1、2016-2017 学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集 U=R，集合 A=x|2x1，B=x|x20，则（ UA）B=（ ）Ax |x2 Bx|0x2 Cx|0x 2 Dx|x 22在复平面内，复数 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3下列函数中，既是偶函数，又在区间0，1上单调递增的是（ ）Ay=cosx By=x 2C Dy=|sinx|4若 a0 ，且 a1 ，则“函数 y=ax 在 R 上是减函数”是“函数 y=（2a）x 3
2、在 R 上是增函数”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5从 0，1 ，2，3，4 中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（ ）A6 B8 C10 D126某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（ ）A B C D47在 RtABC 中，A=90，点 D 是边 BC 上的动点，且| |=3，| |=4， = + （0，0） ，则当 取得最大值时， | |的值为（ ）A B3 C D8某校高三（1）班 32 名学生参加跳远和掷实心球两项测试跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为 26 人和 23 人
3、，这两项成绩均不合格的有 3 人，则这两项成绩均合格的人数是（ ）A23 B20 C21 D19二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡上9已知双曲线 的一条渐近线方程为 3x+2y=0，则 b 等于 10已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn若 a1=2，S 2=a3，则 a2= ，S 10= 11执行如图所示的程序框图，则输出 S 的结果为 12在ABC 中，已知 ，则 C= 13设 D 为不等式组 表示的平面区域，对于区域 D 内除原点外的任一点 A（x ，y） ，则 2x+y 的最大值是 ， 的取值范围是 14若集合 M 满足： x，y M，都有
4、x+yM，xy M，则称集合 M 是封闭的显然，整数集Z，有理数集 Q 都是封闭的对于封闭的集合 M（MR） ，f：MM 是从集合到集合的一个函数，如果都有 f（x+y）=f（x）+f（y ） ，就称是保加法的；如果x，y M 都有 f（xy）=f（x ）f（y ） ，就称 f 是保乘法的；如果 f 既是保加法的，又是保乘法的，就称 f 在 M 上是保运算的在上述定义下，集合 封闭的（填“是”或“否” ） ；若函数 f（x）在 Q 上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数 f（x ）= 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15已知函
5、数 f（x ）=2 sinxcosx+2cos2x1（）求 f（x）的最小正周期；（）求 f（x）在区间 ， 上的最大值和最小值16甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取 8 次，记录如下：甲：8281797895889384乙：9295807583809085（）用茎叶图表示这两组数据；（）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；（）若对甲同学在今后的 3 次测试成绩进行预测，记这 3 次成绩中高于 80 分的次数为（将甲 8 次成绩中高于 80 分的频率视为概率） ，求 的分布列及
6、数学期望 E17在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为正方形，四边形 ABEF 为直角梯形，且AFBE，AB BE，平面 ABCD平面 ABEF=AB，AB=BE=2AF=2 （）求证：AC平面 DEF；（）若二面角 DABE 为直二面角，（ i）求直线 AC 与平面 CDE 所成角的大小；（ ii）棱 DE 上是否存在点 P，使得 BP平面 DEF？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由18已知椭圆 上的动点 P 与其顶点 ， 不重合（）求证：直线 PA 与 PB 的斜率乘积为定值；（）设点 M，N 在椭圆 C 上，O 为坐标原点，当 OMPA，ONPB 时，求OMN 的面积19设函数
7、 f（x ）=ln（x1）+ax 2+x+1，g（x）= （x1）e x+ax2，a R（）当 a=1 时，求函数 f（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程；（）若函数 g（x）有两个零点，试求 a 的取值范围；（）证明 f（x）g（x ）20设 m，n（3mn）是正整数，数列 Am：a 1，a 2，a m，其中 ai（1im）是集合1，2 ，3 ，n中互不相同的元素若数列 Am 满足：只要存在 i，j（1ijm）使ai+aj n，总存在 k（1km）有 ai+aj=ak，则称数列 Am 是“好数列”（）当 m=6，n=100 时，（）若数列 A6：11，78，x ，y，97，90 是一个
8、“好数列” ，试写出 x，y 的值，并判断数列：11，78，90 ， x，97 ，y 是否是一个“好数列”？（）若数列 A6：11，78，a，b，c，d 是“ 好数列”，且 abcd，求 a，b，c，d 共有多少种不同的取值？（）若数列 Am 是“ 好数列 ”，且 m 是偶数，证明： 2016-2017 学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集 U=R，集合 A=x|2x1，B=x|x20，则（ UA）B=（ ）Ax |x2 Bx|0x2 Cx|0x 2
9、 Dx|x 2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据集合补集和交集的定义进行求解即可【解答】解：A=x|2 x1=x |x0，B=x |x20= x|x2，UA=x|x0，则（ UA）B= x|0x2 ，故选：B2在复平面内，复数 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：在复平面内，复数 = =1i 对应的点（1，1）位于第四象限故选：D3下列函数中，既是偶函数，又在区间0，1上单调递增的是（ ）Ay=cosx By=x 2C Dy=|sinx|【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性
10、的判断与证明【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可【解答】解：Ay=cosx 是偶函数，在区间0，1 上单调递减，不满足条件By= x2 是偶函数，在区间0，1上单调递减，不满足条件C. 是偶函数，当 x0 时 =（ ） x 在区间0，1上单调递减，不满足条件Dy=|sinx |是偶函数，在区间0，1上单调递增，满足条件故选：D4若 a0 ，且 a1 ，则“函数 y=ax 在 R 上是减函数”是“函数 y=（2a）x 3 在 R 上是增函数”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据
11、函数单调性之间的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若函数 y=ax 在 R 上是减函数，则 0a 1，此时 2a0，则函数 y=（2a）x 3 在R 上是增函数成立，即充分性成立，若函数 y=（2a）x 3 在 R 上是增函数，则 2a0，即 0a 2，则函数 y=ax 在 R 上不一定是减函数，即必要性不成立，即“函数 y=ax 在 R 上是减函数 ”是“函数 y=（2a）x 3 在 R 上是增函数”的充分不必要条件，故选：A5从 0，1 ，2，3，4 中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是（ ）A6 B8 C10 D12【考点】排列、组合及简单计数问题【
12、分析】由题意，末尾是 0，2，4，分类求出相应的偶数，即可得出结论【解答】解：由题意，末尾是 0，2，4末尾是 0 时，有 4 个；末尾是 2 时，有 3 个；末尾是 4 时，有 3 个，所以共有 4+3+3=10 个故选 C6某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（ ）A B C D4【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的高为 ，底面是边长为 2， 矩形，把数据代入锥体的体积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的高为 ，底面是边长为 2， 矩形，几何体的体积 V= = 故选 B7在 RtABC 中，A=9
13、0，点 D 是边 BC 上的动点，且| |=3，| |=4， = + （0，0） ，则当 取得最大值时， | |的值为（ ）A B3 C D【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】根据条件建立坐标系，利用基本不等式的性质进行求解即可【解答】解：将三角形放入坐标系中，则 C（ 0，4） ，B（3，0） ， = + （0，0） ，+=1，则 1=+2 ，即 ，当且仅当 = 时取等号，此时 = + = + = （3，0）+ （0，4 ）=（ ，2）则| |= = ，故选：C8某校高三（1）班 32 名学生参加跳远和掷实心球两项测试跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为 26 人和 23 人，这
14、两项成绩均不合格的有 3 人，则这两项成绩均合格的人数是（ ）A23 B20 C21 D19【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【分析】设这两项成绩均合格的人数为 x，根据集合关系建立方程进行求解即可【解答】解：设这两项成绩均合格的人数为 x，则跳远合格掷实心球不合格的人数为 26x，则 26x+23+3=32，得 x=20，即这两项成绩均合格的人数是 20 人，故选：B二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡上9已知双曲线 的一条渐近线方程为 3x+2y=0，则 b 等于 3 【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线（a0）的渐近线和 3x+2y=0
15、 相比较，得到 b 的值【解答】解：双曲线 的一条渐近线方程为 3x+2y=0， = ，解得 b=3，故答案为：310已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn若 a1=2，S 2=a3，则 a2= 4 ，S 10= 110 【考点】等差数列的前 n 项和【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：设等差数列a n的公差为 d，a 1=2，S 2=a3，2a 1+d=a1+2d，即 2=d，a 2=2+2=4S10=10 2=110故答案为：4，11011执行如图所示的程序框图，则输出 S 的结果为 30 【考点】程序框图【分析】根据程序框图进行模拟计算即可得到结论【解答】解：第
16、一次，i=1，满足条件，i6，i=1 +2=3，S=6，第二次，i=3，满足条件，i6，i=3 +2=5，S=6+10=16，第三次，i=5，满足条件，i6，i=5 +2=7，S=16+14=30，第四次，i=7，不满足条件 i6，程序终止，输出 S=30，故答案为：3012在ABC 中，已知 ，则 C= 105 【考点】正弦定理【分析】由正弦定理可得角 A，再运用三角形的内角和定理，计算即可得到 C【解答】解：由题意：已知 ，即 b= a由正弦定理 = ，则有 sinA= ，0 A135A=30则 C=1803045=105故答案为：10513设 D 为不等式组 表示的平面区域，对于区域 D 内除原点外的任一点 A（x ，y） ，则 2x+y 的最大值是 ， 的取值范围是 ，0 【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可判断 的符号，利用构造法转化为函数的最值，结合可行域求出范围即可【解答】解：先根据约束条件不等式组 画出可行域：当直线 2x+y=t 过点 A 时，2x+y 取得最大值，由 ，可得 A（ ， ）时，z 最大是 2 = ，
