1、07 年远峰考研数学笔记精髓1线性方程组1、非齐次线性方程组线性方程组的三种表示形式：方程组形式 1121212nmmnaxaxb 矩阵形式 2 Axb其中 ， ，121212nmmnaa 12,Tnx 12,Tmb注：以下的系数矩阵若无特别说明都为 矩阵向量组形式 3，其中12nxxb 12,1,2Tiimian 非齐次线性方程组的解的情况与向量组的相关性及系数矩阵秩的关系：设 与 都是非齐次线性方程组的解，则有12,Tnx 12,Tnx 12nb 1220nnxxx显然若非齐次线性方程组只有惟一解 1,2ii线性无关12,n12,nrA07 年远峰考研数学笔记精髓2又 非齐次线性方程组有解
2、时，必存在一组实数 使得12,nx能由向量组 线性表示12nxxb ,rA非齐次线性方程组有解的充分必要条件为： 1 rAb非齐次线性方程组有惟一解的充分必要条件为： 2 rn（若 为方阵）0A当非齐次线性方程组的解不惟一时，则 不全等于1,2ixn 0线性相关12,n12,nr非齐次线性方程组有无穷多解的充分必要条件为： 3 rnAb（若 为方阵）0A非齐次线性方程组的求解与解的结构：非齐次线性方程组的通解等于对应齐次线性方程组的通解加上非齐次的一特解 1， ， 为 基础解系的解向量， 为xbr12,nr 0Ax0的任一解向量，则 的通解为Ab12nrkk非齐次线性方程组的解向量的任意线性组
3、合不一定是非齐次线性方程组的解 2例如：设 为 的两个解向量，则必有12,x12,b显然 只有当 等于 1 时才是 的解，同时还可知 和k12kAx12恰为 的解210A07 年远峰考研数学笔记精髓3线性方程组求解的简便方法：将增广矩阵 补充 个零行变为 矩阵 1 Abnm1n通过初等行变换将 化为简化行阶梯形矩阵 2有如下 个特点的矩阵为简化行阶梯形矩阵：4（1）零行位于矩阵的下方 （2）各非零行的主元在前一行主元的右边 （3）各非零行的主元为 （4）主元所在列的其他元素都为1 0例如：0320 将对角线上的 元素改为 ，其对应的列为 基础解系的一个解向量，增广 3 10Ax矩阵最右边的一列
4、为 的一特解Axb例 1：已知四元线性方程组 的 个解为 ，且 ，3123,12,01T，而 ，求该线性方程组的通解.3,412Tr解： 基础解系只有一个解向量r0x又 123,Abb方123A便是 基础解系的解向量3同时 ，故 为 的一个特解3x由此可得 的通解为：b（ 为任意常数）35,913,412TTkxk例 2（8701）：问 为何值时，线性方程组,a1234234101xxbax07 年远峰考研数学笔记精髓4有惟一解，无解，有无穷多解？并求出有无穷多解时的通解.解：110023abAb 11020ab 显然， 时方程组有惟一解；1a时方程组无解；,b时方程组有无穷多解，此时有110
5、02A 10120 - 方10120 - 易知 为导出组基础解系的一个解向量， 为原方程组的一特解120T方 1T方原方程组有无穷多解时的通解为： （ 为任意常数）1200Tk方 k2、齐次线性方程组齐次线性方程组解的情况：当非齐次线性方程组中的右边向等于 时候，即 时，非齐次线性方程组就退化为齐0b次线性方程组，从以上的推理过程中可知：齐次线性方程组只有零解 1 12,nrA（若 为方阵）0A齐次线性方程组有无穷多解 2 12,nr（若 为方阵） ；007 年远峰考研数学笔记精髓5当 时 必有无穷多解mn0Ax齐次线性方程组不存在无解的情况，因为当 时方程组总成立 3 120nxx齐次线性方
6、程组的求解与解的结构：设系数矩阵 的秩 ，则齐次线性方程组的基础解系由 个线性无关的解向rr量组成，令其为 ，该方程组的通解为其基础解系解向量的任意组合，可表12,nr示为： （ 不全为 ）rkkx 12,nrk 0证法：设由齐次线性方程组基础解系的解向量构成的矩阵为 ，B一方面：易知 ，又因为 ，0ABrrnArnr故基础解系线性无关的解向量的个数 n另一方面：由于 ，则方程组 有 个自由未知量，令其中的任一r0x个未知量为 ，其余 个未知量都为 便可构成方程组的一个解，由此11nr可知方程组 至少有 线性无关的解，即基础解系的解向量个数nr综合以上两点可知 时方程组 的基础解系解向量个数恰为 个.rAxnr同时由于 都是 的解，易得 必12,nr 012rkk为方程组 的解.x
