1、3.1 线性方程组的矩阵解第三章线性方程组3.1 线性方程组的矩阵解一、用消元法解线性方程组三、矩阵的规范形与线性方程组的解研究问题：二、矩阵和矩阵的初等变换第三章线性方程组对一般线性方程11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 211 22nnnnmm mnmax ax ax bax ax ax bax ax ax b+=+=+=“（1）道此时方程组是有解，还是无解。因此有必要研究一般线性方程组（1）的一、消元法与矩阵的初等变换且系数行列式0D时，方程组（1）有唯一解，,mn=当我们无法知0,D=其解由Cramer法则给出。但若系数行列式时，Cramer法则失效，我们也不知方程组有没
2、当mn是解，更没有解此方程组（1）的有效方下面用加减消元法解三元一次线性方程第三章线性方程组例3.1.1 解方程组：把未知量系数和常按原顺序写成下20 2 600 3 1801 1 5213104 1201 1512 32323231425xx xxxxx+ = = =213142542026133232263185xxxxx+ = =12 3123132314254226xx xxxxxx+ =+=+ =把第1个方程分别乘以、加到第2个、3个方程得：12把第1行分别乘以、加到第2、3行得：21把第3个方程分别乘以、1加到第2个、1个方程得：4把第3行分别乘以、1加到第2、1行得：4第三章线性
3、方程组把第2个方程与第3方程互换位置得：把第2行与第3行互换位置10 1 301 1 500 1 613233356xxxxx+=20 2 601 1 500 3 18分别把第1个方程和第3个方程乘以得：和1/31/2132332265318xxxxx+ =分别用和乘第1行和第3行得：1/2 1/3100 9010 1001 6123916xxx=把第3个方程分别乘以1加到第1、2个方程得：1,分别把把第3行乘以1加到第1、2行得：1,第三章线性方程组在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如3、互换两个方程的位置。这三种变换总称为线性方程组的初等变如果把方程组写成“数表” （矩阵）的
4、形式,则解方程组就2、用一个非零数乘矩阵的某一1、用一个数乘某个方程的两边加到另一方程2、用一个非零数乘一个方程的两1、用一个数乘矩阵的某一行加到另一行下三种变相当于对“数表” （矩阵）进行以下三种变3、互换两行的位由此引进两个新概念：矩阵和矩阵的初等变第三章线性方程组二、矩阵和矩阵的初等变换11 12 121 22 212nnmm mnaa aaa aaa a“定义3.1.1 数域上个元素排成如下形式的表：mnFF称为数域上m行n列矩阵，简称( )ijmna或,mnAmn阶矩阵，记为当m=n时，矩阵亦称为方阵。nn。其中称为矩阵的元素，i称为元素ijaija所在行的行下标，j称为元素所在列的
5、列下标。ija第三章线性方程组定义3.1.2 以下三种变换称为矩阵的初等变1、用一个数乘矩阵的某一行（列）加到另一行（列）称为矩阵的消法变2、用一个非零数乘矩阵的某一行（列），称为倍法变3、交换矩阵中某两行（列）的位置，称为换法变为了利用矩阵的行初等变换解线性方程组，我们要解决下问题：一个线性方程组经初等变换后所得线性方程组是否原方程组同解。我们方程组的初等变换把线性方程组变为一个与它定理3.1.1与它同解的线性方程从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对由程组未知量系数和常数项所排成的矩阵进行初等变换的过第三章线性方程组把方程组(1)的未知量系数按原来的顺序组成的矩阵，称方程组的系数矩
6、阵，记为由方程组未知量系数和常数组成11 12 1 121 22 2 212nnmm mn maa a baa a bAaa a b=“#“#“#“#11 12 121 22 212,nnmm mnaa aaa aAaa a=“矩阵称为方程组的增广矩阵，记为A。对方程组11 12 121 22 212nnnn naa aaa aAaa a=“若11 12 121 22 212nnnn naa aaa aaa a“则称为矩阵AA的行列式，记为。注意行列式与矩阵在形式和本质的区别。第三章线性方程组三、矩阵的规范形与线性方程组的解A进行相应的初等变换。和常数项组成的增广矩阵对方程组进行初等变换其实质
7、就是对方程组中未知量系一个矩阵在行初等变换下可以化为怎样的简单形问题：由定理3.1.1知，对增广矩阵进行行初等变换所得矩阵，对应的方程组与原方程组同第三章线性方程组变换可化为如下阶梯形r行表示在矩阵中无须明白写出的元素，不同位置上的表示的元素未必相等。定理3.1.2 mn矩阵A，通过行初等变换及列换法一个这里0min,;*rmn101000 1000 00 0000 00 0B = “证明：若A=0，则A已成阶梯形。则A至少有一个元素不为0，不妨设110,a 若0,A否我们可经行、列变换，使位于左上角。ija则，可设0,ija 第三章线性方程组对中的右下角矩阵类似考虑，若其为0，2A22 22
8、nmmnbbbb“12 122 2122100nnmmnbbbbAAbb =“用乘第一行得：111a11 12 1 11 12 121 22 2 22 2112 200nnmm mn m mnaa a aa aaa a b bA Aaa a b b=“ “加到第i行，则A化为把第一行分别乘以111 1,2,3,iaa i m=“第三章线性方程组则结论成立；若其不为0，不妨设乘第2行加到第i（i=3，m）行，然后用如此作下去，直到A化为阶梯形B为止。即有：12 13 122 23 233 33100000nnnmmnbb bbb bcccc “ “12 13 123 233 3 33101000
9、0nnnmmnbb bccccAcc =“ “12 122 222100nnmmnbbbbAbb=“乘第二行得：122b用122 2,3,ibb i m=“220,b 第三章线性方程组12 13 123 233 331010000nnnmmnbb bcccccc“ “101000 1000000000000B =“12 122 22100nnmmnbbbbbb“A B 11 12 1 11 12 121 22 2 22 212 200nnnn n m mnaa a aa aaa a b bAaa a b b=“ “第三章线性方程组例3.1.2 解方程组解：原方程组与方程组同解。故原方程的一般解
10、是2x是自由未知量。12317,222xxx= +=12317222xxx=1212(1)11207200120000rr 12323210700 1200 00rrrr+ 2131(2)(1)213100 1200 1 2rr+ 213142542141A= 12 312312 32314254241xx xxxxxx x += += +=第三章线性方程组解：5121721 4 2113650A=1323(5)(2)01432 2470 7 16 12 113650rr+ 32(1)136500 7 16 12 100 0 0 5rr+ 故原方程组无解。由于：5不等于0，12 3412 3
11、4123452724213650xx xxxxxxxxxx +=+ += +=例3.1.3 解方程组13136500 7 16 12 101432 247rr 第三章线性方程组对矩阵A，进一步通过行初等变换，可把矩阵：11 121 2110 001 000 100 0 0 000 0 0 0rnrnrr tnccccC cc+=“ “ “ “ “ “ “11 12 121 22 212nnmm mnaa aaa aAaa a=“化为如下的规范形矩阵：第三章线性方程组对B进行一系列行的消法变换，则可以把B化为C。定理中的r是一个确定的数，称为矩阵A的秩，其意义以后研究。11 121 2110 0
12、01 000 100 0 0 000 0 0 0rnrnrr tnccccCcc+=“ “ “ “ “ “ “101000 1000 00 0000 00 0B = “由定理3.1.2知，矩阵A可经一系列行初等变换化为B：第三章线性方程组定理3.1.3 线性方程组（1）与以下形式的方程组同解：（2）初等变换及列初等变换（最后常数列不能交换）可化为矩阵：（若对（1）的系数矩阵的列施行换法变换，相应要重排未知量的顺序，为方便起见仍用表示。）1,rnxxx“11,11,122,112,2,1 1 ,100000rr nnrr nnrrrr rnn rrxcxcxdxcxcxdxc x cxdd+=+
13、=+=“经行( )A Ab= #分析：只要证明线性方程组(1)的增广矩阵第三章线性方程组列换法变换可化为C，这相应的一系列行初等变换和列换法变由定理3.1.2知，中的系数矩阵A经一系列行初等变换和A以为增广矩阵的线性方程组就是（2）。C11 1 121 2 21110 001 000 100 0 0 000 0 0 0 000 0 0 0 0rnrnrr tn rrccdccdccdCd+=“ “ “ “ “ “ “ “ “1CA换就把化为如下所示：第三章线性方程组11 1 121 2 2111210 001 000 100 0 0 000 0 0 000 0 0 0rnrnrr tn rrr
14、mccdccdccdCddd+=“ “ “ “ “ “ “ “ “第三章线性方程组否则可经行变换把它换到第r+1行，然后对r+2，m行进行行消法变换，使由定理3.1.3 可知，线性方程组与以下线性方程组同解：这就完成定理的证明。20,rndd+= =“若中有一个不为零，不妨设10,rd+1,rmdd+“11 1 121 2 21110 001 000 100 0 0 000 0 0 0 000 0 0 0 0rnrnrr tn rrccdccdccdCd+=“ “ “ “ “ “ “ “ “11 1 121 2 211210 001 000 100 0 0 000 0 0 000 0 0 0r
15、nrnrr tn rrrmccdccdccdddd+“于是就化为1C C第三章线性方程组（3）程组同解：11,11,122,112,2,1 1 ,rr nnrr nnrrrr rnn rxcxcxdxcxcxdxc x cxd+ + =+ + =+ + =“时，方程组有解。这时原方程组与以下方2、当10rd+=时，方程组无解；1、当10rd+11,11,122,112,2,1 1 ,10rr nnrr nnrrrr rnn rrxcxcxdxcxcxdxc x cxdd+=+=+=“第三章线性方程组这时，把方程组（3）改写为：方程组（1）的一个解。把这样得到的解称为方程组（1）的一般解。他列互换，严禁对列进行消法变换和倍法变换。程组的一组自由未知量。需要说明的是，在实际解线性方程组时，一般不做增广矩阵的列互换，特别严禁把常数列与其若时，则方程组有无穷多解。rn若时，则方程组有唯一组解；rn=的一组值从而得1,rxx“给一组值，就唯一确定1,rnxx+“111,11 1222,11 2,1 1rr nnrr nnrrrr rnnxdcx cxxdcx cxxdcx cx+= = = “通过表示出来，1,rxx“1,rnxx+“称为方1,rnxx+“
