1、2016-2017 学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1已知全集 U=R，集合 A=x|x21，那么 UA=（ ）A 1，1 B1，+） C（ ，1 D（，11，+）2下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（ ）Ay=e x By=sinx C Dy=x 33执行如图所示的程序框图，若输入的 x 值为 1，则输出的 k 值为（ ）A3 B4 C5 D64设 ，则（ ）Acba Bcab Cacb Dab c5一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的
2、直观图为（ ）A B C D6已知函数 的图象如图所示，则函数 f（x）的解析式的值为（ ）A B C D7在焦距为 2c 的椭圆 中，F 1，F 2 是椭圆的两个焦点，则“bc”是“椭圆 M 上至少存在一点 P，使得 PF1PF 2”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件8若函数 f（x）满足：集合 A=f（n ）|nN *中至少存在三个不同的数构成等差数列，则称函数 f（ x）是等差源函数判断下列函数：y=log 2x；y=2 x；y= 中，所有的等差源函数的序号是（ ）A B C D二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分
3、.）9设 aR，若 i（1 +ai） =2+i，则 a= 10已知正项等比数列a n中，S n 为其前 n 项和，a 1=2，a 2+a3=12，则 S5= 11若 x，y 满足 则 2x+y 的最大值为 12已知角 的终边过点 P（3，4），则 cos2= 13在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=1，那么 = ；若 E 为线段 AC 上的动点，则的取值范围是 14设函数若 a=1，则 f（x）的零点个数为 ；若 f（ x）恰有 1 个零点，则实数 a 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ）15（13 分）已知ABC 是等边三
4、角形，D 在 BC 的延长线上，且 CD=2， （）求 AB 的长；（）求 sinCAD 的值16（13 分）A、B 两个班共有 65 名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：（I） 试估计 B 班的学生人数；（II） 从 A 班和 B 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量 规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记 =1，当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记 =0，当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记 =1求随机变
5、量 的分布列及期望（III） 再从 A、B 两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8 （单位：个），这 2 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 1，表格中数据的平均数记为 0，试判断 0 和 1 的大小（结论不要求证明）17（14 分）如图 1，四边形 ABCD 为正方形，延长 DC 至 E，使得 CE=2DC，将四边形 ABCD沿 BC 折起到 A1BCD1 的位置，使平面 A1BCD1平面 BCE，如图 2（I）求证：CE平面 A1BCD1；（II）求异面直线 BD1 与 A1E 所成角的大小；（III）求平面 BCE 与平面 A1ED1 所成锐二面角的余
6、弦值18（13 分）设函数 f（ x）=ln（1+ax）+bx ，g（x ）=f （x ）bx 2（）若 a=1，b=1，求函数 f（x）的单调区间；（）若曲线 y=g（x）在点（1，ln3）处的切线与直线 11x3y=0 平行（i） 求 a，b 的值；（ii）求实数 k（k3）的取值范围，使得 g（x）k（x 2x）对 x（0，+）恒成立19（14 分）椭圆 C 的焦点为 F1（ ，0）， ，且点 在椭圆 C 上过点 P（ 0，1）的动直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点，点 B 关于 y 轴的对称点为点 D（不同于点A）（I） 求椭圆 C 的标准方程；（II）证明：直线 AD 恒过定点，并
7、求出定点坐标20（13 分）已知 是集合（x，y ）|0x6，0y4所表示图形边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的集合，集合 D=（6，0），（ 6，0），（0，4），（0，4），（4，4），（4，4），（2，2），（ 2，2）规定：（1）对于任意的 a=（x 1， y1） ，b= （x 2，y 2） D，a+b=（x 1，y 1）+（x 2，y 2）=（ x1+x2，y 1+y2）（2）对于任意的 kN*，序列 ak，b k 满足：a k，b kDa 1=（0，0），a k=ak1+bk1，k 2，kN *（） 求 a2（） 证明：kN *，a k（5，0）（） 若 ak=（6，2），写
8、出满足条件的 k 的最小值及相应的 a1，a 2，a k2016-2017 学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1已知全集 U=R，集合 A=x|x21，那么 UA=（ ）A 1，1 B1，+） C（ ，1 D（，11，+）【考点】补集及其运算【分析】根据全集 R 及 A，求出 A 的补集即可【解答】解：全集 U=R，集合 A=x|x21=（，1）（1，+），UA=1，1，故选：A【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键2下列四个
9、函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（ ）Ay=e x By=sinx C Dy=x 3【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可【解答】解：Ay=e x 是非奇非偶函数，不满足条件By=sinx 是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件C. 是非奇非偶函数，不满足条件Dy=x 3 是奇函数，定义域上单调递增，满足条件故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质3执行如图所示的程序框图，若输入的 x 值为 1，则输出的 k 值为（ ）A3 B4 C5 D6【考点】程
10、序框图【分析】根据程序框图进行模拟计算即可得到结论【解答】解：若输入 x=1则第一次，x=1+5=6 ，不满足条件，x 23，k=1，第二次，x=6+5=11，不满足条件，x 23，k=2，第三次，x=11+5=16，不满足条件，x 23，k=3，第四次，x=16+5=21，不满足条件，x 23，k=4，第五次，x=21+5=26，满足条件，x 23，程序终止，输出 k=4，故选：B【点评】本题主要考查程序框图的计算，根据查询进行模拟计算是解决本题的关键4设 ，则（ ）Acba Bcab Cacb Dab c【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：e
11、2（0 ， ）， 1，ln2（ ，1）， ln2 e 2a cb故选：C【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图为（ ）A B C D【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，而且有一侧棱垂直与底面，结合俯视图，可得结论【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，而且有一侧棱垂直与底面，结合俯视图，可知 B 满足，故选 B【点评】本题考查三视图与直观图的转化，考查数形结合的数学思想，比较基础6已知函数 的图象如图所示，则函数
12、f（x）的解析式的值为（ ）A B C D【考点】由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式【分析】根据图象求出 A， 和 ，即可求函数 f（x）的解析式；【解答】解：（1）由题设图象知，周期 T=2（ ）=，即 点（0， ）在函数图象上，可得：2sin（20+）= ，得：sin= ，| ，= 故函数 f（x ）的解析式为 f（x）=2sin（2x + ）故选 B【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键要求熟练掌握函数图象之间的变化关系7在焦距为 2c 的椭圆 中，F 1，F 2 是椭圆的两个焦点，则“bc”是“椭圆 M 上至少存在一点 P，使得
13、 PF1PF 2”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】求出椭圆 M 上至少存在一点 P，使得 PF1PF 2 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若椭圆 M 上至少存在一点 P，使得 PF1PF 2，则椭圆与半径 R=c 的圆满足条件 Rb，即 bc，则 bc”是“椭圆 M 上至少存在一点 P，使得 PF1PF 2”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用椭圆的性质是解决本题的关键8若函数 f（x）满足：集合 A=f（n ）|nN *
14、中至少存在三个不同的数构成等差数列，则称函数 f（ x）是等差源函数判断下列函数：y=log 2x；y=2 x；y= 中，所有的等差源函数的序号是（ ）A B C D【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差源函数的定义、等差数列的定义即可判断出结论【解答】解：log 21，log 22，log 24 构成等差数列，y=log 2x 是等差源函数；y=2 x 不是等差源函数，因为若是，则 22p=2m+2n，则 2p+1=2m+2n，2 p+1n=2mn+1，左边是偶数，右边是奇数，故 y=2x+1 不是等差源函数；假设 a，b，c0， ，则 2a=b+c，因此只要满足：a，b ，c0，2a=b+c，则 y= 是
