1、 1巧用转化思想解数学题四川省广元市宝轮中学 唐明友一些数学问题，如果采用常规解法比较繁杂，或者“此路不通” ，不妨换个角度思考，努力寻找解决问题的突破口，有时就因为转换了思维角度，巧用转化思想，使你走向了顺利解决问题的“康庄大道” 。请同学们欣赏几例。一.运动向静止转化角度例 1.小强跟随爸爸去清江河游泳时忽发奇想，他要测水流速度，爸爸高兴地说愿意协助。方法是这样的：他在 A 处放下一个空矿泉水瓶，让它向下游漂流，小强向上游泳 10 分钟，立即转身原路去追赶矿泉水瓶，结果在距 A 处下游 0.5千米的 B 处追上。据此小强心算便得出了水流速度，你知道小强是怎么算的吗？解法 1：设河水的流速为
2、 x ，小强游泳的速度为 y ，则小强向时千 米 时千 米上游泳的距离是 （y x）千米，转身向下游泳去追矿泉水瓶所走的路程是60（ ） （xy）千米。由题意列出方程：5.0（y x） 0.5=（ ） （xy）15.601去分母得 x(yx)3x=(3x)(xy）整理得 2xy=3yy0,x=1.5,即河水的流速是 1.5 。时千 米解法 2：假定小强在游泳池里游泳，水不会流动，向上游泳 10 分钟再转身回追矿泉水瓶，矿泉水瓶应在原处，这样小强来回共游了 2 = 小时。由于矿6013泉水瓶在顺水漂流，它向下漂流的 0.5 千米是在这 小时内完成的。仍设河水的3流速为 x ，则时千 米x=0.5
3、，x=1.5( )31时千 米点评：由于小强很快得到了答案，显然不是按解法 1，而是转换了思维角度，按解法 2 将运动的河水看成静止的，即物理学上将河流作为参照物，相当于河水不流动只是人在运动，这样，可使问题一下子简明起来，这是小强活学活用数理知识的典型例子。二.局部向整体转化角度例 2.已知有三个数，其中任意两个数相加所得的和分别是 39、44、47，求这三个数。解法 1：设这三个数分别是 x、y、z，则2，解得 ，4739xzy2618zyx因此，这三个数分别是 21、18、26.解法 2：设这三个数的和是 a，根据题意得：2a=394447，解这个方程得：a=65，所以这三个数分别是：6
4、539=26，,6544=21,6547=18.点评：解法 1 是直接设元列出三元一次方程组解，解法 2 运用整体思想列出一元一次方程解，显然要简单得多。因此，有些数学问题，如果盲目进入局部探索，问题会复杂化，此时若能换一个角度，从整体上把握方向，常会找到问题的简明解法。三.常规向模型转化角度例 3.解方程组： 2201701xy解法 1：（2）(1)得：11x=2011 200022解之得：x=4011把 x=4011 代入（1）得：2000401117y=2000 y= =704021740所以，原方程租的解为： 2yx解法 2：原方程可化为： 017012yx可得 2000、2011 是
5、一元二次方程 m mx17y=0 的两个根，由根与系数的关系有：x=20002011=4011,17y=20002011，即 y= 174点评：前一种解法运算量大且繁杂。观察方程的特点，两个方程的形式相同，类比“模型”一元二次方程 m mx17y=0，再运用根与系数的关系轻松获得解2决。观察、联想、类比，将问题转化为数学模型，是解决这类问题的常用思路。四.“数”向“形”转化角度例 4.若代数式 取最小值，求相应的 x 的取值范围。2x3解法 1：分三种情况讨论：（1）当 x2 时，原式=x2x3=2x1,3图130-2 X BAN图2F EODCBAx2，2x15。此时，当 x=2 时,原式取
6、得最小值 5.（2）当2x3 时，原式=x2x3=5。此时，原式的值恒为 5.(3)当 x3 时，原式=x2x3=2x1x3,2x15。此时，当 x=3 时,原式取得最小值 5.综合（1） 、 （2） 、(3)可得:代数式 取最小值时，相应的 x 的取值2x3范围是：2x3.解法 2：如图 1， 的几何意义是数轴上表示数 x 的点（设为 X）到表示x2 的点（设为 A）的距离 AX，同样 表示距离 BX。3x显然，只有当点 X 在线段 AB 上时，AXBX 的长才 能取得最小值 AB= =5， )2(3所以 x 的取值范围是：2x3.点评:两种解法各有千秋，解法 1 运用了分类讨论思想和不等式
7、的知识；解法 2 运用了数形结合思想和绝对值的几何意义，这种解法更直观清晰。实际上，它们都是解决绝对值问题的常用方法，同学们应予以掌握。五.“形”向“数”转化角度例 5.如图 2，在边长为 10 的正方形 ABCD 中，以 AB 为直径作半圆 O，E 为半圆上一点，过 E 作 AB 的垂线，垂线段 EF 长为 4，连接 DE，求证：DE 与O 相切。分析：一位同学向我提问时，说他思考了很久都没有进展，他的思路是这样的：要证明 ED 与O 相切，只需要证明 OEED，连接 OE、OD，就需要证明AODEOD，他只找到 OA=OE,OD=OD 两个条件就再也无法进行下去了。很明显，这名同学只从几何
8、角度思考，未能联系题目中明显的数量关系转换到数的角度来考虑。解：如图 2，延长 FE 交 CD 于点 N，连接 OE、OD，则EF=4， OE=OB=5，EN=104=6，EFAB，AFE=90 0在 RtOEF 中，OF= = =3,2EFO245FB=53=2=CN，ND=102=8在 RtNED 中，ED= = =10，2ND286ED=AD=10在AOD 与EOD 中，,AODEOD，OED=OAD=90 ，EDAO0DE 与O 相切。 点评:本题含有线段的数量关系，不能通过单纯的几何角度关口，应该从计4算方法入手。于是，换一个角度，将证明的重心转移到计算，再通过数的计算结合形的推理，
9、走向“顺风满帆” ，达到证明结论的“彼岸” 。同学们，看了上面的例子，有收获吧？只要你们多思考，善联想，若这样解困难或遇阻，不妨换个角度再“前行” ，就一定能提高解题的能力，取得更大的进步。下面提供三道练习题：1.丈夫甲距家 12 千米时，妻子乙带着爱犬去迎接，两人的速度分别为 3.5与 4.5 ，同时他们的爱犬以 7 的速度从乙奔向甲，爱犬遇时千 米 时千 米 时千 米甲后又立即回头奔向乙，遇乙后立即回头又奔向甲，遇甲后又奔向乙，直到甲、乙二人相遇为止，求爱犬所走的路程。2.若 abc，试求函数 y= + + 的最小值。axbcx3.求下面六位数竖式乘法的结果：1abcde 3abcde1答案与提示：1、10.5 千米，提示：不要陷入爱犬来回奔跑的迷宫中，换个角度，爱犬的速度已知，奔跑的时间就是两人相遇所用时间。2、当 x=b 时，y 的最小值是 ca，提示：运用绝对值的几何意义解。3、这个六位数是 428571，提示：不要被竖式所麻痹而硬去拼凑,应运用整体设元构造方程解。
