1、第 13 章 达朗贝尔原理上面几章我们是以牛顿定律为基础研究质点和质点系的动力学问题，给出了求解质点和质点系动力学问题的普遍定理。这一章我们要学习求解非自由质点系动力学问题的新方法达朗贝尔原理，它是用静力学平衡的观点解决动力学问题，又称为动静法。它在解决已知运动求约束力方面显得特别方便，因此在工程中得到广泛的应用。13.1 达朗贝尔原理13.1.1 惯性力质点的达朗贝尔原理设非自由质点的质量为 m，加速度为 a，作用在质点上的主动力为 F，约束力为 ，N如图 13-1 所示。根据牛顿第二定律，有 NF+=将上式移项写为（13-1）0-引入记号（13-2 ）aI式（13-1）成为（13-3）0=
2、+IFN其中， 具有力的量纲，称为质点的惯性力，它是一个虚拟力，它的大小等于质点的质IF量与加速度的乘积，方向与质点的加速度方向相反。式（13-3）是一个汇交力系的平衡方程，它表示：作用在质点上的主动力、约束力和虚拟的惯性力在形式上构成平衡力系，称为质点的达朗贝尔原理。此原理是法国科学家达朗贝尔于 1743 年提出的。maFN1图 3-图 13-2vFn利用达朗贝尔原理在质点上虚加惯性力，将动力学问题转化成静力学平衡问题进行求解的方法称为动静法。应当指出：（1）达朗贝尔原理并没有改变动力学问题的性质。因为质点实际上并不是受到力的作用而真正处于平衡状态，而是假想地加在质点上的惯性力与作用在质点上
3、的主动力、约束力在形式上构成平衡力系。（2）惯性力是一种虚拟力，但它是使质点改变运动状态的施力物体的反作用力。例如，系在绳子一端质量为 的小球，以速度 v，用手拉住小球在水平面内作匀速圆m周运动，如图 13-2 所示。小球受到绳子的拉力 F，使小球改变运动状态产生法向加速度，即 。小球对绳子的反作用力 ，这是由于小球具有惯性，nan=F nm=a-力图保持其原有的运动状态，而对绳子施加的反作用力。（3）质点的加速度不仅可以由一个力引起，而且还可以由同时作用在质点上的几个力共同引起的。因此惯性力可以是对多个施力物体的反作用力。例如圆锥摆，如图 13-3 所示，小球在摆线拉力 和重力 作用下作匀速
4、圆周运动，TFg有 a+T=g此时的惯性力为 ）aFI m(m=T-式中 和 分别为摆线和地球所受到小球的反作用力。由于它们不作用在同一物体TFg上，当然没有合力，但它们构成了小球的惯性力系。FITvamg图 13-例题 13-1 有一圆锥摆，如图 13-4 所示，重为 N 的小球系于长为 cm 的绳89.P30l上，绳的另一端系在固定点 ，并与铅直线成 角。已知小球在水平面内作匀速圆Oo60周运动，试求小球的速度和绳子的拉力。 FITnP图 13-4b解：以小球为研究对象，受由重力 、 ，绳子的拉力 以及在小球上虚拟的惯性力，PTF如图 13-4 所示。由于小球在水平面内作匀速圆周运动，其惯
5、性力只有法向惯性力 ，即nIFsinlvgaFnI 2方向与法向加速度相反。由质点的达朗贝尔原理得 0=+PnIT将上式向自然轴上投影，得下面的平衡方程01niFnIFsiib 0PcoT解得N619.cosPFTm/s12.sinFglv13.1.2 质点系的达朗贝尔原理设质点系由 n 个质点组成，其中第 i 个质点的质量为 ，加速度为 ，作用该质点i ia的主动力 、约束力 、惯性力 ，由质点的达朗贝尔原理第 i 个质点有iFNi ii=aFI-（13-4）0+iN)n,(21式（13-4）表明：质点系中的每一个质点在主动 、约束力 、惯性力 作用下在形iNiFiI式上处于平衡。若将作用在
6、质点系上的力按外力和内力分，设第 i 个质点上的外力为 、内力为 ，ei iF式（13-4 ）为（13-5）0=+IiieiF)n,(21式（13-5）表明：质点系中的每一个质点在外力 、内力 、惯性力 ，作用下在形eiiFiI式上处于平衡。对于整个质点系而言，外力 、内力 、惯性力 在形ii i )n,(21式上构成空间平衡力系，由静力学平衡理论知，空间任意力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢量和对任一点的主矩等于均为零。即（13- 00111 =)(+)()(=+niIioniionieioiIiii FMFM6）由于内力是成对出现的，内力的主矢量 ，内力的主矩 。01niiF01niio
7、)(FM则式（13-6）为（13-7） 011 =)(+)(niIionieoiIiiiM即质点系的达朗贝尔原理：作用在质点系上的所有外力与虚加在质点上的惯性力在形式上构成平衡力系。式（13-7）在直角坐标轴上的投影形式：（1）空间力系（13-00111111 =)(+)()()(+=niIiznieziIiyiyniIixniexiIziizniIyiieyiIxiixiii FMF8）（2）平面力系（13-9） 01111 =)(+)(niIionieoiIyiiyniIxiiexi FMF13.2 刚体惯性力系的简化在应用动静法解决非自由质点系的动力学问题时，需要在每个质点上虚加惯性力，
8、当质点较多，特别是刚体，非常不方便。因此需要对虚加惯性力系进行简化，以便求解。下面对刚体作平移、绕定轴转动和刚体平面运动时惯性力系的简化。13.2.1 平移刚体惯性力系的简化当刚体作平移时，由于同一瞬时刚体上各点的加速度相等，则各点的加速度都用质心C 的加速度表示，即 ，如图 13-5 所示。将惯性力加在每个质点上，组成平行的惯ic=a性力系，且均与质心 C 的加速度方向相反，惯性力系向任一点 简化，得惯性力系主矢O量 nicniniI )m(=111 aFiiIR（13-caM)m(=ic10） ircI图 13-5惯性力系的主矩 niniIo )m(=11 iI arFM（13-caci)
9、m=(11）式中 为质心 C 到简化中心 点的矢径。若取质心 C 为简化中心 ，则惯性力系的crO0=rc主矩为（13-0oI12）当简化中心不在质心 C 处，其主矩 。IM结论：刚体作平移时，惯性力系简化为通过质心的一个合力，其大小等于刚体的质量和加速度的乘积，方向与加速度方向相反。13.2.2 定轴转动刚体的惯性力系简化这里只限于刚体具有质量对称平面且转轴垂直与此对称平面的特殊情形。当刚体作定轴转动时，先将刚体上的惯性力简化在质量对称平面上，构成平面力系，再将平面力系向转轴与对称平面的交点 O 简化。轴心 O 为简化中心，如图 13-6 所示，惯性力系的主矢量为 )m(dt=niinini
10、 111 vaFiIIR（13-ccvM)(dt-13）惯性力系的主矩为（13-J=r)rm)(MoniiniiiniIioIo 1211(F=14）其中， 为刚体对垂直于质量对称平面转轴的转动惯量。oJ图 13-7cIRa结论：具有质量对称平面且转轴垂直于此对称平面的定轴转动刚体的惯性力系，向转 acniFI图 13-6IR轴简化为一个力和一个力偶。此力的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；此力偶矩的大小等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度转向相反。当转轴通过质心时，质心的加速度 ， ，则惯性力系简化为质心上的一0=acIRF个
11、力矩。即（13-15 ）JMoI13.2.3 平面运动刚体惯性力系的简化设刚体具有质量对称平面，且刚体上的各点在与对称平面保持平行的平面内运动。此时刚体上的惯性力简化在此对称平面内的平面力系。由平面运动的特点，取质心 C 为基点，如图 13-7 所示，质心的加速度为 ，绕质心 C 转动的角速度为 ，角加速度为 ，惯性ca力系的主矢量为（13-16 ）cIRFM=-惯性力系的主矩（13-17 ）JcIc其中， 为过质心且垂直于质量对称平面的轴的转动惯量。cJ结论：具有质量对称平面的刚体，在平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个力和一个力偶。此力大小等于刚体的质量与质心加速度的乘
12、积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过质心；此力偶矩的大小等于刚体对通过质心且垂直于质量对称平面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度转向相反。例题 13-2 均质圆柱体 的质量为 ，在外缘上绕有一细绳，绳的一端 固定不动，AmB如图 13-8a 所示，圆柱体无初速度地自由下降，试求圆柱体质心的加速度和绳的拉力。BCA图 13-8(a)(b)ymgFTIMIA解：对圆柱体 进行受力分析，作用其上的力有：圆柱体的重力 ，绳的拉力 ，A mgTF作用在圆柱质心的虚拟惯性力 和 ，即IFIAM(1)mRJaAI 21其方向如图 13-8b 所示。列平衡方程为(2)01niCM0FgIIA（
13、3）iyFIT式(1)代入式(2)和式（3） ，并联立求解，得圆柱体的角加速度和绳的拉力为Rg32mFT1圆柱体质心的加速度为 gaA32例题 13-3 如图 13-9a 所示，均质圆盘的质量为 ，由水平绳拉着沿水平面作纯滚动，1绳的另一端跨过定滑轮 并系一重物 ，重物的质量为 。绳和定滑轮 的质量不计，B2B试求重物下降的加速度，圆盘质心的加速度以及作用在圆盘上绳的拉力。 CADC1gcFTIMNDm2gI21a(a)(b)(c)图 13-9解：以圆盘为研究对象，作用在圆盘上的力有重力 ，绳的拉力 ，法向约束力gm1TF，摩擦力 ，虚拟惯性力 和 。虚拟惯性力 和 为NF1IFIcMIFIc
14、MAa112AcIc rarrJ12 42其方向如图 13-9b 所示， 为圆盘的半径。r列平衡方程为（1）01niDM01TIcFr再以重物 为研究对象，作用在重物 上的力有重力 ，绳的拉力 ，虚拟惯性AAgm2TF力 。虚拟惯性力为2IFIaF2其方向如图 13-9c 所示。列平衡方程为01niyF 022ITFg（2）式（1）和式（2）联立，并注意 ，解得重物下降的加速度为TFgmaA2183圆盘质心的加速度为 Ac 2142作用在圆盘上绳的拉力为 gFT2183例题 13-4 均质直杆 重为 ，杆长为 ， 为球铰链， 端自由，以匀角速度 绕BPlB铅垂轴 转动，如图 13-10a 所示
15、。试求杆 与铅垂轴的夹角以及铰链 处的约束力。Az ABAydrI2ainFIy()b(c)图 13-0 解：首先计算惯性力如图 13-10b 所示,将杆分割成微段 ，且距 为 ，则 段上惯性力为drArd（1）rsinglPsin)(madFninI 22其中， 为杆的线密度。glP对式（1）积分，求合惯性力为（2）202sinlgPdrsinglPFnI 合惯性力的作用线位置，由合力矩定理 )F(M)(nIiiAnIA1得 lnI drcossirgPcosxF02其中， 为合惯性力到 的距离。x解得 cosinlcosxnI 23将式（2）代入得l（3）由式（1）和式（3）知，此惯性力为
16、线性分布载荷，其合力为载荷图的面积，合力的作用线通过载荷图的形心。其次求杆 与铅垂轴的夹角以及铰链 处的约束力。ABA对杆 进行受力分析，如图 13-10c 所示,在杆所在的铅垂平面内，杆受重力 ，铰P链 处的约束力为 、 ，虚拟惯性力 。列平衡方程为yFAznIF01niM 0213sinlcolFnI（4）1niyF AynIF（5）01niz 0PAz（6）将惯性力式（2）代入式（4） 、 （5） 、 （6）得2sinlgPFnIAyz213lcos13.3 本章小结1.质点的惯性力 aFIm=其中，惯性力 是一个虚拟力。IF2.质点的达朗贝尔原理：作用在质点上的主动力、约束力和虚拟的惯
17、性力在形式上构成平衡力系。即 0+IN3.质点系的达朗贝尔原理：作用在质点系上的所有外力与虚加在质点上的惯性力在形式上构成平衡力系。即平衡力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢量和对任一点的主矩等于均为零。主矢量: 011=niIiieF主矢量: )(+)(iIionioiM4.质点系达朗贝尔原理的投影形式：（1）空间力系 00111111 =)(+)()()(+=niIiznieziIiyiyniIixniexiIziizniIyiieyiIxiixiii FMF（2）平面力系 01111 =)(+)(niIionieoiIyiiyniIxiiexi FMF5.刚体惯性力系的简化（1）平移刚体惯性力系的简化: cIRa其中，惯性力系简化为通过质心的一个合力。（2）定轴转动刚体的惯性力系简化： I= JoI当转轴通过质心时，定轴转动刚体的惯性力系简化为质心上的一个力矩。即 J=MoI（3）平面运动刚体惯性力系的简化： cIRaFM- =cIc
