1、昌平区 20162017 学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（理 科）（满分 150 分，考试时间 120 分钟）2017.1考生须知：1 本试卷共 6 页，分第 卷选择题和第卷非选择题两部分。2 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。3 答题卡上第 I 卷(选择题)必须用 2B 铅笔作答，第 II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用 2B 铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。4 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折
2、皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。5 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。第卷（选择题 共 40 分）一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知全集 UR,集合 21Ax,那么 UA(A) 1, (B) ,) (C) (,1 (D) (,1,)U(2) 下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（A） xye （B） sinyx （C） yx （D） 3yx(3) 执行如图所示的程序框图，若输入的 值为 1，则输出的 k值为 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D)
3、 6(4) 设 12ln,2eabc，则(A) c (B) ab (C) acb (D) abc1主主 主主11主(5) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图是 (A) (B) (C) (D) (6) 已知函数 ()2sin()0,)2fx的图象如图所示，则函数 ()fx的解析式的值为(A) ()i6f (B) s()3x(C) ()2inf (D) s()x(7) 在焦距为 2c的椭圆2:1(0)xyMab中， 12,F是椭圆的两个焦点，则 “bc”是“椭圆M上至少存在一点 P，使得 12F”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必
4、要条件(8) 若函数 ()fx满足：集合 *()|AfnN中至少存在三个不同的数构成等差数列，则称函数 ()fx是等差源函数. 判断下列函数： 2logyx； xy； 1y中，所有的等差源函数的序号是（ ）（A） （B） （C） （D） 1 1 2 2 3 1 3第二卷（非选择题 共 110 分）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.）(9) 设 aR，若 i(+)=ia，则 a_ . xyO020x3DCBA1010 985319 567 75 B主A主(10) 已知正项等比数列 na中， nS为其前 项和， 12a, 312,则 5S_ .(11)若 ,xy满足0,
5、23xy则 2xy的最大值为 .(12) 已知角 终边经过点 (,4)P，则 cos_ . (13) 在矩形 ABCD中， 2,1BC，那么 AB_ ；若 E为线段 AC上的动点，则E的取值范围是_ . （14）设函数(3),)2.xxaf若 1a，则 (f的零点个数为 ；若 ()fx恰有 1 个零点，则实数 a的取值范围是 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分 13 分)已知 ABC是等边三角形， D在 BC的延长线上，且 2CD， 63BDS.()求 的长；()求 sin的值. (16)(本小题满分 13 分)A、
6、B 两个班共有 65 名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个） ，用茎叶图记录如下：（I） 试估计 B 班的学生人数；（II） 从 A 班和 B 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量 .规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记 1，主1ED CBAA1 D1CB E主2当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记 0，当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记 1.求随机变量 的分布列及期望.（III）再从 A、B 两个班中各随机抽取一名学生，他们
7、引体向上的测试数据分别是 10，8（单位：个） ，这 2 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 1，表格中数据的平均数记为 0，试判断0和 1的大小（结论不要求证明）.(17)(本小题满分 14 分)如图 1，四边形 ABCD为正方形，延长 C至 E，使得 2DC，将四边形 ABD沿 C折起到ABC的位置，使平面 1平面 B，如图 2.（I）求证： E平面 ；（II）求异面直线 1与 A所成角的大小；（III）求平面 B与平面 1D所成锐二面角的余弦值.(18)(本小题满分 13 分) 设函数 (ln1fxabx， 2()gfxb.（）若 ,，求函数 f的单调区间；（）若曲线 ()yx
8、在点 ,ln3)处的切线与直线 130xy平行.(i) 求 ,ab的值；(ii)求实数 ()k的取值范围，使得 2()gxk对 (,)x恒成立.19. (本小题满分 14 分)椭圆 C的焦点为 1(2,0)F, (,)，且点 (2,1)M在椭圆 C上.过点 (0,1)P的动直线 l与椭圆相交于 ,AB两点, 点 关于 y轴的对称点为点 D（不同于点 A）.(I) 求椭圆 的标准方程；(II)证明：直线 D恒过定点，并求出定点坐标.20. (本小题满分 13 分)已知 是集合 (,|06,4xyy所表示图形边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的集合， 集合 6)(),(),(2),D .规定：
9、 对于任意的 1,axy， 2bxyD， 121212(,)(,)abxyxy. 对于任意的 *Nk，序列 ka， 满足： k， kbD； 1(0,)a， 1kb， 2， *Nk.（） 求 2；（） 证明： *Nk， (5,0)ka；（） 若 (6,)ka，写出满足条件的 的最小值及相应的 1a， 2， ， ka. 昌平区 20162017 学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）参考答案及评分标准 2017.1一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。题 号 （ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）（ 7）（ 8）
10、答 案 A D B C C B A D二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9） 2 （10） 62 （11 ） （12） 7（13） 4； ,1 （14）2； (,3)a （第一空 2 分，第二空 3 分）三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分 13 分)解：()设 ABx.因为 C是等边三角形，所以 3.因为 1sin2ABDSABC,所以 6()x.即 240.所以 ,6x（舍）.所以 AB. 6 分()因为 22cosDABDC,所以 1163468.所以 27A. 在 C中，因为 sinsiDAC
11、,所以32in1i 47D. 13 分(16)(本小题满分 13 分)解：（）由题意可知，抽出的 13名学生中，来自 B班的学生有 名.根据分层抽样方法， B班的学生人数估计为 765（人）. 3 分（） 2()P； 42(0)671P；3(1)(1)()2则 的概率分布为： 101P272132zyx主2EB CD1A12131072E. 11 分（） . 13 分(17)(本小题满分 14 分)解：()证明：因为平面 1ABCD平面 E，且平面 1ABCD平面 EBC，因为四边形 为正方形， 在 的延长线上，所以 E.因为 平面 ，所以 平面 1. 4 分()法一：连接 AC.因为 1BD
12、是正方形，所以 1.因为 CE平面 1A，所以 1BD.因为 1，所以 平面 1ACE.所以 1BD.所以异面直线 与 所成的角是 90. 9 分法二：以 C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示. 设 1,则 2E.则 11(0)(,0)(,)(0,)(,)BDA.所以 11,DA.因为 11cos, 026EB，所以 1BE.所以异面直线 1D与 A所成的角是 90. 9 分() 因为 1C平面 ，所以平面 BCE的法向量 1(0,)D.设平面 1A的法向量 nxyz.因为 1(,0)(,2)D，所以 1nE，即 0xyz.设 y，则 2z.所以 (0,1)n.因为 11025cos,CD
13、n所以平面 BCE与平面 1A所成的锐二面角的余弦值为 5. 14 分(18)(本小题满分 13 分)解：（）当 1,ab时， ()ln1),(1)fxx，则 ()fx.当 0时， 0x；当 ()fx时， ；所以 的单调增区间为 (1,)，单调减区间为 (0,). 4 分（）(i)因为 22()ln()gxfbxabx，所以 ()1a.依题设有)l,(3g即l(1)ln3,.ab解得 2ab. 8 分(i i)所以 21()ln1)3(),(,)gxx. 2k对 0,恒成立，即 2()0gxk对 (,)x恒成立.令 (F则有243)1()kxx 当 1k时，当 (0,)时， ()0Fx，所以
14、Fx在 (,)上单调递增 .所以 )，即当 (,)x时， 2()gxk；当 1k时，当 1(0,23kx时， 0F，所以 F在 (,)k上单调递减，故当 1(0,)23x时， ()0Fx，即当 ,时， 2gk不恒成立.综上， k1 13 分(19)(本小题满分 14 分)解：(I)法一设椭圆 C的标准方程为21(0)xyab.由已知得22,1,abc解得 2b.所以椭圆 C的方程为214xy. 6 分法二设椭圆 的标准方程为2(0)xyab.由已知得 c， 212()14MF.所以 2a， 2bac.所以椭圆 C的方程为214xy. 6 分(II)法一当直线 l的斜率存在时（由题意 0k） ，
15、设直线 l的方程为 1ykx. 由21,4xyk得 2()42x.设 1(,)Axy， 2,By.则 12268(1)0,4.kxk特殊地，当 A为 (2,0)时， 12k，所以 243x， 2， 243y，即4(,)3B.所以点 关于 y轴的对称点 4(,)3D，则直线 AD的方程为 (2)yx.又因为当直线 l斜率不存时，直线 的方程为 0x，如果存在定点 Q满足条件，则 (0,2).所以 1112Aykkxx， 2221QDykxx，又因为 2121()()0QB k，所以 ADk，即 ,三点共线.即直线 恒过定点，定点坐标为 (0,)Q. 14 分法二 (II)当直线 l的斜率存在时（由题意 k） ，设直线 l的方程为 1ykx .由 21,4ykx，可得 2()40x.设 12(,),ABy，则 2,Dy.
