1、11.3 全称量词与存在量词1.3.1 量词1.3.2 含有一个量词的命题的否定学习目标：1.理解全称量词和存在量词的意义，能准确地利用全称量和存在量词叙述数学内容(重点) 2.能判定全称命题与存在性命题的真假(难点) 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定(重点、易混点)自 主 预 习探 新 知1全称量词与全称命题(1)“所有” 、 “任意” 、 “每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“ x”表示“对任意 x”(2)含有全称量词的命题称为全称命题，一般形式为： x M， p(x)2存在量词和存在性命题(1)“有一个” 、 “有些” 、 “存在一个”等表示部分的量词在逻辑
2、中称为存在量词，通常用符号“ x”表示 “存在 x”(2)含有存在量词的命题称为存在性命题，一般形式为： x M， p(x)3全称命题的否定全称命题 p p 结论x M， p(x) x M， p(x) 全称命题的否定是存在性命题4.存在性命题的否定存在性命题 p p 结论x M， p(x) x M， p(x) 存在性命题的否定是全称命题基础自测1判断正误：(1)“有些” “某个” “有的”等短语不是存在量词( )(2)全称量词的含义是“任意性” ，存在量词的含义是“存在性” ( )(3)全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词( )(4)x M， p(x)与 x M， p(x)的真
3、假性相反( )【解析】 (1).“有些” “某个” “有的”都表示部分，是存在量词(2).由全称量词与存在量词的定义可知(2)正确(3).有些全称命题与存在性命题可能省略量词(4).命题 p 与其否定 p 真假性相反【答案】 (1) (2) (3) (4)22命题“ xR，| x| x20” 的否定是_. 【导学号：95902036】【解析】 原命题为全称命题其否定为“ x0R，| x0| x ；12(3)x0， y0N ，使 x0 y03.2思路探究 结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断【自主解答】 (1) a0，当 x1 时， ax a0，成立，(1)为真命题(2) x2
4、x1 ， x2 x1 恒成立，(2)是真命题(x12)2 34 3412 12(3)当 x00， y03 时， x0 y03 满足题意，(3)是真命题2规律方法 全称命题与存在性命题真假判断的方法：1 对于全称命题“ x M， p x” ：要证明它是真命题，需对集合 M 中每一个元素 x，证明 p x 成立；要判断它是假命题，只要在集合 M 中找到一个元素 x0，使 p x0 不成立即可. 通常举反例2 存在性命题的真假判断要结合存在量词来进行，在限定的集合内，看能否找到相应的元素使命题成立，能找到，命题为真，否则为假.跟踪训练2判断下列命题中的真假：(1) xR,2 x1 0 ；(2) xN
5、 *，( x1) 20；(3)x0 R，lg x00”是全称命题，易知 2x1 0 恒成立，故是真命题；(2)命题“ xN *，( x1) 20”是全称命题，当 x1 时， (x1) 20，故是假命题；(3)命题“ x0 R，lg x00 ，真命题 xR， x22 x2( x1) 2110 恒成立， r 是真命题(4) s： xR， x310，假命题 x1 时， x310， s 是假命题规律方法 1写一个命题的否定的步骤：首先判定该命题是“全称命题”还是“存在性命题” ，并确定相应的量词，其次把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词同时否定结论2对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐
6、含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定跟踪训练3写出下列命题的否定：(1)p：一切分数都是有理数；(2)q：有些三角形是锐角三角形；(3)r： x0R， x x0 x02; 20(4)s： xR,2 x40.【解】 (1) p：有些分数不是有理数；(2) q：所有的三角形都不是锐角三角形；(3) r： xR， x2 x x2 ；(4) s： x0R, 2x040.全称命题与存在性命题的综合应用5探究问题1(1)“ xR ， a x2”的含义是什么？ (2)“x1,2 ， a x2”的含义是什么？若上述两个命题是真命题，试分别求出 a 的取值范围【提示】 (1)“ xR ，
7、 a x2”的含义是方程 x2 a0 有实数根，所以其判别式 4 a0，解得 a0；(2)“x1,2 ， a x2”的含义是方程 x2 a0 在1,2内有实数根，也就是函数y x2， x1,2和函数 y a 的图象有交点，因为 x1,2，所以 x21,4，所以 a 的取值范围是 1 a4.2(1)“ x1,2， a x2”的含义是什么？ (2)“x1,2 ， a x2”的含义是什么？若上述两个命题是真命题，试分别求出 a 的取值范围【提示】 (1)“ x1,2， a x2”的含义是对于所有的，一切在 1,2内的 x，不等式 a x2都恒成立，所以 a 要小于 x2的最小值因为 x1,2，所以
8、x21,4，所以a1；(2)“x1,2 ， a x2”的含义是在1,2内至少有一个 x ，使不等式 a x2成立，此时只要 a 不大于 x2的最大值即可因为 x1,2，所以 x21,4，所以 a4.(1)若命题“ x 1，)， x22 ax2 a 恒成立”是真命题，则实数 a的取值范围是_(2)已知函数 f(x)4| a|x2 a1，若命题：“ x0(0,1)使 f(x0)0”是真命题，则实数 a 的取值范围是_. 【导学号：95902039】思路探究 (1)由于此全称命题是真命题，所以可以推出 a 的值，求出在x1，)时， f(x)min a，利用一元二次不等式与二次函数的关系解题(2)由于
9、 f(x)是单调函数，在(0,1)上存在零点，再由 4|a|0 应有Error!解不等式组求出 a 范围【自主解答】 (1)方法一：由对任意 x1，)，令 f(x) x22 ax2 a 恒成立，所以 f(x)( x a)22 a2可转化为对任意 x1，)， f(x)min a 成立，即对任意 x1，)， f(x)minError!由 f(x)的最小值 f(x)min a，知 a3,1方法二：由 x22 ax2 a，即 x22 ax2 a0，令 f(x) x22 ax2 a 所以全称命题转化为对任意 x1，)， f(x)0 恒成立，所以 0 或Error!即2 a1 或3 a2，所以 a3,16
10、(2)由：“ x0(0,1) ，使 f(x0)0”是真命题，且由 4|a|0 得Error!即Error!解得 a .(12， )【答案】 (1)3,1 (2) (12， )规律方法 应用全称命题与存在性命题求参数范围的常见题型1全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决2存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在” “不存在” “是否存在”等语句表达解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设跟踪训练4若存在 x0R，使 ax 2 x0 a0 时，必需 44 a20，解得10；(4)若 l ，则直线 l 垂直于平面 内任一直线【解】 (1) xZ， x1.(2)x00.(4)若 l ，则 a ， l a.
