1、数学建模I结 课 论 文班级：材料物理 141403学号：201414020311姓名：郭宇林 指导教师：王欣洁圆周率的近似计算方法摘要本文探讨了用割圆术近似计算圆周率的方法，并且借助数学软件 matlab 完成了相应的程序编写和结果分析，对圆周率的近似计算做了简单的探讨。割圆术就是等分圆周，依次连接等分点组成圆的内接正多边形。显然，圆的内接正多边形的边数越多，其面积与圆面积之差的绝对值越小。当增加的边数趋于无穷时，则该正多边形的面积就与圆的面积没有差别了。通过迭代逐次逼近的办法可以近似求得 的值。关键字：割圆术 迭代逼近法 Matlab问题的重述在科学工作者的心目中，准确的数字是他们的终身追
2、求。为提高数字 的计算精度，古往今来的许许多多人们为此付出了艰苦的努力。3.14，对这样一个古老的数字，人们已经是再熟悉不过了。随着科学技术的发展，尤其是计算机的广泛应用，对获得高精度的 已非难事，利用专业的数学软件，很轻松就可以获得小数点后几百位的数值。尤其是在近几年，利用计算机可以将 精确到小数点后万亿次，计算 的精确值已经成为测试或者检验超级计算机各项性能一种方法，引发新的概念、方法和思想，产生新的问题提供了广阔的前景。下文就针对 的求解进行一系列的探讨和分析。一、 模型的假设1.近似逼近得到的 在保留有限位小数后可以认为是精确值。2.投点时落在扇形每一个位置的机会是均等的。二、 符号的
3、说明圆的面积 S内接正 n 边形的面积 ns内接正 2n 边形的面积 2圆半径 R弦长 AB na弦心距 0F hCF 的长度 nd落在扇形内的点数 m总投点数 n三、 问题的分析 的求解方法，自古以来就有前人开始研究，到现在方法已经很多很多，对于本问题的求解，选用了刘辉经典的割圆术和蒙特卡罗方法中的随机投点方法，借助计算机，快速便捷的对 进行近似计算。割圆术就是等分圆周，依次连接等分点组成圆的内接正多边形。显然，圆的内接正多边形的边数越多，其面积与圆面积之差的绝对值越小。当增加的边数趋于无穷时，则该正多边形的面积就与圆的面积没有差别了。根据这个原理，画出它的几何关系图形，列出对应的几何关系，
4、通过计算，可以算的 的上、下界。随着边数的增加，通过迭代的思想，逐步的逼近 的精确值。五、模型的建立与求解割圆术4.1.1 模型的建立割圆术就是等分圆周，依次连接等分点组成圆的内接正多边形。显然，圆的内接正多边形的边数越多，其面积与圆面积之差的绝对值越小。当增加的边数趋于无穷时，则该正多边形的面积就与圆的面积没有差别了。图一记圆的面积为 S，其内接正 n 边形的面积为 ，图 1 中 AB 为正 n 边形的一边，ns当分点加倍后，面积为 。将图中两个四边形 AOBC 和 ABED 的面积分别记为2s和 ，有 AOBCSABED2AOBCnS21()()AEDnnnS从而： （1）22n上式就是刘
5、徽用于计算 的圆面积不等式。下面我们用刘徽割圆术讨论计算 的具体过程。为简单计，取圆半径等于 1,这时圆面积 S =，这样（1）式中 S 的上、下界就是 的上、下界。 记 |,naAB有2|1()nn ahOF（2）2| 1()nnnadEh从图 1 可见，多边形由 n 边变为 2n 之后，其面积在原来的基础上增加了 n/2 个矩形 ABED 的面积，有 （3）Sad新的正 2n 边形的边长为：（4）22n()nn上述的式（1）（4）就是计算 的数学模型。4.1.2 模型的求解从某个圆内接正多边形开始计算，逐次迭代，就可以逐渐逼近 的值。这里从正 6 边形开始计算，可以得到 ， ，依次使用计算
6、公式就可以得到正 12 边6aS形的边长和面积，正 24 边形的边长和面积，等等。得到的这些面积不断的逼近 的值，所求的 的上、下界均满足不等式（1） 。根据题意，用 matlab 编写程序，如下：format long gn=6;a=1;s=1.5*sqrt(3);sc=;for k=1:25d=1-sqrt(1-a*a/4);s2=s+n*a*d*0.5;n=n+n;s3=2*s2-s;sc=k,n,s2,s3;a=sqrt(2*d);s=s2;scend对得到的结果进行整理，见下表：割圆术估算 值的迭代过程迭代次数 边数 下界 上界1 12 3 3.401923788646682 24
7、3.10582854123025 3.211657082460503 48 3.13262861328124 3.159428685332234 96 3.13935020304687 3.146071792812505 192 3.14103195089051 3.142713698734156 384 3.14145247228546 3.141872993680417 768 3.14155760791186 3.141662743538258 1536 3.14158389214832 3.141610176384789 3072 3.14159046322805 3.14159703
8、43077810 6144 3.14159210599927 3.1415937487704911 12288 3.14159251669216 3.1415929273850412 24576 3.14159261936538 3.1415927220386113 49152 3.14159264503369 3.1415926707020014 98304 3.14159265145077 3.1415926578678415 196608 3.14159265305504 3.1415926546593116 393216 3.14159265345610 3.1415926538571
9、717 786432 3.14159265355637 3.1415926536566418 1572864 3.14159265358144 3.1415926536065019 3145728 3.14159265358770 3.1415926535939720 6291456 3.14159265358927 3.1415926535908421 12582912 3.14159265358966 3.1415926535900522 25165824 3.14159265358976 3.1415926535898623 50331648 3.14159265358979 3.141
10、5926535898124 100663296 3.14159265358979 3.1415926535898025 201326592 3.14159265358979 3.141592653589804.1.3 结果的分析由上表可以看出，随着迭代次数的增加， 的有效位数也在增加，但是可以看到 值增加的速度很慢。将最终结果精确到小数点后 14 位，计算得到的 在 3.14159265358979 到 3.14159265358980 之间，保留 14 位有效数字的话，得到 =3.1415926535898。图二四、 模型评价用割圆术建立求解 的数学模型，在逼近的过程中，收敛速度虽然比较缓慢，但是用递推逼近的方法在进行无穷次迭代后，其值无限的接近 的真实值。在理论上是可行的，但是实际操作中只能借助计算机来实现。参考资料1 姜启源等， 数学模型 （第三版） ，北京：高等教育出版社，20032 程依明等， 概率论与数理统计教程 ，北京：高等教育出版社，20044 刘卫国， MATLAB 程序设计与应用(第二版)，高等教育出版社，2006
