1、（2010 年浙江杭州）提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（ BCA，且 A） ，在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样） 来源:Z。xx。k.Com背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角 形的“等分积周线” 尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图 1 中画出这条“等分积周线” ，从而平分蛋糕（2 ） 小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图 1 中过点 C 画了一条直线 CD 交 AB于点 D你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定
2、的方法； 如不能成功，请说明理由（3 ）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识请你解决下面的问题：若 ABBC5 cm，AC6 cm，请你找出ABC 的所有“等分积周线” ，并简要的说明确定的方法解：(1) 作线段 AC 的中垂线 BD 即可. (2) 小华不会成功若直 线 CD 平分 ABC 的面积那么 DBCAS E2121 BCA D 小华不会成功 （3 ） 若直线经过顶点，则 AC 边上的中垂线即为所求线段 若直线不过顶点，可分以下三种情况：（a ）直线与 BC、AC 分别交于 E、F ，如图所示过点 E 作 EHAC 于点 H，过点 B 作 BGAC 于点 G易求，BG=4，AG=C
3、G=3设 CF=x，则 CE=8-x由CEH CBG，可得 EH=)8(54x根据面积相等，可得6)(21 3x（舍去，即为）或 5x CF=5，CE=3，直线 EF 即为所求直线 （b）直线与 AB、AC 分别交于 M、N, 如图所示AB CAB C图 1 图 2EAB CDHGE FBACNM CAB由 (a)可得，AM=3，AN=5，直线 MN 即为所求直线（仿照上面给分）(c) 直线与 AB、BC 分别交于 P、Q，如图所示过点 A 作 AYBC 于点 Y，过点 P 作 PXBC 于点 X由面积法可得， AY= 524设 BP=x，则 BQ=8-x由相似，可得 PX=x2根据面积相等，
4、可得6)8(541x 28x（ 舍去）或 214而当 BP14时，BQ=58，舍去 此种情况不存在 综上所述，符合条件的直线共有三条（2010 年教育联合体）如图，点 P 是菱形 ABCD 的 对角线 BD 上一点，连结 CP 并延长，交 AD 于 E，交 BA 的延长线点 F问：(1) 图中APD 与哪个三角形全等？并 说明理由来源:学|科| 网(2) 求证：APE FPA(3) 猜想：线段 PC、PE、PF 之间存在什么关系？并说明理由(1) APDCPD 理由： 四边形 ABCD 菱形AD=CD, ADP=CDP又PD=PD 来源:学科网 ZXXKAPDCPD (2) 证明： APDCP
5、D DAP=DCPCDBF DCP=F DAP= F 又APE= FPA APE FPA (3) 猜想： PEC2 理由: APE FPA AFP F2 APDCPDPA=PC PEC2 (2009 年湖州)如图，在正三角形 AB中， D， E， F分别是 BC， A，AB上的点， D ， F ， C ，则 的面积与 的面积之比等于（ ）YXBACPQA1 3 B23 C 32 D 33 【关键词】等边三角形的性质，相似的性质【答案】A（2009 年山西省）如图，在 RtABC 中， 90， 3BC， 4A， B的垂直平分线 DE交 BC的延长线于点 E，则 C的长为（ ）A32B76C256
6、D2【关键词】相似三角形判定和性质；勾股定理；线段和角的概念、性质【答案】B(2009 武汉)如图 1，在 RtABC 中， 90， ABC 于点 D，点 O是 AC边上一点，连接 BO交AD于 F， OE 交 边于点 E（1 ）求证： ；（2 ）当 为 C边中点，2AB时，如图 2，求OF的值；（3 ）当 O为 A边中点，n时，请直接写出 E的值【关键词】相似三角形的判定和性质 【答案】解：（1） DBC ， 90AC90BACF， 90OEOE ， ；（2 ）解法一：作 GAC ，交 D的延长线于 GACB， O是 边的中点， BOCA由（1）有 FE ， FE ，E 90D， 90ADB
7、， ，又 BAG， BBBA ACOEDDECOF图 1 图 2FBADECOFGABCOG ， 2ACB， ， FGO ，F， EB解法二： 902AADB， ， 于 ，RttDC 设 1B，则 5BO， ， ，215AA，90FOEDFBE， ，D由（1）知 B，设 x，152x， 10DF在 DF 中22150x， 3243OB423OFE（3 ）FnE(2009 年上海市)已知ABC=90，AB=2，BC=3，AD BC，P 为线段 BD 上的动点，点 Q 在射线 AB 上，且满足ABDPCQ（如图 1 所示） （1 ）当 AD=2，且点 与点 B重合时（如图 2 所示） ，求线段 C
8、的长；（2 ）在图中，联结 AP当3D，且点 Q在线段 AB上时，设点 Q、 之间的距离为 x，APQBCSy，其中APQS表示APQ 的面积， BCS 表示 P 的面积，求 y关于 x的函数解析式，并写出函数定义域； （3 ）当 D，且点 在线段 的延长线上时（如图 3 所示） ，求 PC的大小BADECOFA DPCBQ图 1DAPCB（Q） 图 2 图 3CA DPBQ【关键词】等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面积 直角三角形相似的判定【答案】 （1）RtABD 中，AB=2，AD=2， ABDPCQ=1，D=45PQ=PC 即 PB=PC，过点 P 作 PEBC ，则 BE=
9、231C。而PBC=D=45PC=PB= 23（2 ）在图 8 中，过点 P 作 PEBC，PFAB 于点 F。A=PEB=90，D= PBERtABDRtEPB 432ABDEP设 EB=3k，则 EP=4k，PF=EB=3kkECSBP 632121， kxkxPFABxAQPBP 3212=2kx yxkxSAPQC4321函数定义域为 0A DPCBQ图 1DAPCB（Q） 图 2 图 3CA DPBQ（3 ）答：90证明：在图 8 中，过点 P 作 PEBC，PF AB 于点 F。EFEFA=PEB=90，D= PBERtABDRtEPB ABDEP CQ= PEFRtPQF RtP
10、CEFPQ=EPCEPC+ QPE= FPQ+QPE=90 （2009 年宁波市）如图 1，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (80)， ，直线 BC 经过点 (86)B， ，(06)C，将四边形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 度得到四边形 BC，此时直线 OA、直线 C分别与直线 BC 相交于点 P、Q （1 ）四边形 OABC 的形状是 ，当 90时，B的值是 ；（2 ） 如图 2，当四边形 OAC的顶点 B落在 y轴正半轴时，求BPQ的值；如图 3，当四边形 B的顶点 落在直线 上时，求 O 的面积（Q）CBA O xPA（图 3）y BQCBA O xP（
11、图 2）yCBA Oyx（备用图）（第 26 题）（3 ）在四边形 OABC 旋转过程中，当 018 时，是否存在这样的点 P 和点 Q，使12B？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】解：（1）矩形（长方形） ； 47BQ（2 ） POCBA， PCOAB90， AB，即68，92CP，72BCP同理 QO ，B，即1068，3C， C 72PQ 在 O 和 BAP 中，90C， ， (AS)OPB 设 x，在 RtOCP 中， 22(8)6x，解得54x15724BS （3 ）存在这样的点 P和点 Q，使12B 点 P的坐标是13
12、962，2764， 对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求过点 Q画 HOA 于 ，连结 Q，则 HOC，12PSC，12POSA，设 Bx，12PQ，x， 如图 1，当点 P 在点 B 左侧时， QCBA O xP yH3OPQBPx，在 RtC 中，22(8)6()，解得 1362x， 2316x（不符实际，舍去） QCBA O xPyH9PCB，1362，如图 2，当点 P 在点 B 右侧时，OQx， 8Cx在 RtC 中，22(8)6，解得54PB574，2764，综上可知，存在点13962，2764P，使12BPQ(2009 年义乌)如图，在矩形 ABCD 中，AB=3
13、,AD=1, 点 P 在线段 AB 上运动，设 AP= x，现将纸片折叠，使点 D 与点P 重合，得折痕 EF（点 E、F 为折痕与矩形边的交点） ，再将纸片还原。（1 ）当 x=0时，折痕 EF 的长为 #.；当点 E 与点 A 重合时，折痕 EF 的长为 #.；（2 ）请写出使四边形 EPFD 为菱形的 x的取值范围，并求出当 x=2时菱形的边长；（3 ）令2yEF，当点 E 在 AD、点 F 在 BC 上时，写出 y与 的函数关系式。当 y取最大值时，判断 EAP与PBA是否相似？若相似，求出 的值；若不相似，请说明理由。【关键词】相似三角形【答案】解：（1）3 ， 2（2 ） x 当
14、时，如图 1，连接 DEPF、 ，EF为折痕， ，令 P为 m，则 2A，在 Rt 中， 2E，21()，解得54m，此时菱形边长为54（3 ）如图 2，过 E作 HBC ，易证 FDPA ， 3x2229yEH当 F与点 C重合时，如图 3，连接 PF，PD，21B，032x 显然，函数 9yx的值在 y轴的右侧随 x的增大而增大，当 x时， 有最大值此时 0EPF， APBF 综上所述，当 y取最大值时， E ， 32x（ 90EPF不写不扣分） （2009 恩施市）如图，在 C 中， 901CAB， ， 的面积为 25，点 D为 AB边上的任意一点（D CBA PEF图 1D CFBA
15、PE O图 2HD C (F)HBA PE O图 3D不与 A、 B重合） ，过点 D作 EBC ，交 A于点 E设 Dx，以 E为折线将 ADE 翻折（使E落在四边形 所在的平面内） ，所得的 与梯形 BC重叠部分的面积记为 y（1 ）用 x表示 的面积； （2 ）求出 05 时 y与 x的函数关系式；（3 ）求出 1x时 与 的函数关系式；（4 ）当 取何值时， 的值最大？最大值是多少？ 【关键词】相似、二次函数【答案】解:(1) DEBC ADE=B,AED=C ADE ABC 2)(BDESAC即241xSADE(2)BC=10 BC 边所对的三角形的中位线长为 5当 0 5x 时 2
16、41xSyADE（3 ） 10 时，点 A落在三角形的外部 ,其重叠部分为梯形S ADE=SADE =241xDE 边上的高 AH=AH=由已知求得 AF=5AF=AA-AF=x-5由AMN ADE 知2DEAMN )HF(S2 5x251043)(41222 xy（4 ）在函数2x中0 x 5当 x=5 时 y 最大为： 45EADB CAB CA在函数2510432xy中当 2abx时 y 最大为： 45 3当20x时，y 最大为： 325（2009 泰安）将一个量角器和一个含 30 度角的直角三角板如图（1）放置，图（2 ）是由他抽象出的几何图形，其中点 B 在半圆 O 的直径 DE 的
17、延长线上，AB 切半圆 O 于点 F，且 BC=OD。（1 ） 求证：DBCF 。（2 ） 当 OD=2 时，若以 O、 B、F 为顶点的三角形与ABC 相似，求 OB。【关键词】相似、切线【答案】证明：（1 ）连接 OF，如图AB 且半圆 O 于 F，OFAB。CB AB ，BCOF。BC=OD，OD=OF ，BC=OF。四边形 OBCF 是平行四边形，DB CF。（2 ）以 O、B、F 为顶点的三角形与ABC 相似，OFB=ABC=90，AOBF BOFOBF= BFC，BFCA，OBFAOBF 与A 不可能是对顶角。A 与BOF 是对应角。BOF=30 OB=OF/cos30= 34（2
18、009 江西）问题背景 在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量. 下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图 1，测得一根直立于平地，长为 80cm 的竹竿的影长为 60cm.乙组：如图 2，测得学校旗杆的影长为 900cm.丙组：如图 3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为 200cm，影长为 156cm.任务要求（1 ）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2 ）如图 3，设太阳光线 NH与 OA相切于点 M.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（ 友情提示 ：如图 3，景灯的影长等于线段 G
19、的影长；需要时可采用等式 2215608）.D FE900cm图 2BCA60cm80cm图 1G HNE156cmMEOE200cm图 3KE【关键词】相似、光影【答案】解：（1）由题意可知： 90BACEDFBCAEFD ， ABCDEF ，即8069DE=1200（cm） 所以，学校旗杆的高度是 12m （2 ）解法一：与类似得：ABCGNH，即80615GN=208 在 Rt 中，根据勾股定理得：2215608.HNH =260 设 OA的半径为 rcm，连结 OM，NH 切 于 M， NH则 90NG ， 又 OG O 又 ()8KNKr815620r，解得：r=12所以，景灯灯罩的
20、半径是 12cm D FE900cm图 2BCA60cm80cm图 1图 3G HNE156cmMEOE200cmKE解法二：与类似得：ABCGNH，即80615GN=208 设 O的半径为 rcm，连结 OM，NH 切 A于 M， 则 90NHG ， 又 ONHG ， O ，即 156208r43MNr，又 ()8KNOGKr 在 RtO 中，根据勾股定理得：222483rr，即 9360r解得： 12， （不合题意，舍去）所以，景灯灯罩的半径是 12cm （2009 年清远）如图，已知一个三角形纸片 ABC， 边的长为 8， BC边上的高为 6， B和 C都为锐角， M为 AB一动点（点
21、与点 、 不重合） ，过点 M作 N ，交AC于点 N，在 A 中，设 N的长为 x， 上的高为 h（1 ）请你用含 x的代数式表示 h（2 ）将 M 沿 折叠，使 落在四边形 BCNM所在平面，设点 A落在平面的点为 1A，1A与四边形 BCN重叠部分的面积为 y，当 x为何值时， y最大，最大值为多少？【关键词】分类讨论思想【答案】解：（1） AMB 68hx34（2 ） 1AN 1M的边 上的高为 h，当点 落在四边形 BC内或 边上时，1AMNyS=213248hx（0 4x ）当 落在四边形 外时，如下图 (8)，设 1EF 的边 上的高为 1h，则 1326hx11EFMNAEFM
22、N 1ABCABC 1216AEFSh BC16824ABCS22363414EFxSx1 A11222398AMNEFyxxx 所以 294(8)8x综上所述：当 0 时，23yx，取 4， 6y最 大当 48x时，291，取163， y最 大8当x时， y最大， 8最 大（2009 年济宁市）如图， ABC中， 09， 4AC， 3B.半径为1 的圆的圆心 P以 1 个单位/ s的速度由点 沿 方向在 上移动，设移动时间为 t（单位： s）.（1 ）当 t为何值时， 与 相切；（2 ）作 DAC交 B于点 D，如果 P和线段 BC交于点 E，证明：当165ts时，四边形 PDBE为平行四边
23、形.【关键词】相似【答案】(1)解：当 P在移动中与 AB相切时，设切点为 M，连 P，M NCB E FAA1则 09AMP. BC.APM. APt,25,153. .(2)证明： BC， PDAC， B DP. 当165ts时，165.4PC.22431()5ECP.315BE. ADP C,APB.16534D，125. E.当6ts时，四边形 PDB为平行四边形.（2009 年广西钦州）如图，已知抛物线 y34x2bxc 与坐标轴交于 A、B、C 三点，A 点的坐标为（1 ，0） ，过点 C 的直线 y tx3 与 x 轴交于点 Q，点 P 是线段BC 上的一个动点，过 P 作 PH
24、OB 于点 H若 PB5t，且 0t1（1 ）填空：点 C 的坐标是_，b_ _，c_；（2 ）求线段 QH 的长（用含 t 的式子表示） ；（3 ）依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使以 P、H、Q 为顶点的三角形与COQ 相似？若存在，求出所有 t 的值；若不存在，说明理由【关键词】二次函数、相似三角形.【答案】解：（1） （0 ，3 ） ，b 94，c3 （2 ）由（1 ） ，得 y x2 x3，它与 x 轴交于 A，B 两点，得 B（4，0） ABxyOQHPCOB4，又OC3，BC5 由题意，得BHPBOC，OC OBBC345，HPHBBP345，PB5t，HB4 t，HP 3
25、tOH OBHB44t由 y tx3 与 x 轴交于点 Q，得 Q（4t，0 ） OQ 4t当 H 在 Q、B 之间时，QHOHOQ（44 t） 4t48t 当 H 在 O、Q 之间时，QHOQOH4 t（44 t）8t4 综合，得 QH48t ；（3 ）存在 t 的值，使以 P、H、Q 为顶点的三角形与COQ 相似当 H 在 Q、B 之间时，QH48 t，若QHPCOQ，则 QHCO HP OQ，得483t ，t732若PHQCOQ，则 PHCOHQOQ，得 3t48t，即 t22t1 0t 1 1 ，t 2 1（舍去） 当 H 在 O、Q 之间时，QH 8t4若QHPCOQ，则 QHCO
26、HP OQ，得843tt，t253若PHQCOQ，则 PHCOHQOQ，得 3t84t，即 t22t1 0t 1t 21（舍去） 综上所述，存在 t的值，t 1 21 ，t 273，t 325（2009 临沂）如图，抛物线经过 (40)(02)ABC， ， ， ， ， 三点（1 ）求出抛物线的解析式；（2 ） P 是抛物线上一动点，过 P 作 Mx轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D，使得 CA 的面积最大，求出点 D 的坐标【关键词】抛物线
27、的解析式，相似的性质，二次函数的最值问题【答案】解：（1） 该抛物线过点 (02)C大， 可设该抛物线的解析式为2yaxb将 (40)A大， (1)B大代入，得620ab.大解得125ab.大此抛物线的解析式为21yx（2 ）存在如图，设 P点的横坐标为 m，则 点的纵坐标为215，当 14时，AMm，215Pm又 90COA，当21P时，A ，即254m解得 124大（舍去） ， (21)P大当AMOCP时， AMCO ，即2152(4)m解得 14m， 25（均不合题意，舍去）当 时， (1)大类似地可求出当 4时， 2)P当 1m时， (3)大综上所述，符合条件的点 为 (1)大或 5)
28、大或 (314)大（3 ）如图，设 D点的横坐标为 (04)t，则 D点的纵坐标为215t过 作 y轴的平行线交 AC于 E由题意可求得直线 的解析式为12yxE点的坐标为12t大2 251Dttt22214()4ACSttt当 t时， 面积最大（2009 泰安）如图，ABC 是直角三角形，ACB=90，CDAB 于 D，E 是 AC 的中点，ED 的延长线与 CB 的延长线交于点 F。（1 ） 求证：FD 2=FBFC 。（2 ） 若 G 是 BC 的中点，连接 GD，GD 与 EF 垂直吗？并说明理由。【关键词】相似、垂直【答案】证明：（1）E 是 RtACD 斜边中点DE=EAA=2 1
29、= 21= AFDC=CDB+1=90+1 ，FBD=ACB+A=90+AFDC=FBDF 是公共角FBD FDC CDB F2 （2 ） GDEF理由如下：DG 是 RtCDB 斜边上的中线，DG=GC3= 4由（1）得4=13= 1 3+ 5=905+ 1=90DGEF （2009 年中山）正方形 ABCD边长为 4， M、 N分别是 BC、 D上的两个动点，当 M点在 BC上运动时，保持 AM和 N垂直，（1 ）证明： Rtt ；（2 ）设 Bx，梯形 ABC的面积为 y，求 与 x之间的函数关系式；当 点运动到什么位置时，四边形ACN面积最大，并求出最大面积；（3 ）当 M点运动到什么
30、位置时 RttMAN ，求 的值【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】 （1）在正方形 ABCD中， 490CDB， ，AN，90，CM在 Rt 中， 90M，B，ttACN （2 ） R ，4xMC，2xN， 22214118()0ABCxySxxA梯 形，当 2x时， 取最大值，最大值为 10（3 ） 90MN，要使 AB ，必须有ABNM，由（1）知 NC，M，当点 运动到 B的中点时， ABN ，此时 2x（2009 年牡丹江）如图， ABCD在平面直角坐标系中， 6AD， 若 O、 B的长是关于 x的一元二次方程2710x的两个根，且 O（1）求 sin的值（2）若 E为 x轴
31、上的点，且163AOES ，求经过 D、 E两点的直线的解析式，并判断 AOE 与 D 是否相似？（3）若点 M在平面直角坐标系内，则在直线 B上是否存在点 F， 使以 A、 C、 F、 M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出 F点的坐标；若不存在，请说明理由【关键词】三角函数，一次函数，菱形，相似三角形的综合应用【答案】 （1）解 2710x得 1243x，OAB43，在 Rt 中，由勾股定理有25AOBsin5CB（2 ） 点 E在 x轴上，163AOES163AO803E， 或 ，由已知可知 D（6，4）设 Eykxb， 当803，时有46803kb解得6515DEyx同理803，时
32、，613DEyxxyA DB O C在 AOE 中，89043OAE， ，在 D 中， 6D， ，AE （3 ）满足条件的点有四个12347522(8)(0)15FFF， ； ， ； ， ； ，(2009 年宁德市) 如图（1） ，已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方，BC 在直线 MN 上，E 是 BC 上一点，以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG（1 ）连接 GD，求证：ADGABE ；（2 ）连接 FC，观察并猜测FCN 的度数，并说明理由；（3 ）如图（2 ） ，将图（1 ）中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，AB=a，BC =b（a 、b 为常数） ，E 是
33、线段 BC 上一动点（不含端点 B、C） ，以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形 AEFG，使顶点 G 恰好落在射线 CD 上判断当点 E 由 B向 C 运动时，FCN 的大小是否总保持不变，若FCN 的大小不变，请用含 a、b 的代数式表示 tanFCN 的值；若FCN 的大小发生改变，请举例说明【关键词】四边形中三角形全等和相似的运用解：（1）四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形AB=AD， AE=AG，BADEAG90BAEEAD DAGEADBAEDAG BAEDAG （2 ） FCN 45 理由是：作 FHMN 于 H AEFABE90BAE +AEB90，FEH+AE
34、B90FEHBAE 又AE=EF，EHFEBA90EFHABE FH BE，EHABBC，CHBE FHFHC 90 ，FCH45 （3 ）当点 E 由 B 向 C 运动时，FCN 的大小总保持不变， 理由是：作 FHMN 于 H 由已知可得EAG BADAEF90结合（1） （2 ）得FEH BAEDAG又G 在射线 CD 上GDAEHFEBA90EFHGAD ，EFHABE EHAD BCb，CHBE，M B EAC NDFG图（1 ）HNM B E CDFG图（1 ） EHAB FHBE FHCH在 RtFEH 中，tanFCN FHCH EHAB ba当点 E 由 B 向 C 运动时，
35、FCN 的大小总保持不变，tanFCNba（09 湖南怀化）如图 11，已知二次函数22)(mkxy的图象与 x轴相交于两个不同的点 1(0)Ax， 、 2()B， ，与 轴的交点为 C设 AB 的外接圆的圆心为点 P（1 ）求 与 y轴的另一个交点 D 的坐标；（2 ）如果 AB恰好为 的直径，且 AB 的面积等于 5，求 m和 k的值 【关键词】圆的基本性质、三角形相似的判定和性质【答案】解 （1）易求得点 C的坐标为 (0)k，由题设可知 2x， 是方程 )(22mx即 02kx 的两根，所以212()4mkx，所 12x，如图 3，P 与 y轴的另一个交点为 D，由于 AB、CD 是
36、P 的两条相交弦，设它们的交点为点 O，连结DB， AOC DOC，则.121kxOCBA由题意知点 C在 y轴的负半轴上，从而点 D 在 y轴的正半轴上，所以点 D 的坐标为（0，1）（2 ）因为 ABCD， AB 又恰好为P 的直径，则 C、D 关于点 O 对称，所以点 的坐标为 ()， ，即 1k又22222114()41ABxxmkkm，所以215CSO解得 .（09 湖北宜昌） （09 湖北宜昌）已知：如图 1，把矩形纸片 ABCD 折叠，使得顶点 A 与边 DC 上的动点 P 重合(P 不与点 D，C 重合)， MN 为折痕，点 M，N 分别在边 BC， AD 上，连接 AP，MP
37、，AM ， AP 与 MN 相交于点F O 过点 M，C，P (1)请你在图 1 中作出O (不写作法，保留作图痕迹) ；(2)AN与 D是否相等？请你说明理由；(3)随着点 P 的运动，若O 与 AM 相切于点 M 时，O 又与 AD 相切于点 H设 AB 为 4，请你通过计算，画出这时的图形 (图 2，3 供参考) AB CF PMN DFMN DO PCBAAB CPO DNMF图 1 图 2 图 3【关键词】矩形的性质与判定、线段的比和比例线段【答案】解：(1)如图； (2)AFN与PD不相等假设，则由相似三角形的性质，得 MNDC D=90，DCAD ，MNAD 据题意得，A 与 P
38、 关于 MN 对称，MNAP据题意，P 与 D 不重合，这与“过一点（A ）只能作一条直线与已知直线（MN ）垂直”矛盾 假设不成立FN不成立 (2) 解法 2：A与PD不相等理由如下：P， A 关于 MN 对称，MN 垂直平分 APcosFAN=FN D=90， cosPAD=ADPFAN=PAD，FN= P 不与 D 重合，P 在边 DC 上;ADAPJOPHFNM CDBAADP ;从而FNAPD (3)AM 是O 的切线，AMP=90，CMPAMB=90BAMAMB=90，CMP=BAM MN 垂直平分，MA =MP，B= C=90， ABMMCD MC =AB=4， 设 PD=x，则
39、 CP=4x，BM=PC=4 x (5 分)连结 HO 并延长交 BC 于 JAD 是O 的切线，JHD=90矩形 HDCJ (7 分)OJCP， MOJMPC ， OJ:CP=MO:MP=1:2，OJ=12(4x) ，OH=12MP=4OJ =12(4x) MC 2= MP2 CP2，(4x) 2(4x) 2=16 解得:x=1即 PD=1，PC=3，BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7由此画图(图形大致能示意即可 ) （3 ）解法 2：连接 HO，并延长 HO 交 BC 于 J 点，连接 AO 由切线性质知，JHAD，BC AD，HJBC，OJMC，MJ=JC AM ，AH 与O 相切
40、于点 M，H ，AMO=AHO=90，OM=OH， AO=AO，RtAMORtAHO 设 AM=x，则 AM=AH=x，由切线性质得，AMPM，AMP =90， BMA+CMP=90BMA+BAM=90，BAM=CMP ，B= MCP=90，MN 为 AP 的中垂线， AM= MPABMMCP 四边形 ABJH 为矩形，得 BJ=AH=x，RtABM 中，BM =216x，MJ=2x=JC， （9 分）AB =MC4=2(216x)， 5x AD=BC=2x=7，PC=254=3 由此画图(图形大致能示意即可 )JOPHFNM CDBA（2009 年茂名市）如图，在 RtABC 中，90624
41、BAC， ， ，点 P是 边上的动点（点P与点 、 不重合） ，过动点 作 D 交 于点 D（1）若 与 相似，则 A是多少度？ （2 分）（2）试问：当 PC等于多少时， P 的面积最大？最大面积是多少？ （4 分）（3）若以线段 A为直径的圆和以线段 B为直径的圆相外切，求线段 BP的长 （4 分）【关键词】二次函数、圆、相似综合题【答案】 （1）当ABC 与DAP 相似时，APD 的度数是 60或 30（2 ）设 PCx， DBA ， 90C， 90PDC， 又 60， 24cos612，1cos62xxA， 12Ax，而3in0PxA， 12APDSx2233(4)()8388xx P
42、C 等于 12 时， AP 的面积最大，最大面积是 183 （3 ）设以 B和 C为直径的圆心分别为 1O、 2，过 2作 OEBC 于点 ， 设 1O 的半径为 x，则 2x显然， AC， 6， cos603A， 2263E，141x， 又 O 和 2 外切， 126x 在 RtE 中，有2211OE， 222(6)(1)(3)xx， 解得： 8， 16BP（2009 年山东青岛市）如图，在梯形 ABCD 中， ADBC ， 6cm， 4cCD， 10cmB，点P由 B 出发沿 BD 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动，速度为 1cm/s，交 D于 Q，连接 PE若设运动时间为 t（s） （ 05t） 解答下列问题：（1 ）当 t为何值时， PEAB ？（2 ）设 的面积为 y（cm 2） ，求 y与 t之间的函数关系式；（3 ）是否存在某一时刻 t，使 5PEQBCDS ？若存在，求出此时 t的值；若不存在，说明理由（4 ）连接 PF，在上述运动过程中，五边形 FE的面积是否发生变化？说明理由【关键词】全等三角形的性质与判
