1、第二章 波函数 和 Schrodinger 方程,2.1 波函数的统计解释 2.2 态叠加原理 2.3 Schrodinger 方程 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 2.5 定态Schrodinger方程 2.6 一维无限深势阱 2.7 一维线性谐振子 2.8 势垒贯穿,2.1 波函数的统计解释,一. 波函数 二. .波函数的统计解释 三. 波函数的性质 四. 多粒子体系的波函数,1. 经典粒子运动状态的描述,经典粒子的运动状态由坐标r和动量P来描述,2. 微观粒子的运动状态由波函数(r,t) 来描述,几点考虑: 经典粒子的描述方法反映不了波粒二象性 坐标r和动量p不能同时确定,测不准关系
2、. 自由粒子可以用德布洛意平面波描述,一. 波函数,3个问题？,如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：,de Broglie 平面波,自由粒子的波函数。, 是怎样描述粒子的状态呢？ 如何体现波粒二象性的？ (3) 描写的是什么样的波呢？,二. 波函数的统计解释,1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;,我们再看一下电子的衍射实验,2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.,1. 单电子衍射实验,单电子衍射实验结果分析：,(1)“亮纹”处是到达该处的电子数多，或
3、讲电子到达该处的几率大。 “暗纹”处是到达该处的电子数少，或讲电子到达该处的几率小。 (2)衍射图样由电子波动性引起 “亮纹”处表示该处波强度| (r)|2大， “暗纹”处表示该处波强度| (r)|2小， 所以，电子到达屏上各处的几率与波的强度成正比.,据此，描写粒子的波可以认为是几率波，即德布洛意波是几率波. 这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子力学的基本原理。,2.玻恩统计解释:,| (r,t)|2 x y z 与此 t时刻,在 r 点处，体积元xyz 中找到粒子的几率成正比。或者讲 波函数在空间某点的强度（波函数模的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，,波粒二象性的图
4、象：,三. 波函数的性质,在t 时刻,r 点，d = dx dy dz 体积内，找到由波函数 (r,t)描写的粒子的几率是： d W( r, t) = C| (r,t)|2 d， 其中，C是比例系数。,波函数统计解释，(或称玻恩统计解释):,（1）波函数的物理意义,几率密度: 在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|2,在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为： W(t) = V d W = V( r, t ) d= CV | (r,t)|2 d,（2）平方可积 由于粒子在整个空间出现的总的几率是有限的，所以一
5、般要求波函数满足平方可积条件： C | (r , t)|2 d= 有限,(3）归一化波函数由于我们习惯于归一化的几率,所以要引入归一化的波函数., (r , t ) 和 C (r , t ) 所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C 是常数。 因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对几率之比是：,由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r, t) 和 C (r, t) 描述同一状态,可见， (r , t ) 和 C (r ,
6、t ) 描述的是同一几率波。,归一化常数,若 (r , t ) 没有归一化， 可以让= C (r , t )归一化.即:|C|2 | (r , t )|2 d= 1 则有 = C (r , t )是归一化的波函数.,相因子不定: 对归一化波函数仍有一个模为一的相因子不定性。 若 (r , t )是归一化波函数，那末， expi (r , t ) 也是归一化波函数（其中是实数）， 两者描述同一几率波。,特例: 自由粒子的波函数无法正常归一化,四.多粒子体系的波函数,t 时刻第 1 个粒子处于 r1 处 dv1 内, 同时第 2 个粒子处于 r2 处 dv2 内, 同时第 N 个粒子处于 rN 处
7、 dvN 内的几率为:,玻恩统计解释：,归一化条件:,描述N个粒子组成的体系的运动状态,2.2 态叠加原理,（一）态叠加原理 （二）任意波函数可以看作平面波的迭加,（一） 态叠加原理,微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。 因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。,态叠加原理更一般表述： 若1 ，2 ,., n ,.是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 = C11 + C22 + .+
8、Cnn + . (其中 C1 , C2 ,.,Cn ,.为复常数)。 也是体系的一个可能状态。 物理意义: 处于态的体系，部分的处于 1态，部分的处于2态.，部分的处于n，. 或者讲:一定几率处于1态,一定几率处于2态,.,量子力学的态叠加原理:一般情况下，如果1和2 是体系的两个可能状态，那末它们的线性叠加 = C11 + C22 也是该体系的一个可能状态. 其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理,解释电子双缝干涉,= C11 + C22 也是电子的可能状态。 空间找到电子的几率则是： |2 = |C11+ C22|2 = (C1*1*+ C2*2*) (C11+ C22)
9、 = |C1 1|2+ |C22|2 + C1*C21*2 + C1C2*12*,电子穿过狭缝出现在点的几率密度,电子穿过狭缝出现在点的几率密度,相干项 正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。,一个电子有 1 和 2 两种可能的状态， 是这两种状态的叠加。,二. 作为平面波的迭加,因而，,上面是一维情况, 下面把它推广到三维的情况.,付里叶变换:,我们知道积分是黎曼和的极限,因此任意波函数可以看作各种不同平面波的迭加.,（1）坐标平均值 为简单计，剩去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变化） 设(x) 是归一化波函数，| (x)|2 是粒子出现在x点的几率密度，则,对三维情况，设(r) 是归
10、一化波函数，|(r)|2是粒子出现在 r 点的几率密度，则x的平均值为,一维情况：令(x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为,（2）动量平均值,2.3 Schrodinger 方程,（一） 引 （二） 引进方程的基本考虑 （三） 自由粒子满足的方程 （四） 势场 V (r) 中运动的粒子 （五） 多粒子体系的Schrodinger方程,这些问题在1926年Schrodinger 提出了波动方程之后得到了圆满解决。,微观粒子量子状态用波函数完全描述，粒子的运动也就是粒子运动状态的随时间改变应当由运动方程来描写.,（一） 引,（二） 引进方程的基本考虑,从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t
11、粒子的状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。,让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。,（1）经典情况,（2）量子情况,1因为，t = t0 时刻，已知的初态是( r, t0) 且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含对时间 的一阶导数。,2另一方面，要满足态叠加原理，即，若1( r, t ) 和2( r, t )是方程的解，那末。 ( r, t)= C11( r, t ) + C22( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含, 对时间的一阶导数和对坐标
12、各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。3方程不能包含状态参量，如 p, E等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。,（三） 自由粒子满足的方程,这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E 。将对坐标二次微商，得：,将上式对 t 微商，得：,(1)(2)式,讨论：,通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式 E = p2/2 写成如下方程形式：,做算符替换（4）即得自由粒子满足的方程（3）。,（四）势场 V(r) 中运动的粒子,该方程称为 Schrodinger 方程，也常称为波动方程。,若粒子处于势场 V(r) 中运动，则能动量关系变为：,将其
13、作用于波函数得：,做（4）式的算符替换得：,（五）多粒子体系的 Schrodinger 方程,设体系由 N 个粒子组成， 质量分别为 i (i = 1, 2,., N) 体系波函数记为 ( r1, r2, ., rN ; t) 第i个粒子所受到的外场 Ui(ri) 粒子间的相互作用 V(r1, r2, ., rN) 则多粒子体系的 Schrodinger 方程可表示为：,2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律,一. 几率守恒 二.波函数的标准条件,（一） 几率密度随时间的变化,在讨论了波函数随时间变化的规律,即运动方程后，我们将利用运动方程来进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化
14、。 粒子在 t 时刻 r 点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：,取共轭,(二) 几率流密度矢量,这个方程表明在体积元中粒子几率 的增加等于从体积元表面流入的几率.,在空间闭区域中将上式积分，则有：,上面是定域几率守恒,当趋于 ，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零,使用 Gauss 定理,表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。,（1） 这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。,定义质量密度和质量流密度:,定义电荷密度和电流密度:,（三
15、）波函数的标准条件,1. 根据Born统计解释 (r, t) = *(r, t) (r, t)是粒子在t时刻出现在 r点的几率，这是一个确定的数，所以要求(r, t)应是 r, t的单值函数且有限。,2.根据粒子数守恒定律 :,式右含有及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域是任意选取的，所以S是任意闭合面。要是积分有意义，必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。,波函数标准条件: 波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。,2.5 定态Schrodinger方程,（一）定态Schrodinger方程 （二）Hamilto
16、n算符和能量本征值方程 （三）定态 （四）薛定谔方程的一般解 （五）求解定态问题的步骤,（一）定态Schrodinger方程,现在让我们讨论外场不含时间情况下的 Schrodinger 方程：,可分离变量令：,于是有:,第一个方程可以解得:,第二个方程称为定态 Schrodinger 方程,整理后,可以得到如下两个方程:,（二） Hamilton 算符的本征值方程,(2)Hamilton 算符的本征值方程的解,定态波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率=2E/h。 由de Broglie关系可知： 常数 En 就是体系处于波函数n(r,t)所描写的状态时的能量。也就是说， 此时体系能量有确定
17、的值，所以这种状态称为定态， 定态波函数n(r,t)描写的状态称为定态。,（三）定态,（3）几率流密度与时间无关,（1）粒子的能量有确定值 （2）粒子在空间几率密度与时间无关,2.定态的性质,（四）Schrodinger方程的一般的解,Schrodinger 方程：,此方程是一个线性方程因此方程的一般解为：,2.6 一维无限深势阱,物理模型是: 一个粒子在不可透过的立方箱子中自由运动.这个三维运动可以通过分离变量法简化为三个一维的运动.,2.7,2.8,（一）定态薛定谔方程,势阱内的粒子不可能跑到势阱外面来,所以势阱外找到粒子的几率为零,阱外波函数为零.,1. 势场,2. 定态薛定谔方程的解:
18、 在势阱内，薛定谔方程为:,显然E0，所以记,那么方程变成：,它的通解是：,3. 能级与波函数考虑波函数标准条件:单值,有界,连续要求波函数在阱内外要连续。所以现在,因而，,有两种情形的解：,所以，,（1）,A和B不能同时为零, 否则波函数为零是一个真空解.,(2) 所以，,两种情况可合并n=1,2,3,二者合起来可写为：,波函数的归一化是：,所以，,（与n无关）,最后得到能级和波函数是：,考虑,4. 讨论,1）能级是分裂的：(n=1,2,3,4),基态能量（最低能量）：,第一激发态能量为：,2） 描述的是束缚态所谓束缚态是当 时， 。即粒子被约束在有限的区域内运动。本例中粒子运动被约束于势阱
19、中。,3）与经典粒子的运动进行比较,经典粒子在匣子中运动：能量可以取从零到很大的所有的值（连续） 粒子运动的速率不变,所以粒子在匣子内各处出现的几率相等。 微观粒子在匣子中运动：能量取分立的值，微观粒子在匣子内各处出现的几率密度为,最低能级的四个本征函数,最低四个能级时的几率分布,方法小结 由无穷深方势阱问题的求解可以看出，解S方程的一般步骤如下：,一、列出各势域上的S方程； 二、求解S方程； 三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值； 四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。, 2.7 线性谐振子,势场 定态薛定谔方程 三. 能级和波函数 四. 讨论,一.
20、 势场 自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。 例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在 x = a 处，V 有一极小值V0 。在 x = a 附近势可以展开成泰勒级数：,取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为标准谐振子势的形式：,可见，一些复杂的势场下粒子在平衡位置附近的小运动往往可以用线性谐振动来近似描述。,二. 定态薛定谔方程,在方程中做如下的无量
21、纲化变换：,方程:,则方程变成：,渐近解: 当时，方程变为：,我们发现它有渐近解：,但是 应该舍去。 所以再进行变换：,可得关于H()的如下方程：,三. 能级和波函数可以用级数法求解H()的方程，结果发现：只要H()是“真”无穷级数，那么在x的时候H()就 e ,仍然使()发散。能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止”或“退化”为多项式， 要求H()是的n次多项式.,1. 级数求解,代入方程（2.76），令的各次幂系数等于零，得到如下递推关系,一个二阶的微分方程解包含两个任意常数是自然的。,能级和波函数 上面得到了方程的通解，我们来考虑波函数标准条件：单值，有限，连续。 上面的级数显然满足
22、单值和连续条件。下面考虑,2. 有限条件,看来波函数有限的条件不能满足，这是不容许的。 为了使波函数满足有限条件，上面的级数必须从某一项起中断而成为多项式。,3. 能级,下面给出头五个厄密多项式,一般表达式,递推关系,四. 讨论1.我们把线性谐振子的能级和波函数总结如下。能级是：,对应的波函数是：,Nn是归一化常数，可以由归一化条件,可得,2.分立能级(1) 能级是分立的,是等间隔的 ；(2)零点能是,3.粒子运动的范围经典振子的运动范围是振幅之内(能量决定振幅)量子振子在空间出现的几率密度为,经典振子运动范围是振幅,与能量有关. 量子振子的波函数在经典运动范围之外并不等于零,因此在经典的振范
23、围之外找到粒子的几率不等于零.,这里给出最低三个能级的波函数,经典振子的运动范围也不难看出.,即:,T是振动周期。因此有,即几率密度与质点的速度成反比。对于经典的线性谐振子， =a sin(t+ ) ,在点的速度为,所以几率密度与 成比例。,4.几率分布(与经典力学比较): 在经典力学中,在到+d之间的区域内找到质点的几率 () d与质点在此区域内逗留的时间dt成正比。,分析波函数可知量子力学的谐振子波函数n有 n 个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在 -a, a 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。,几率分布,2.8 势垒贯穿,一、方势垒1.方势垒是：,0 a x,U0,
24、U(x),前面讨论势阱中运动粒子问题，我们讨论能级和波函数。这节我们讨论势垒贯穿的问题是一维散射问题.运动的粒子碰到势垒后，有一部分被反射回去,有一部分透射过去。因此，讨论的重点是反射和透射系数.,二、方势垒的穿透 考虑一个能量为E的粒子从左向右运动射向势垒. (1)EU0 的情况：,则其解为,薛定谔方程为,这里 ， 。考虑到时间因子 ，因此 代表向右运动的波数为K的平面波， 则是向左运动的平面波。在I、II两个区域内存在向左运动的反射波。而在III区中则只存在向右运动的透射波，不存在向左运动的反射波。利用在X= a边界上波函数及其导数连续的边界条件，得,由此可得,易得到入射波、透射波和反射波
25、的几率流密度为：,透射系数与反射系数为：,(2)EU0的情况：此时方程为：,其中， 。在粒子从左方入射时有：,让 和 在 x=0 和 x=a 处连续,我们得到4个方程，从中可以解出B、C、对A的比。结果是：,所以反射系数和透射系数分别是：,讨论： （1）R+D=1，即是几率守恒。 （2）在E1成立（相当于E很小）,则,式中 D0是常数，它的数量级接近于1。由此很容易看出，透射 系数随势垒的加宽或加高而减小。 对势垒高 度（U0）、宽度（a）和粒子能量（E）非常敏感。应用：隧道 二极管、扫描隧道显微镜、电子冷发射。,（4）对于任意形状的势垒U（x）: 右图所示为一任意形状的势垒，我们 可以把这个势垒看作是许多方形势垒 组成的，每个方形势垒宽为dx,高为 U(x)。能量为E的粒子在x=a处射入势垒U(x),在x=b处射出,即U(a)=U(b)=E。,0 a dx b x,U(x),E,由式 可得粒子贯穿每个方形势垒的透射系数为：,贯穿势垒U(x)的透射系数应等于贯穿所有这些方形势垒的透射 系数之积，即,粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为隧道 效应。,
