换（或 的原函数） ，记为： . 1ftLs2.1.2 存在定理若 在 上的任一有限区间上分段连续，并且当 时，ft0 t增加的速度不超过某一指数函数，则 Laplace 变换一定存在.也即：ft若 满足：1) 在 上的任一有限
10、区间上分段连续；0t2) ；M,lim1cttfce使则 Laplace 变换在 上一定存在： .Rs0stFsfed2.1.3 Laplace 变换的性质1) 线性性 对 ，有,abRLaftbgtaLftbgt证明：左边= 0sted= 0st stf=aLtbgt=右边2) 微分性若 ，有ftFsLaplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛60dftLsFf上式中 是函数 在 时的值，称为初值 .0fft证明：左边= 0sted= stf= 0st stefe= stfd=sF=右边同理，对 的各阶导数的 Laplace 变换是ft22332 112000n n
11、nnndLsFftffsfftdftLsFfsff 式中 表示原函数的各阶导数在 时的值.如果函数0,f 0t的各阶导数都为 0，且 .那么 的各阶导数的 Laplace 变换ft 0ff为 2nnLftsFfts3) 积分定理若 ，有LftFs01tfdFsLLaplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛7证明：不妨设 ，则 ， ；那么由微分0tgfdgtf0g性质得 Ltst于是得 1gtts= F即 01tfdsL对于多重积分有 nnftFs4) 位移性若 ，有LftFsatLefFsa证明：左边= 0stftd= Fa=右边2.2 常用函数 Laplace 变换
12、常用函数 Laplace 变换表序号 原函数 ft 象函数 Fs1 2122t 3s3 ate a1Laplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛84 ate 2)(1as5 at16 btate )(bsa7 sinxt 2x8 cot 2s9 sinatex 2()xsa10 coat 23 Laplace 变换求解反常积分的方法我们可以把含参变量反常积分，视为参变量的函数，先对其取 Laplace 变换，这时便出现了累次积分（因为 Laplace 变换本来就是一个积分变换） ，此时交换积分次序（交换 Laplace 变换与积分的次序）求得其 Laplace 变换的
13、象函数；再通过 Laplace 逆变换，得到其象函数的原函数，即含参变量反常积分的解.若是含实变量反常积分则人为的加上一个参变量即可转换为含参变量的反常积分，在最后令其参变量为需要的值，即可得出原反常积分的解.如果设某含参变量反常积分 收敛，这时把此积分视为 的函数，0,gxtd t令 ，如果 满足 Laplace 变换存在定理，取 的0,ftgxtdft fLaplace 变换，交换积分，求出 ，再取 的0,stFsxedFsLaplace 逆变换. ，即原积分的解.1ftL如图：Laplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛94 Laplace 变换求解反常积分的方
14、法的理论依据及证明在 3 节中对于积分次序的交换是否对最后的解存在影响呢？我们只是发现了这种可行的方法，但并没有理论上的支持，接下来，我们通过 3 条引理，最终得出定理：如果函数 上一致收敛且有界，则有0,0,Itgxtdt关 于 在,LLgxtd等式成立.Laplace 变换;0,LgxtdLaplace 逆变换：0,FsLgxtd原函数：0,ftgxtdLapalce 变换求解反常积分方法图解Laplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛104.1 引理及证明引理 1 设 上连续， 关于 在, ,gxtaxctd在 区 域 ,agxtdt上一致收敛，那么 .,cd,
15、afgc是 关 于 在 上 的 连 续 函 数该引理的证明见参考文献4引理 2 设 上连续， 关于 在, ,gxtxtb在 区 域 ,agxtdt上一致收敛，那么 ，且有等式,ab,afgd是 关 于 在 上 可 积成立., ,baadtxtdxt证明 因为 关于 在 上一致收敛，由引理 1 可知,baftgxtd关于 在 上连续，所以有t,ab* lim,bcacbaxtgdtdtxtMERGEFORMAT (3.1.1)对任意 ，由于 在区域 上连续，所以ca,gxt,catbbc baadtgxd于是* lim,bcacbatgxddtMERGEFORMAT (3.1.2)由公式* ME
16、RGEFORMAT (3.1.1)与* MERGEFORMAT (3.1.2)可得* , ,b baadtgxtxgtdMERGEFORMAT (3.1.3)Laplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛11证毕. 引理 3 设 在区域 上连续，两积分,gxt,axt和 关于 的任意有界区间 上一致收敛，并且,agxtdadt和 ,aA,aagxdxgtd和至少一个存在，那么就有* ,aadttt=MERGEFORMAT (3.1.4) 证明 不妨设 存在，从而 也存在，由,atgxtd ,adtgxt于关于 在任意有界区间 上一致收敛，所以 关于,agxtdt,aA,
17、atd在区间 上连续.又对任意的 ，有 ，可tA,limAagxtdgx得 * lim,AaAatgxdtt=MERGEFORMAT (3.1.5)由引理 2 可知，对任意 ，有A,Aaagxtdgxtd=于是可得* lim,AaAatgxdt=MERGEFORMAT (3.1.6) 由* MERGEFORMAT (3.1.5)与* MERGEFORMAT (3.1.6)可得,aadtgxtdxgt=证毕.Laplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛124.2 中心定理及证明定理 如果函数 上一致收敛且有界，则0,0,Itgxtdt关 于 在有等式成立： 00,LtL
18、gxtd证明 因为 ，其中 是一个复变量，又因,stgxegxs0,Ittd关于 在 上一致收敛，因此 ，0,0,stgxedt关 于 在 上 一 致 收 敛于是 ，又因为函数 关于 在0,stgxex关 于 在 上 也 一 致 收 敛 Itt上有界，即存在 ，对任意 0 有 ,由于 ，, MtItMststeM显然，也即 ，由引理00st stedIed收 敛 ， 所 以 收 敛 +0,dtgxt存 在3 可得* +0+0+0,stststLgxtdexgeLxdMERGEFORMAT (3.2.1)证毕. 根据上述定理，我们便可以方便的求出 的象函数 ，此时ftFs，进而再取 Laplac
19、e 逆变换得到原函数，00,FsLgxtdLgxtd这时便是要求的积分解.Laplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛135 Laplace 变换求解反常积分实例根据上述定理，我们对几个反常积分进行求解，领略一下 Laplace 变换在求解一些不能用初等积分法求解的积分的妙处.无参变量的反常积分，引入一参变量 ，这样一为把反常积分看作是以 为t t自变量的函数，对此函数进行演算.5.1 含参变量积分 20sin1txd例 1、 20sitx解析：此积分本身含有参变量，不用人为加了参变量.令 ，取 Laplace 变换、交换积分并计算20sin1txftd2020020
20、2220sin1si1112sttLfttxdexdxxsssAA再取其 Laplace 逆变换，得Laplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛14121tftLFse所以原积分的解为 20sin11ttxde5.2 泊松积分 20xed例 2、求解泊松积分 .20x解析：此积分用一般的方法需要很高的技巧，得用 函数进行配凑.如果没学过 函数则是求不出来的.而用 Laplace 变换进行求解，思路清晰明了，方法具有通用性，容易让读者掌握，为了更为明了，些例题分了六个步骤.1) 引进参变量： 20txfted2) 取 Laplace 变换： 2 20t txstLed3
21、) 交换积分次序： 220 tsxe4) 计算： 220020011arctn2txstsxsdeds5) 取 Laplace 逆变换 Laplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛15，1212Lstt6) 令参变量取相应值.这里，引入的参变量取 1 时，为原来的函数，所以令 ，有最终的1t解泊松积分 = .20xed5.3 计算积分 20cos1td例 3、计算积分 20cst解析：对于被积函数的分子，先用三角函数的积化各差公式化为和的形式，再引进新变量，使得到可以在“常用 Laplace 变换表”查询的函数.因为 1coscoscos222ttt所以令 20202
22、 20 0cos1cscoso11tftdttt tdd设 ， ，则有2tutvLaplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛16120cosufd2v先对 取 Laplace 变换进行计算得gu202022202 002cos111lnarctn11susuLgudedssxsssA再取 Laplace 逆变换 12sin2Lsu所以有 1sin2cosftt对 取 Laplace 变换进行计算及 Laplace 逆变换，同理对 的计算，hv gu可得Laplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛1720cos1svLhvdeLaplace 逆
23、变换得 12sin2Lsv所以有 2sincos2ftt总之，原积分得 201cscos2tdfttt5.4 计算积分 220cosxdab例 4、计算积分 220csx解析：此例无参变量，需引入一参变量 ，并令tLaplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛18220costxft dab对 取 Laplace 变换并交换积分次序计算得ft2202200222022202 2 22222220222cos1111ststtxLdeabtxdxsabxsssdxxaxbsabbaabss AAAA2222 222221111()() 1() sababasbss sba
24、 AAAA再取 Laplace 逆变换得1 12 2122222 21() ()111()()att bttftLLabsabass sbbaeeabba AAAA2222221 11()at t bt btat bteeaeb 所以原积分得Laplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛19220222cos11()abbxdafeea 6 总揽与结束语6.1 Laplace 变换在数学中的作用与展望积分变换是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换，达到简化运算的结果，Laplace 变换是其中的一种.Laplace 变换不论是在广义积分的计算中，还是在微分、积分
25、、偏微分方程的求解中，都发挥着重要的作用，能达到高等代数中的知识所不能取代的作用.Laplace 变换作为一种数学工具，在物理、化学、电学、自动控制等线性系统的计算和分析中起到了不可估量的作用.我们知道 Fourier 变换是求解微分方程的有效手段之一，但是它有许多不足之处.首先，Fourier 变换要求被变换的函数在 上有定义，这使得许多（ ， +）含有时间变量 的函数不能使用.其次，能够进行 Fourier 变换的函数 要求在t ()fx绝对可积，此条件实际上很苛刻，使许多常见的函数（如多项式函（ ， +）数，三角函数等）都不能进行 Fourier 变换.而此处所研究的 Laplace 变
26、换则放宽了其要求，使其能够适合更多的函数，解决更多的问题.由 Laplace 变换的定义及其性质可以知道，Laplace 变换可用于求解（含初值条件的） （偏）微分方程（组） ，求积分方程，计算广义积分.能对高次的微分方程进行降阶，多元的微分方程组进行消元，从而将繁琐的计算简单化，将抽象问题具体化.Laplace 变换作为一种数学工具，随着科学技术的发展和人们研究的深入，它将被运用于科学研究中涉及线性系统和数理方程的各个领域.在现阶段一维Laplace 变换得到了极大的应用，而在以后的研究中，多维的 Laplace 变换的研Laplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛
27、20究和应用有待拓广.Laplace 变换在讨论一类非线性种群发展系统发挥作用，运用多维 Laplace 变换可研究物理、化学、电学、自动控制等线性系统的平稳过程，利用 Laplace 变换还可以进行一些数值计算方法的研究.6.2 结束语本文主要是为了找出求解积分的通用方法，当然对于那些用一般方法不易求出，甚至求不出的积分而言，这通用的方法便是最好的方法.这种方法就是利用 Laplace 变换及 Laplace 逆变换求解积分的方法，在对Laplace 变换的概念、性质定理、常用函数 Laplace 变换的基础上，对其求解方法作出了通俗易懂介绍，并附以求解的结构图，给出理论依据“中心定理” ，
28、接下来通过 3 条引理，一步一步的严格推导，得出“中心定理” ，在理论的基础上，我们对举了两个实例，并对第一个实例的 Laplace 变换解法与一般的解法作了对比.说明了 Laplace 变换解法具有通用性，易于读者掌握并应用.论文写到这里，才真正感受到，毕业论文的确是一项检验大学四年学习的重要手段.在一开始刚拿到题目时，连 Laplace 变换是什么都不知道，通过泡图书馆，近半个月过去了，才有点点眉目这论文应该怎么动笔.原来 Laplace 变换有那么多的用途，可算是在科学的各个领域都有应用，可我却是第一次知道.后来因为找工作的原因没了及时动笔，但心里时常挂念着论文应该怎么写，过了一段时间，
29、似乎在心里酝酿一样，脑子里有些东西了，那天负责指导我的师姐打电话说要在五一前交初稿，于是加班加点的开始写，可真到写的时候，真的难题才开始到来，很多东西在心里想到了，却到了写时就有很多很多的细节需要再次去查资料，翻阅书籍，就像修楼一样，只要下面某一层楼的某一项不合格，就会威胁到上面所有的楼层，所以我有一点点小问题没弄明白，我就写不下去，就得停下来，大把时间的泡图书馆，大量的搜索.特别是 3 条引理到最终中心定理的出来，费了很大的功夫，也借鉴了不少别人的东西，最后通过 4 道典型的实例的详解，实实在在的对 Laplace 变换在反常积分求解作了诠释.7 参考文献1 钱学明.利用拉普拉斯变换求解几个
30、重要的广义积分J.自然科学报.2008.6.2 谢敏玲.一类含参变量的广义积分的计算J.宜宾学院报.2008.11.3 李顺初 黄炳光.Laplace 变换与 Bessel 函数及试井分析理论基础M.石油工业出版社，2000 年 9 月.4 华东师范大学数学系.数学分析（第三版）M.高等教育出版社，2001.6.Laplace 变换在反常积分中的应用 2006 数学与应用数学 龚涛215丁同仁,李承治.常微分方程教程(第二版)M.北京：高等教育出版社,2004.7.6林群.微方程数值解法基础教程（第二版）M.北京：科学出版社，2003.6.7哈尔滨工业大学数学系.变函数与积分变换（第二版）M.科学出版社，2007.8杨巧林,孙树福.复变函数与积分变换M.机械工业出版社，2002.9龚萍,林宗兵.Laplace 变换得妙用J.现代教育，2009.1.10岳锡亭,白萍,金鉴禄.解常系数线性常微分方程的围道积分法J.东北电力学院学报，2003.4.11谢咏梅,胡娟,单华宁,王国清.Laplace 变换的数值反演积分算法的研究J.南京师大学报，2001，第 24 卷第 4 期.
